概率论课本习题-答案~.doc

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1、|2.设在 15 只同类型零件中有 2 只为次品，在其中取 3 次，每次任取 1 只，作不放回抽样，以 X 表示取出的次品个数，求：（1 ） X 的分布律；（2 ） X 的分布函数并作图；(3).133,1,12222PXPX【解】 315231350,.C().().CPX故 X 的分布律为X 0 1 2P 235235135（2） 当 x0 时，F（x ）= P（Xx ）=0当 0x1 时，F（x ）= P（X x ）= P(X=0)= 当 1x2 时，F（x ）= P（X x ）= P(X=0)+P(X=1)= 345当 x2 时，F（ x）=P（X x）=1故 X 的分布函数 0,21

2、35()4,2xFxx(3) |12()(,3543)(10512(1)234)(1)(0.5PXFPXPXF7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有 1000 辆汽车通过，问出事故的次数不小于 2 的概率是多少（利用泊松定理）？【解】设 X 表示出事故的次数，则 Xb（1000，0.0001）(2)1(0)(1)PPX.e8.已知在五重贝努里试验中成功的次数 X 满足 PX=1=PX=2，求概率 PX=4.【解】设在每次试验中成功的概率为 p，则142355C()(1)p故 所以 .45210()C(3PX9.设事件 A

3、在每一次试验中发生的概率为 0.3，当 A 发生不少于 3 次时，指示灯发出信号，（1 ） 进行了 5 次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；（2） 进行了 7 次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.【解】 （1） 设 X 表示 5 次独立试验中 A 发生的次数，则 X6（5，0.3）53()C(0.)70.1638kkP(2) 令 Y 表示 7 次独立试验中 A 发生的次数，则 Yb（7，0.3）73()(.).529kk10.某公安局在长度为 t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数 X 服从参数为（1/2）t 的泊松分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.（1 ） 求某一天中午 12 时

4、至下午 3 时没收到呼救的概率；（2） 求某一天中午 12 时至下午 5 时至少收到 1 次呼救的概率.【解】 （1） (2) 32(0)ePX 52()(0)1eP|12.某教科书出版了 2000 册，因装订等原因造成错误的概率为 0.001，试求在这 2000 册书中恰有 5 册错误的概率.【解】令 X 为 2000 册书中错误的册数，则 Xb(2000,0.001).利用泊松近似计算,20.12np得 5e()0.8!PX14.有 2500 名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为 0.002，每个参加保险的人在 1 月 1 日须交 12 元保险费，

5、而在死亡时家属可从保险公司领取 2000 元赔偿金.求：（1 ） 保险公司亏本的概率;（2） 保险公司获利分别不少于 10000 元、20000 元的概率.【解】以“年”为单位来考虑.（1） 在 1 月 1 日，保险公司总收入为 250012=30000 元.设 1 年中死亡人数为 X，则 Xb(2500,0.002)，则所求概率为(2030)(15)(14)PPX由于 n 很大，p 很小， =np=5，故用泊松近似，有 5140e().069!kk(2) P(保险公司获利不少于 10000)3021)(1)XPX510e.986305!kk即保险公司获利不少于 10000 元的概率在 98%

6、以上P（保险公司获利不少于 20000） (3020)(5)PXPX50e.619!kk即保险公司获利不少于 20000 元的概率约为 62%16.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命 X 的密度函数为f(x)= .10,2x求：（1） 在开始 150 小时内没有电子管损坏的概率；（2 ） 在这段时间内有一只电子管损坏的概率；（3） F（x）.【解】|（1） 1502()d.3PXx31 8()7p(2) 2234C()9(3) 当 x100 时 F（x）=0当 x100 时 ()()dxft1010()xft210xt故 ,()0xF18.设随机变量 X 在2，5 上服从均匀分布

7、 .现对 X 进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于 3 的概率.【解】XU2,5 ，即 1,25()30xfx其 他53()dPX故所求概率为 233120C()()7p19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 X（以分钟计）服从指数分布 .某顾客在窗1()5E口等待服务，若超过 10 分钟他就离开.他一个月要到银行 5 次，以 Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出 Y 的分布律，并求 PY1.【解】依题意知 ，即其密度函数为1()5XE51e,0()xf该顾客未等到服务而离开的概率为 2510()edxPX,即其分布律为2(5e)Yb|225525()C(e)1,01,

8、3410(e).67kkPY20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间 X 服从 N（40，10 2） ；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间 X 服从 N（50，4 2）.（1 ） 若动身时离火车开车只有 1 小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？（2） 又若离火车开车时间只有 45 分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？【解】 （1） 若走第一条路，XN （40，10 2） ，则406(6) (2)0.971xPX若走第二条路，XN（50，4 2） ，则+5(0) (.5)384故走第二条路乘上火车的把握大些.（2） 若 XN（40，10 2） ，则 0

9、5(45) (0.5)6911XP若 XN（50，4 2） ，则 4() (.2)P1(.25)0.16故走第一条路乘上火车的把握大些.21.设 XN（3，2 2） ，（1 ） 求 P2X5，P 4X10，PX2 ，PX3;（2） 确定 c 使 PXc=PXc.【解】 （1） 2353(5)211()()0.843.6950.328(1)XPXP70.962|(|2)()(2)PXPX331515220.69.380.697(3)()().XP-(2) c=322.由某机器生产的螺栓长度（cm）XN （10.05,0.06 2）,规定长度在 10.050.12 内为合格品,求一螺栓为不合格品的

10、概率.【解】 10.5.(|10.5|.2)6XPP()2()0.4528.设随机变量 X 的分布律为X 2 1 0 1 3Pk 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30求 Y=X2 的分布律 .【解】Y 可取的值为 0，1，4，9 1()(0)517()65301(4)(2)5930PYXPPYX故 Y 的分布律为Y 0 1 4 9Pk 1/5 7/30 1/5 11/3049.设随机变量 X 在区间（1，2）上服从均匀分布，试求随机变量 Y=e2X 的概率密度 fY(y).【解】 ,()0xfx其 他因为 P（1 X2）=1, 故 P（e 2Ye4）=1当 ye 2 时 FY（y）=P

11、(Y y )=0. |当 e2ye4 时， 2()(e)XYFyPy1ln1ln2dlyx当 ye 4 时， ()YFP即 240,e1()ln,2,Yyy故 24,e()0Yyfy其 他8.设二维随机变量（X，Y ）的概率密度为f（x ，y）= 4.8(2),1,0, .xyx其 他求边缘概率密度.【解】 ()(,)dXffx204.82.4(),01,=0,.,yxx其 他()()dYfyfx1 2y4.82.4(3),01,=0, .0, yy 其 他题 8 图 题 9 图9.设二维随机变量（X，Y ）的概率密度为|f（x，y）= .,0,他eyxy求边缘概率密度.【解】 ()(,)dX

12、fxfe,0,=.0,yxx其 他()()dYff0e,0,=.,yxy其 他题 10 图10.设二维随机变量（X ，Y）的概率密度为f（x，y）= .,0,12他yxc（1 ） 试确定常数 c；（2） 求边缘概率密度.【解】 （1） (,)d(,)dDfxyfxy如 图21- 4=1.xcc得 .214c(2) ()(,)dXfxfy21241(),1,840,0,.xxx其 他()()dYfyfy52217,01,40, .yxy其 他|13.设二维随机变量（X ，Y）的联合分布律为2 5 80.40.80.15 0.30 0.350.05 0.12 0.03（1 ）求关于 X 和关于 Y

13、 的边缘分布；（2） X 与 Y 是否相互独立？【解】 （1）X 和 Y 的边缘分布如下表2 5 8 PY=yi0.4 0.15 0.30 0.35 0.80.8 0.05 0.12 0.03 0.2iPXx0.2 0.42 0.38(2) 因 20.42.8PYA016.5(2,0.4),PXY故 X 与 Y 不独立.22.设随机变量 X 和 Y 相互独立，下表列出了二维随机变量（X，Y）联合分布律及关于 X 和Y 的边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处. y1 y2 y3 PX=xi=pix1x21/81/8PY=yj=pj 1/6 1【解】因 ,21,jj ijiyPXx

14、Yy故 1121,YP从而 1,.684Xxy而 X 与 Y 独立，故 ,ijiixYyXxYyA从而 11,.2Px即： /.246又 111213,XxxYyPXxYyPXxYy即 ,3,48PXYXYYX|从而 13,.2PXxYy同理 223,8PXxYy又 ,故 .311jjy316y同理 2.4PXx从而 233131,.24YyPyXxYy故 1y2y3yiiPXx1x2418121428343jjPYyp162311.设随机变量 X 的分布律为X 1 0 1 2P 1/8 1/2 1/8 1/4求 E（X） ，E（ X2） ，E（2X+3）.【解】(1) ()2;884(2) 2221150(3) (3)()3EX5.设随机变量 X 的概率密度为YX