2022年全国新高考II卷数学试题.docx

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1、四川天地人教育为您服务！2022年全国新高考II卷数学试题学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题1已知集合A=-1,1,2,4,B=x|x-1|1，则AB=（）A-1,2B1,2C1,4D-1,42(2+2i)(1-2i)=（）A-2+4iB-2-4iC6+2iD6-2i3图1是中国古代建筑中的举架结构，AA,BB,CC,DD是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图其中DD1,CC1,BB1,AA1是举，OD1,DC1,CB1,BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为DD1OD1=0.5,CC1DC1=k1,BB1CB1=k2,AA1BA1=k3已知k

2、1,k2,k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3=（）A0.75B0.8C0.85D0.94已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb，若=，则t=（）A-6B-5C5D65有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（）A12种B24种C36种D48种6若sin(+)+cos(+)=22cos+4sin，则（）Atan(-)=1Btan(+)=1Ctan(-)=-1Dtan(+)=-17已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为33和43，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A100B128C14

3、4D1928已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1，则k=122f(k)=（）A-3B-2C0D1二、多选题9已知函数f(x)=sin(2x+)(00)焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M(p,0)，若|AF|=|AM|，则（）A直线AB的斜率为26B|OB|=|OF|C|AB|4|OF|DOAM+OBM18011如图，四边形ABCD为正方形，ED平面ABCD，FBED,AB=ED=2FB，记三棱锥E-ACD，F-ABC，F-ACE的体积分别为V1,V2,V3，则（）AV3=2V2BV3=V1CV3=V1+V2D2V3=3V

4、112若x，y满足x2+y2-xy=1，则（）Ax+y1Bx+y-2Cx2+y22Dx2+y21三、填空题13已知随机变量X服从正态分布N2,2，且P(22.5)=_14设点A(-2,3),B(0,a)，若直线AB关于y=a对称的直线与圆(x+3)2+(y+2)2=1有公共点，则a的取值范围是_15已知直线l与椭圆x26+y23=1在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且|MA|=|NB|,|MN|=23，则l的方程为_四、双空题16曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为_，_五、解答题17已知an为等差数列，bn是公比为2的等比数列，且a2-b2=a3-b3=b

5、4-a4(1)证明：a1=b1；(2)求集合kbk=am+a1,1m500中元素个数18记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1,S2,S3，已知S1-S2+S3=32,sinB=13(1)求ABC的面积；(2)若sinAsinC=23，求b19在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间20,70)的概率；(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该

6、地区年龄位于区间40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间40,50)，求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.20如图，PO是三棱锥P-ABC的高，PA=PB，ABAC，E是PB的中点(1)证明：OE/平面PAC；(2)若ABO=CBO=30，PO=3，PA=5，求二面角C-AE-B的正弦值21已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y=3x(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点Px1,y1,Qx2

7、,y2在C上，且x1x20,y10过P且斜率为-3的直线与过Q且斜率为3的直线交于点M.从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立：M在AB上；PQAB；|MA|=|MB|注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.22已知函数f(x)=xeax-ex(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性；(2)当x0时，f(x)ln(n+1)四川天地人教育为您服务！参考答案：1B【解析】【分析】求出集合B后可求AB.【详解】B=x|0x2，故AB=1,2，故选：B.2D【解析】【分析】利用复数的乘法可求(2+2i)(1-2i).【详解】(2+2i)(1-2i)=2+4-4i+2i=6-2i，故选：D.

8、3D【解析】【分析】设OD1=DC1=CB1=BA1=1，则可得关于k3的方程，求出其解后可得正确的选项.【详解】设OD1=DC1=CB1=BA1=1，则CC1=k1,BB1=k2,AA1=k3，依题意，有k3-0.2=k1,k3-0.1=k2，且DD1+CC1+BB1+AA1OD1+DC1+CB1+BA1=0.725，所以0.5+3k3-0.34=0.725，故k3=0.9，故选：D4C【解析】【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得【详解】解：c=3+t,4,cosa,c=cosb,c,即9+3t+165c=3+tc,解得t=5,故选：C5B【解析】【分析】利用捆

9、绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有3!种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3!22=24种不同的排列方式，故选：B6C【解析】【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.【详解】由已知得：sincos+cossin+coscos-sinsin=2(cos-sin)sin,即：sincos-cossin+coscos+sinsin=

10、0，即：sin-+cos-=0,所以tan-=-1,故选：C7A【解析】【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径r1,r2，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径r1,r2，所以2r1=33sin60,2r2=43sin60，即r1=3,r2=4，设球心到上下底面的距离分别为d1,d2，球的半径为R，所以d1=R2-9，d2=R2-16，故d1-d2=1或d1+d2=1，即R2-9-R2-16=1或R2-9+R2-16=1，解得R2=25符合题意，所以球的表面积为S=4R2=100故选：A8A【解

11、析】【分析】根据题意赋值即可知函数fx的一个周期为6，求出函数一个周期中的f1,f2,f6的值，即可解出【详解】因为fx+y+fx-y=fxfy，令x=1,y=0可得，2f1=f1f0，所以f0=2，令x=0可得，fy+f-y=2fy，即fy=f-y，所以函数fx为偶函数，令y=1得，fx+1+fx-1=fxf1=fx，即有fx+2+fx=fx+1，从而可知fx+2=-fx-1，fx-1=-fx-4，故fx+2=fx-4，即fx=fx+6，所以函数fx的一个周期为6因为f2=f1-f0=1-2=-1，f3=f2-f1=-1-1=-2，f4=f-2=f2=-1，f5=f-1=f1=1，f6=f0

12、=2，所以一个周期内的f1+f2+f6=0由于22除以6余4，所以k=122fk=f1+f2+f3+f4=1-1-2-1=-3故选：A9AD【解析】【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出【详解】由题意得：f23=sin43+=0，所以43+=k，kZ，即=-43+k,kZ，又0，所以k=2时，=23，故f(x)=sin2x+23对A，当x0,512时，2x+2323,32，由正弦函数y=sinu图象知y=f(x)在0,512上是单调递减；对B，当x-12,1112时，2x+232,52，由正弦函数y=sinu图象知y=f(x)只有1个极值点，由2x+23=32，解得x=512，即x

13、=512为函数的唯一极值点；对C，当x=76时，2x+23=3，f(76)=0，直线x=76不是对称轴；对D，由y=2cos2x+23=-1得：cos2x+23=-12，解得2x+23=23+2k或2x+23=43+2k,kZ,从而得：x=k或x=3+k,kZ,所以函数y=f(x)在点0,32处的切线斜率为k=yx=0=2cos23=-1，切线方程为：y-32=-(x-0)即y=32-x故选：AD10ACD【解析】【分析】由AF=AM及抛物线方程求得A(3p4,6p2)，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线AB的方程，联立抛物线求得B(p3,-6p3)，即可求出OB判断B选项；由抛物线的定义

14、求出AB=25p12即可判断C选项；由OAOB0，MAMB2p=4OF，C正确；对于D，OAOB=(3p4,6p2)(p3,-6p3)=3p4p3+6p2-6p3=-3p240，则AOB为钝角，又MAMB=(-p4,6p2)(-2p3,-6p3)=-p4-2p3+6p2-6p3=-5p260，则AMB为钝角，又AOB+AMB+OAM+OBM=360，则OAM+OBM180，D正确.故选：ACD.11CD【解析】【分析】直接由体积公式计算V1,V2，连接BD交AC于点M，连接EM,FM，由V3=VA-EFM+VC-EFM计算出V3，依次判断选项即可.【详解】设AB=ED=2FB=2a，因为ED平

15、面ABCD，FBED，则V1=13EDSACD=132a122a2=43a3，V2=13FBSABC=13a122a2=23a3，连接BD交AC于点M，连接EM,FM，易得BDAC，又ED平面ABCD，AC平面ABCD，则EDAC，又EDBD=D，ED,BD平面BDEF，则AC平面BDEF，又BM=DM=12BD=2a，过F作FGDE于G，易得四边形BDGF为矩形，则FG=BD=22a,EG=a，则EM=2a2+2a2=6a,FM=a2+2a2=3a，EF=a2+22a2=3a，EM2+FM2=EF2，则EMFM，SEFM=12EMFM=322a2，AC=22a，则V3=VA-EFM+VC-E

16、FM=13ACSEFM=2a3，则2V3=3V1，V3=3V2，V3=V1+V2，故A、B错误；C、D正确.故选：CD.12BC【解析】【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假【详解】因为aba+b22a2+b22（a,bR），由x2+y2-xy=1可变形为，x+y2-1=3xy3x+y22，解得-2x+y2，当且仅当x=y=-1时，x+y=-2，当且仅当x=y=1时，x+y=2，所以A错误，B正确；由x2+y2-xy=1可变形为x2+y2-1=xyx2+y22，解得x2+y22，当且仅当x=y=1时取等号，所以C正确；因为x2+y2-xy=1变形可得x-y22+34y2=1，设x

17、-y2=cos,32y=sin，所以x=cos+13sin,y=23sin，因此x2+y2=cos2+53sin2+23sincos=1+13sin2-13cos2+13=43+23sin2-623,2，所以当x=33,y=-33时满足等式，但是x2+y21不成立，所以D错误故选：BC130.14#750【解析】【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出【详解】因为XN2,2，所以PX2=0.5，因此PX2.5=PX2-P2X2.5=0.5-0.36=0.14故答案为：0.141413,32【解析】【分析】首先求出点A关于y=a对称点A的坐标，即可得到直线l的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径

18、得到不等式，解得即可；【详解】解：A-2,3关于y=a对称的点的坐标为A-2,2a-3，B0,a在直线y=a上，所以AB所在直线即为直线l，所以直线l为y=a-3-2x+a，即a-3x+2y-2a=0；圆C:x+32+y+22=1，圆心C-3,-2，半径r=1，依题意圆心到直线l的距离d=-3a-3-4-2aa-32+221，即5-5a2a-32+22，解得13a32，即a13,32；故答案为：13,3215x+2y-22=0【解析】【分析】令AB的中点为E，设Ax1,y1，Bx2,y2，利用点差法得到kOEkAB=-12，设直线AB:y=kx+m，k0，求出M、N的坐标，再根据MN求出k、m

19、，即可得解；【详解】解：令AB的中点为E，因为MA=NB，所以ME=NE，设Ax1,y1，Bx2,y2，则x126+y123=1，x226+y223=1，所以x126-x226+y123-y223=0，即x1-x2x1+x26+y1+y2y1-y23=0所以y1+y2y1-y2x1-x2x1+x2=-12，即kOEkAB=-12，设直线AB:y=kx+m，k0，令x=0得y=m，令y=0得x=-mk，即M-mk,0，N0,m，所以E-m2k,m2，即km2-m2k=-12，解得k=-22或k=22（舍去），又MN=23，即MN=m2+2m2=23，解得m=2或m=-2（舍去），所以直线AB:y

20、=-22x+2，即x+2y-22=0；故答案为：x+2y-22=016 y=1ex y=-1ex【解析】【分析】分x0和x0时设切点为x0,lnx0，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出x0，即可求出切线方程，当x0时y=lnx，设切点为x0,lnx0，由y=1x，所以y|x=x0=1x0，所以切线方程为y-lnx0=1x0x-x0，又切线过坐标原点，所以-lnx0=1x0-x0，解得x0=e，所以切线方程为y-1=1ex-e，即y=1ex；当x0，又sinB=13，则cosB=1-132=223，ac=1cosB=324，则SABC=12acsi

21、nB=28；(2)由正弦定理得：bsinB=asinA=csinC，则b2sin2B=asinAcsinC=acsinAsinC=32423=94，则bsinB=32，b=32sinB=12.19(1)47.9岁；(2)0.89；(3)0.0014【解析】【分析】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；（2）设A=一人患这种疾病的年龄在区间20,70)，根据对立事件的概率公式P(A)=1-P(A)即可解出；（3）根据条件概率公式即可求出(1)平均年龄x=(50.001+150.002+250.012+350.017+450.023+550.020+650.017+75

22、0.006+850.002)10=47.9（岁）(2)设A=一人患这种疾病的年龄在区间20,70)，所以P(A)=1-P(A)=1-(0.001+0.002+0.006+0.002)10=1-0.11=0.89(3)设B=任选一人年龄位于区间40,50)，C=任选一人患这种疾病，则由条件概率公式可得P(C|B)=P(BC)P(B)=0.1%0.0231016%=0.0010.230.16=0.00143750.001420(1)证明见解析(2)1113【解析】【分析】（1）连接BO并延长交AC于点D，连接OA、PD，根据三角形全等得到OA=OB，再根据直角三角形的性质得到AO=DO，即可得到O

23、为BD的中点从而得到OE/PD，即可得证；（2）过点A作Az/OP，如图建立平面直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值，再根据同角三角函数的基本关系计算可得；(1)证明：连接BO并延长交AC于点D，连接OA、PD，因为PO是三棱锥P-ABC的高，所以PO平面ABC，AO,BO平面ABC，所以POAO、POBO，又PA=PB，所以POAPOB，即OA=OB，所以OAB=OBA，又ABAC，即BAC=90，所以OAB+OAD=90，OBA+ODA=90，所以ODA=OAD所以AO=DO，即AO=DO=OB，所以O为BD的中点，又E为PB的中点，所以OE/PD，又OE平面PAC，PD平面PAC

24、，所以OE/平面PAC(2)解：过点A作Az/OP，如图建立平面直角坐标系，因为PO=3，AP=5，所以OA=AP2-PO2=4，又OBA=OBC=30，所以BD=2OA=8，则AD=4，AB=43，所以AC=12，所以O23,2,0，B43,0,0，P23,2,3，C0,12,0，所以E33,1,32，则AE=33,1,32，AB=43,0,0，AC=0,12,0，设平面AEB的法向量为n=x,y,z，则nAE=33x+y+32z=0nAB=43x=0，令z=2，则y=-3，x=0，所以n=0,-3,2；设平面AEC的法向量为m=a,b,c，则mAE=33a+b+32c=0mAC=12b=0

25、，令a=3，则c=-6，b=0，所以m=3,0,-6；所以cosn,m=nmnm=-121339=-4313设二面角C-AE-B为，由图可知二面角C-AE-B为钝二面角，所以cos=-4313，所以sin=1-cos2=1113故二面角C-AE-B的正弦值为1113；21(1)x2-y23=1(2)见解析【解析】【分析】（1）利用焦点坐标求得c的值，利用渐近线方程求得a,b的关系，进而利用a,b,c的平方关系求得a,b的值，得到双曲线的方程；（2）先分析得到直线AB的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k, M(x0,y0),由|AM|=|BM|等价分析得到x0+ky0=8k2k2-3；由直线

26、PM和QM的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ的斜率m=3x0y0，由PQ/AB等价转化为ky0=3x0，由M在直线AB上等价于ky0=k2x0-2，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.(1)右焦点为F(2,0)，c=2,渐近线方程为y=3x，ba=3，b=3a，c2=a2+b2=4a2=4，a=1，b=3C的方程为：x2-y23=1；(2)由已知得直线PQ的斜率存在且不为零，直线AB的斜率不为零，若选由推或选由推：由成立可知直线AB的斜率存在且不为零；若选推，则M为线段AB的中点，假若直线AB的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M在x轴上，即为焦点

27、F,此时由对称性可知P、Q关于x轴对称，与从而x1=x2，已知不符；总之，直线AB的斜率存在且不为零.设直线AB的斜率为k,直线AB方程为y=k(x-2),则条件M在AB上，等价于y0=kx0-2ky0=k2x0-2；两渐近线的方程合并为3x2-y2=0,联立消去y并化简整理得：k2-3x2-4k2x+4k2=0设A(x3,y3),B(x3,y4),线段中点为N(xN,yN),则xN=x3+x42=2k2k2-3,yN=kxN-2=6kk2-3,设M(x0,y0),则条件|AM|=|BM|等价于x0-x32+y0-y32=x0-x42+y0-y42,移项并利用平方差公式整理得：x3-x42x0

28、-x3+x4+y3-y42y0-y3+y4=0，2x0-x3+x4+y3-y4x3-x42y0-y3+y4=0,即x0-xN+ky0-yN=0,即x0+ky0=8k2k2-3；由题意知直线PM的斜率为-3, 直线QM的斜率为3,由y1-y0=-3x1-x0,y2-y0=3(x2-x0),y1-y2=-3(x1+x2-2x0),所以直线PQ的斜率m=y1-y2x1-x2=-3x1+x2-2x0x1-x2,直线PM:y=-3x-x0+y0,即y=y0+3x0-3x,代入双曲线的方程3x2-y2-3=0,即3x+y3x-y=3中，得：y0+3x023x-y0+3x0=3,解得P的横坐标：x1=123

29、3y0+3x0+y0+3x0,同理：x2=-1233y0-3x0+y0-3x0，x1-x2=133y0y02-3x02+y0,x1+x2-2x0=-3x0y02-3x02-x0,m=3x0y0,条件PQ/AB等价于m=kky0=3x0，综上所述：条件M在AB上，等价于ky0=k2x0-2；条件PQ/AB等价于ky0=3x0；条件|AM|=|BM|等价于x0+ky0=8k2k2-3；选推:由解得：x0=2k2k2-3,x0+ky0=4x0=8k2k2-3,成立；选推：由解得：x0=2k2k2-3，ky0=6k2k2-3，ky0=3x0，成立；选推：由解得：x0=2k2k2-3，ky0=6k2k2

30、-3，x0-2=6k2-3，ky0=k2x0-2，成立.22(1)f(x)的减区间为(-,0)，增区间为(0,+).(2)a12(3)见解析【解析】【分析】（1）求出f(x)，讨论其符号后可得f(x)的单调性.（2）设h(x)=xeax-ex+1，求出h(x)，先讨论a12时题设中的不等式不成立，再就0a12结合放缩法讨论h(x)符号，最后就a0结合放缩法讨论h(x)的范围后可得参数的取值范围.（3）由（2）可得2lnt1恒成立，从而可得ln(n+1)-lnn1n2+n对任意的nN*恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.(1)当a=1时，f(x)=(x-1)ex，则f(x)=xex，当x0

31、时，f(x)0时，f(x)0，故f(x)的减区间为(-,0)，增区间为(0,+).(2)设h(x)=xeax-ex+1，则h(0)=0，又h(x)=(1+ax)eax-ex，设g(x)=(1+ax)eax-ex，则g(x)=(2a+a2x)eax-ex，若a12，则g(0)=2a-10，因为g(x)为连续不间断函数，故存在x0(0,+)，使得x(0,x0)，总有g(x)0，故g(x)在(0,x0)为增函数，故g(x)g(0)=0，故h(x)在(0,x0)为增函数，故h(x)h(0)=-1，与题设矛盾.若00，总有ln(1+x)x成立，证明：设S(x)=ln(1+x)-x，故S(x)=11+x-

32、1=-x1+x0，故S(x)在(0,+)上为减函数，故S(x)S(0)=0即ln(1+x)x成立.由上述不等式有eax+ln(1+ax)-exeax+ax-ex=e2ax-ex0，故h(x)0总成立，即h(x)在(0,+)上为减函数，所以h(x)h(0)=-1.当a0时，有h(x)=eax-ex+axeax1-1+0=0，所以h(x)在(0,+)上为减函数，所以h(x)0，总有xe12x-ex+11,t2=ex,x=2lnt，故2tlntt2-1即2lnt1恒成立.所以对任意的nN*，有2lnn+1nn+1n-nn+1，整理得到：ln(n+1)-lnnln2-ln1+ln3-ln2+ln(n+1)-lnn=ln(n+1)，故不等式成立.【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式.