高中数学讲义微专题09零点存在的判定与证明.doc

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1、江苏新高考微专题 申申数学工作室微专题 09 零点存在的判定与证明一、基础知识：1、函数的零点：一般的，对于函数 y = f (x)，我们把方程 f (x) = 0的实数根x 叫作函数 y = f (x)的0零点。2、零点存在性定理：如果函数 y = f (x) 在区间 a,b 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f (a) f (b) 0 ，那么函数 y = f (x)在区间 (a,b)内必有零点，即 ( ) 0 0$x a b ，使得 ( )0 , f x =注：零点存在性定理使用的前提是 f (x)在区间a,b连续，如果 f (x)是分段的，那么零点不一定存在3、函数单调性对零点个数的影

2、响：如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调4、几个“不一定”与“一定”（假设 f (x)在区间 (a,b)连续）（1）若 f (a) f (b) 0 ，则 f (x)“不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。如果 f (x)单调，那么“一定”没有零点（3）如果 f (x)在区间 (a,b)中存在零点，则 f (a) f (b)的符号是“不确定”的，受函数性质与图像影响。如果 f (x)单调，则 f (a) f (b)一定小于 05、零点与单调性配合可确定函数的符号： f (x)是一个在(a,b)单增连续函数，x = x 是 f

3、(x)的零点，0且 0 ( , ) x a,x 时， f (x) 0x a b ，则 ( )06、判断函数单调性的方法：（1）可直接判断的几个结论： 若 f (x),g (x)为增（减）函数，则 f (x)+ g (x)也为增（减）函数 若 f (x)为增函数，则 - f (x)为减函数；同样，若 f (x)为减函数，则 - f (x)为增函数 若 f (x),g (x)为增函数，且 f (x),g (x) 0 ，则 f (x) g (x)为增函数（2）复合函数单调性：判断 y = f (g (x)的单调性可分别判断 t = g (x)与 y = f (t)的单调性（注意要利用 x 的范围求出

4、t 的范围），若 t = g (x)， y = f (t)均为增函数或均为减函数，则 y = f (g (x)单调递- 1 -江苏新高考微专题 申申数学工作室增；若 t = g (x)， y = f (t)一增一减，则 y = f (g (x)单调递减（此规律可简记为“同增异减”）（3）利用导数进行判断求出单调区间从而也可作出图像7、证明零点存在的步骤：（1）将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数（2）判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数 f (x)（3）分析函数 f (x)的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间（4）利用零点存在性定理证明零点存在二、典型

5、例题：例 1：函数 f (x) = e + 2x - 3的零点所在的一个区间是（ ）xA. 1 - ,0 2B. 1 0, 2C. 1 ,1 2D. 31, 2例 2：函数 f (x) = ln(x -1)+ x 的零点所在的大致区间是（ ）A. 31, 2B. 3 ,2 2C. (2,e) D. (e,+)例 3：（2010，浙江）已知x 是函数 ( )f x0= 2 +x11-x的一个零点，若 x1 (1,x0 ),x2 (x0 ,+)，则（ ）A. f (x ) f (x ) B. ( 1 ) 0, ( 2 ) 01 0, 2 0 f x C. ( ) ( ) 1 0, 2 0f x1

6、0, f x2 f (x ) 例 4 ： 已 知 函 数 f (x) = log x + x - b (a 0,a 1) ， 当 2 a 3 b b g B. b a g C. g a b D. b g a例 6：若函数 f (x) 的零点与 g (x) = ln x + 2x - 8的零点之差的绝对值不超过 0.5，则 f (x) 可以是（ ）A f (x) = 3x - 6 B f (x) = (x - 4)25C f (x) = ex-1 -1 D f (x) = ln(x - )2例 7：设函数 f (x) = e + x - g (x )= x + x - ，若实数 a,b 分别是

7、f (x),g (x) 的零点，则x 22 4, ln 2 5（ ）A. g (a) 0 f (b) B. f (b) 0 g (a)C. 0 g (a) f (b) D. f (b) g (a) 0，函数 ( ) lnf x = x - ax2 （ f (x)的图像连续不断）（1）求 f (x)的单调区间1 3（2）当 = a = 时，证明：存在 x0 (2, +)，使得 f (x ) f08 2 例 10：已知函数 f (x) = e - a lnx - a ，其中常数 a 0，若 f (x)有两个零点 1, 2 (0 1 2 )xx x x x ，求证：1a x 1 x a1 2- 4 -