高中数学专栏练习学习题集.doc

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1、|高考等差、等比数列及其应用【考纲要求】1考查数列的函数性及与方程、不等式相结合的数列综合题2考查运用数列知识解决数列综合题的能力【课程类型】一对一个性化教学【教学建议】数列是高中的重要内容，考试说明中，等差、等比数列都是 C 级要求，因而考试题多为中等及以上难度，试题综合考查了函数与方程，分类讨论等数学思想填空题常常考查等差、等比数列的通项公式、前 n 项和公式及等差、等比数列的性质，考查运算求解能力；解答题综合性很强，不仅考查数列本身的知识而且还涉及到函数、不等式、解析几何等方面的知识，基本上都是压轴题因此希望同事们多研究全国各省市高考题，精选精练，让学生学有所获，学有所思，学有信心，克服

2、数列难的思想。【复习指导】1熟练等差数列与等比数列的基本运算2.数列中 与 之间的互化关系也是高考的一个热点.naS3掌握隐藏在数列概念和解题方法中的数学思想，如“函数与方程” 、 “数形结合” 、“分类讨论” 、 “等价转化”等基础练习1.已知 是等比数列， ，则 =_.na4125a， 1321naa解析数列 仍是等比数列,其首项是 公比为1 8,.4所以, 12318()32(14)nnnaa|2.设 12a， 1na， 21nab， *N，则数列 nb的通项公式 nb= 解析数列 nb是等比数列，则 142n3数列 an满足 a12， a21，并且 (n2)，则数列 an的an 1 a

3、nanan 1 an an 1anan 1第 100 项为 .解析 由已知可得： ， n2， 是等差数列， a1001an 1 1an 1 2an na1.150一. 若互不相等的实数 a， b， c 成等差数列， c， a， b 成等比数列，且 a3 b c10，则 a_解析 由 c， a， b 成等比数列可将公比记为 q，三个实数 a， b， c，待定为cq， cq2， c.由实数 a、 b、 c 成等差数列得 2b a c，即 2cq2 cq c，又等比数列中 c0，所以2q2 q10，解一元二次方程得 q1(舍去，否则三个实数相等)或 q ，12又 a3 b c a3 aq a10，所

4、以 a4.aq 525已知数列 an的前 n 项和为 Sn， a11， Sn2 an1 ，则 Sn_.解析 本小题主要考查数列前 n 项和 Sn与通项 an的关系，解题的突破口是用an表示 Sn.由 Sn2 an1 2( Sn1 Sn)得 Sn1 Sn，所以 Sn是以 S1 a11 为首项， 为32 32公比的等比数列，所以 Sn .|考向一 等差数列与等比数列的综合应用【例 1】设数列 na的前 项和为 ,nS 已知 1,a142nSa（I）设 12nb，证明数列 b是等比数列 （II）求数列a的通项公式.解：（I）由 1,及 142nSa，有 1214,a212353b由 4nSa， 则当

5、 n时，有 12nS 得 11,2()naa又 2nb， nb是首项 13b，公比为的等比数列（II）由（I）可得 113n， 24n数列 2na是首项为 12，公差为 34的等比数列 ()2na， 2(31)n 第（I）问思路明确，只需利用已知条件寻找 1b与 的 关 系 即 可 第（II）问中由（I）易得 113nna，这个递推式明显是一个构造新数列的模型： 1(,nnapq为 常 数 )，主要的处理手段是两边除以 1nq【巩固练习】 1已知等比数列 an的公比 q .12(1)若 a3 ，求数列 an的前 n 项和；14(2)证明：对任意 kN ， ak， ak2 ， ak1 成等差数列

6、解：(1)由 a3 a1q2 及 q ，得 a11，所以数列 an的前 n 项和 Sn14 12)21(n(2)证明：对任意 kN ，|2ak2 ( ak ak1 )2 a1qk1 ( a1qk1 a1qk) a1qk1 (2q2 q1)，由 q 得 2q2 q10，故 2ak2 ( ak ak1 )0.12所以，对任意 kN ， ak， ak2 ， ak1 成等差数列2设 是公差不为零的等差数列， 为其前 项和，满足nanS23457,S（1）求数列 的通项公式及前 项和 ；n n（2）试求所有的正整数 ，使得 为数列 中的项. m12mana解：（1）设公差为 ，则 ，d2543由性质得

7、，因为 ，所以 ，即4343()()aa0d430，又由 得 ，解得 ，12507S167215a所以 的通项公式为 ，前 项和 。dnnn26Sn（二） ，12253ma()令 ， ，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3t4t()86t因为 是奇数，所以 可取的值为 ，当 ， 时， ，tt1t2m863t，是数列 中的项； ， 时， ，数列2573nat115t中的最小项是 ，不符合.所以满足条件的正整数 .na52. 考向二 数列与函数的综合应用【例 2】 在数 1 和 100 之间插入 n个实数，使得这 2n个数构成递增的等比|数列，将这 2n个数的乘积记作 nT，再令 ,lgna

8、T1 .（）求数列 a的通项公式；（）设 1t,nnbA求数列 nb的前 项和 nS.解：（I）设 21,nll 构成等比数列，其中 ,10,21t则,21nttT12n并利用 得),21(023 nittni .1,2lg,)()( )(21212 nTattT nnnn（II）由题意和（I）中计算结果，知 )3t(tb另一方面，利用,tan)1t(a)1tan( kkk得.tat)1tan(k所以231tn)1t(nkkn kbS.1tan3)()tt23nk本题考查等比和等差数列，指数和对数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力.【

9、巩固练习】 设函数 f(x)( x3) 3 x1， an是公差不为 0 的等差数列，f(a1) f(a2) f(a7)14，则 a1 a2 a7_解析 记公差为 d，则 f(a1) f(a2) f(a7)( a13) 3( a23) 3( a73) 3( a1 a2 a7)7( a43 d3) 3( a42 d3) 3( a42 d3) 3( a43 d3) 37 a47|7( a43) 373( a43)7 a47.由已知，7( a43) 373( a43)7 a4714，即 7(a43) 373( a43)7( a43)0，( a43) 34( a43)0.因为 f(x) x34 x 在

10、R 上为增函数，且 f(0)0，故 a430，即 a43， a1 a2 a77 a47321.考向三 数列与不等式的综合应用热身：设 ，其中 成公比为 q 的等比数列，127 7531,成公差为 1 的等差数列，则 q 的最小值是_.642,a【答案】 3【例 3】 已知各项均为正数的两个数列 an和 bn满足：an1 ， nN *.an bna2n b2n(1)设 bn1 1 ， nN *，求证：数列 是等差数列；bnan 2)(nab一、 设 bn1 ， nN *，且 an是等比数列，求 a1和 b1的值2bnan(2)因为 an0， bn0，所以 a b 0 知 q0.下证 q1.|若

11、q1，则 a1 logq 时， an1 a1qn ，与(*)矛盾；a2q 2 2a1 2若 0a21，故当 nlogq 时， an1 a1qn1，于是 b1a1，则 a4a2解析 本题考查等比数列通项、简单不等式性质与均值不等式,选(2)2.已知等比数列 中 ，则其前 3 项的和 的取值范围是n21a3S_.解析：等比数列 中 n2312321Saqq当公比 时， ；0q31Sqq当公比 时， 3 123,1,S|3.等差数列 na中，已知 158a， 39，则 12a的取值范围是 .答案： (,7拓展错误!未指定书签。1. （2012 年高考（广东理） ）设数列 的前 项和为na,满足 ,

12、,nS12nna*N且 、 、 成等差数列.()求 的值;()求数列 的通项公式;1a53 1ana()证明:对一切正整数 ,有 .n123n错误!未找到引用源。1.解析:()由 ,解得 . 1232175aa1()由 可得 ( ),两式相减,可得12nnSa1nnSa,即 ,即 ,所以数列 (1n13n 132nna 2na)是一个以 为首项,3 为公比的等比数列.由 可得, ,所224a 12325以 ,即 ( ),当 时, ,也满足该式子,所以93nna32nna数列 的通项公式是 . nna()因为 ,所以 ,所以 ,111322n n132nn13na于是 . 112 1323nnn

13、na 【考纲要求】1考查数列的函数性及与方程、不等式相结合的数列综合题2考查运用数列知识解决数列综合题的能力【课程类型】一对一个性化教学【教学建议】数列是高中的重要内容，考试说明中，等差、等比数列都是 C 级要求，因|而考试题多为中等及以上难度，试题综合考查了函数与方程，分类讨论等数学思想填空题常常考查等差、等比数列的通项公式、前 n 项和公式及等差、等比数列的性质，考查运算求解能力；解答题综合性很强，不仅考查数列本身的知识而且还涉及到函数、不等式、解析几何等方面的知识，基本上都是压轴题因此希望同事们多研究全国各省市高考题，精选精练，让学生学有所获，学有所思，学有信心，克服数列难的思想。【复习

14、指导】1熟练等差数列与等比数列的基本运算2.数列中 与 之间的互化关系也是高考的一个热点.naS3掌握隐藏在数列概念和解题方法中的数学思想，如“函数与方程” 、 “数形结合” 、“分类讨论” 、 “等价转化”等基础练习1.已知 是等比数列， ，则 =_.na4125a， 1321naa解析数列 仍是等比数列,其首项是 公比为1 8,.4所以, 12318()32(14)nnnaa2.设 1， 1na， nba， *N，则数列 nb的通项公式 nb= 解析数列 nb是等比数列，则 142n3数列 an满足 a12， a21，并且 (n2)，则数列 an的an 1 ananan 1 an an 1

15、anan 1第 100 项为 .解析 由已知可得： ， n2， 是等差数列， a1001an 1 1an 1 2an na1|.150二. 若互不相等的实数 a， b， c 成等差数列， c， a， b 成等比数列，且 a3 b c10，则 a_解析 由 c， a， b 成等比数列可将公比记为 q，三个实数 a， b， c，待定为cq， cq2， c.由实数 a、 b、 c 成等差数列得 2b a c，即 2cq2 cq c，又等比数列中 c0，所以2q2 q10，解一元二次方程得 q1(舍去，否则三个实数相等)或 q ，12又 a3 b c a3 aq a10，所以 a4.aq 525已知数列 an的前 n 项和为 Sn， a11， Sn2 an1 ，则 Sn_.解析 本小题主要考查数列前 n 项和 Sn与通项 an的关系，解题的突破口是用an表示 Sn.由 Sn2 an1 2( Sn1 Sn)得 Sn1 Sn，所以 Sn是以 S1 a11 为首项， 为32 32公比的等比数列，所以 Sn .考向一 等差数列与等比数列的综合应用【例 1】设数列 na的前 项和为 ,nS 已知 1,a142nSa（I）设 12nb，证明数列 b是等比数列 （II）求数列a的通项公式.解：（I）由 1,及 142nSa，有 1214,a212353b由 4nSa， 则当 n时，有 12nS