2022年全国高考甲卷数学（文）试题.docx

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1、2022年全国高考甲卷数学（文）试题学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题1设集合A=-2,-1,0,1,2,B=x0x0)的图像向左平移2个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（）A16B14C13D126从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（）A15B13C25D237函数y=3x-3-xcosx在区间-2,2的图象大致为（）ABCD8当x=1时，函数f(x)=alnx+bx取得最大值-2，则f(2)=（）A-1B-12C12D19在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平

2、面AA1B1B所成的角均为30，则（）AAB=2ADBAB与平面AB1C1D所成的角为30CAC=CB1DB1D与平面BB1C1C所成的角为4510甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙若S甲S乙=2，则V甲V乙=（）A5B22C10D510411已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为13，A1,A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点若BA1BA2=-1，则C的方程为（）Ax218+y216=1Bx29+y28=1Cx23+y22=1Dx22+y2=112已知9m=10,a=10m-11,b=8m-9，则（）Aa0

3、bBab0Cba0Db0a二、填空题13已知向量a=(m,3),b=(1,m+1)若ab，则m=_14设点M在直线2x+y-1=0上，点(3,0)和(0,1)均在M上，则M的方程为_15记双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为e，写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值_16已知ABC中，点D在边BC上，ADB=120,AD=2,CD=2BD当ACAB取得最小值时，BD=_三、解答题17甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：准点班次数未准点班次数A24020B21

4、030(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？附：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，PK2k0.1000.0500.010k2.7063.8416.63518记Sn为数列an的前n项和已知2Snn+n=2an+1(1)证明：an是等差数列；(2)若a4,a7,a9成等比数列，求Sn的最小值19小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面ABCD是边长为8（单位：cm）的正方形，EAB,FBC,GCD,HDA均为正三角形，且它们所

5、在的平面都与平面ABCD垂直(1)证明：EF/平面ABCD；(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）20已知函数f(x)=x3-x,g(x)=x2+a，曲线y=f(x)在点x1,fx1处的切线也是曲线y=g(x)的切线(1)若x1=-1，求a；(2)求a的取值范围21设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F，点Dp,0，过F的直线交C于M，N两点当直线MD垂直于x轴时，MF=3(1)求C的方程；(2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN,AB的倾斜角分别为,当-取得最大值时，求直线AB的方程22在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=2+t6y=t（t为参数）

6、，曲线C2的参数方程为x=-2+s6y=-s（s为参数）(1)写出C1的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为2cos-sin=0，求C3与C1交点的直角坐标，及C3与C2交点的直角坐标23已知a，b，c均为正数，且a2+b2+4c2=3，证明：(1)a+b+2c3；(2)若b=2c，则1a+1c3参考答案：1A【解析】【分析】根据集合的交集运算即可解出【详解】因为A=-2,-1,0,1,2，B=x0x70%,所以A错；讲座后问卷答题的正确率只有一个是80%,4个85%,剩下全部大于等于90%,所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%,所以B

7、对；讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以C错；讲座后问卷答题的正确率的极差为100%-80%=20%，讲座前问卷答题的正确率的极差为95%-60%=35%20%,所以D错.故选:B.3D【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出【详解】因为z=1+i，所以iz+3z=i1+i+31-i=2-2i，所以iz+3z=4+4=22故选：D.4B【解析】【分析】由三视图还原几何体，再由棱柱的体积公式即可得解.【详解】由三视图还原几何体，如图，则该直四棱柱的体积V=2+4222=12.故选：B.5C【

8、解析】【分析】先由平移求出曲线C的解析式，再结合对称性得2+3=2+k,kZ，即可求出的最小值.【详解】由题意知：曲线C为y=sinx+2+3=sin(x+2+3)，又C关于y轴对称，则2+3=2+k,kZ，解得=13+2k,kZ，又0，故当k=0时，的最小值为13.故选：C.6C【解析】【分析】先列举出所有情况，再从中挑出数字之积是4的倍数的情况，由古典概型求概率即可.【详解】从6张卡片中无放回抽取2张，共有1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,5,615种情况，其中数字之积为4的倍数的有1,4,2,4,2,6,3,4

9、,4,5,4,66种情况，故概率为615=25.故选：C.7A【解析】【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.【详解】令f(x)=(3x-3-x)cosx,x-2,2，则f(-x)=(3-x-3x)cos(-x)=-(3x-3-x)cosx=-f(x)，所以f(x)为奇函数，排除BD；又当x(0,2)时，3x-3-x0,cosx0，所以f(x)0，排除C.故选：A.8B【解析】【分析】根据题意可知f1=-2，f1=0即可解得a,b，再根据fx即可解出【详解】因为函数fx定义域为0,+，所以依题可知，f1=-2，f1=0，而fx=ax-bx2，所以b=-2,a-b=0

10、，即a=-2,b=-2，所以fx=-2x+2x2，因此函数fx在0,1上递增，在1,+上递减，x=1时取最大值，满足题意，即有f2=-1+12=-12故选：B.9D【解析】【分析】根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出【详解】如图所示：不妨设AB=a,AD=b,AA1=c，依题以及长方体的结构特征可知，B1D与平面ABCD所成角为B1DB，B1D与平面AA1B1B所成角为DB1A，所以sin30=cB1D=bB1D，即b=c，B1D=2c=a2+b2+c2，解得a=2c对于A，AB=a，AD=b，AB=2AD，A错误；对于B，过B作BEAB1于E，易知BE平面AB1C1D，所以AB与平面

11、AB1C1D所成角为BAE，因为tanBAE=ca=22，所以BAE30，B错误；对于C，AC=a2+b2=3c，CB1=b2+c2=2c，ACCB1，C错误；对于D，B1D与平面BB1C1C所成角为DB1C，sinDB1C=CDB1D=a2c=22，而0DB1C1，再利用基本不等式，换底公式可得mlg11，log89m，然后由指数函数的单调性即可解出【详解】由9m=10可得m=log910=lg10lg91，而lg9lg11lg9+lg1122=lg9922lg11lg10，即mlg11，所以a=10m-1110lg11-11=0又lg8lg10lg8+lg1022=lg8022lg10lg

12、9，即log89m，所以b=8m-90b故选：A.13-34#-0.75【解析】【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.【详解】由题意知：ab=m+3(m+1)=0，解得m=-34.故答案为：-34.14(x-1)2+(y+1)2=5【解析】【分析】设出点M的坐标，利用(3,0)和(0,1)均在M上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.【详解】解：点M在直线2x+y-1=0上，设点M为(a,1-2a)，又因为点(3,0)和(0,1)均在M上，点M到两点的距离相等且为半径R，(a-3)2+(1-2a)2=a2+(-2a)2=R，a2-6a+9+4a2-4a+1=5a2，解得a=1，M(1,-1)，

13、R=5，M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.故答案为：(x-1)2+(y+1)2=5152（满足1e5皆可）【解析】【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线y=bax中00,b0)，所以C的渐近线方程为y=bax,结合渐近线的特点，只需01，所以1e5，故答案为：2（满足10，利用余弦定理表示出AC2AB2后，结合基本不等式即可得解.【详解】设CD=2BD=2m0，则在ABD中，AB2=BD2+AD2-2BDADcosADB=m2+4+2m，在ACD中，AC2=CD2+AD2-2CDADcosADC=4m2+4-4m，所以AC2AB2=4m2+4-4mm2+4+2m=4m2+4+2m-12

14、1+mm2+4+2m=4-12m+1+3m+14-122m+13m+1=4-23，当且仅当m+1=3m+1即m=3-1时，等号成立，所以当ACAB取最小值时，m=3-1.故答案为：3-1.17(1)A，B两家公司长途客车准点的概率分别为1213，78(2)有【解析】【分析】（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果；（2）根据表格中数据及公式计算K2，再利用临界值表比较即可得结论.(1)根据表中数据，A共有班次260次，准点班次有240次，设A家公司长途客车准点事件为M，则P(M)=240260=1213；B共有班次240次，准点班次有210次，设B家公司长途客车准点事件为N，则P(

15、N)=210240=78.A家公司长途客车准点的概率为1213；B家公司长途客车准点的概率为78.(2)列联表准点班次数未准点班次数合计A24020260B21030240合计45050500K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=500(24030-21020)2260240450503.2052.706，根据临界值表可知，有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关.18(1)证明见解析；(2)-78【解析】【分析】（1）依题意可得2Sn+n2=2nan+n，根据an=S1,n=1Sn-Sn-1,n2，作差即可得到an-an-1=1，从而得

16、证；（2）由（1）及等比中项的性质求出a1，即可得到an的通项公式与前n项和，再根据二次函数的性质计算可得(1)解：因为2Snn+n=2an+1，即2Sn+n2=2nan+n，当n2时，2Sn-1+n-12=2n-1an-1+n-1，-得，2Sn+n2-2Sn-1-n-12=2nan+n-2n-1an-1-n-1，即2an+2n-1=2nan-2n-1an-1+1，即2n-1an-2n-1an-1=2n-1，所以an-an-1=1，n2且nN*，所以an是以1为公差的等差数列(2)解：由（1）可得a4=a1+3，a7=a1+6，a9=a1+8，又a4，a7，a9成等比数列，所以a72=a4a9

17、，即a1+62=a1+3a1+8，解得a1=-12，所以an=n-13，所以Sn=-12n+nn-12=12n2-252n=12n-2522-6258，所以，当n=12或n=13时Snmin=-7819(1)证明见解析；(2)64033【解析】【分析】（1）分别取AB,BC的中点M,N，连接MN，由平面知识可知EMAB,FNBC，EM=FN，依题从而可证EM平面ABCD，FN平面ABCD，根据线面垂直的性质定理可知EM/FN，即可知四边形EMNF为平行四边形，于是EF/MN，最后根据线面平行的判定定理即可证出；（2）再分别取AD,DC中点K,L，由（1）知，该几何体的体积等于长方体KMNL-E

18、FGH的体积加上四棱锥B-MNFE体积的4倍，即可解出(1)如图所示：，分别取AB,BC的中点M,N，连接MN，因为EAB,FBC为全等的正三角形，所以EMAB,FNBC，EM=FN，又平面EAB平面ABCD，平面EAB平面ABCD=AB，EM平面EAB，所以EM平面ABCD，同理可得FN平面ABCD，根据线面垂直的性质定理可知EM/FN，而EM=FN，所以四边形EMNF为平行四边形，所以EF/MN，又EF平面ABCD，MN平面ABCD，所以EF/平面ABCD(2)如图所示：，分别取AD,DC中点K,L，由（1）知，EF/MN且EF=MN，同理有，HE/KM,HE=KM，HG/KL,HG=KL

19、，GF/LN,GF=LN，由平面知识可知，BDMN，MNMK，KM=MN=NL=LK，所以该几何体的体积等于长方体KMNL-EFGH的体积加上四棱锥B-MNFE体积的4倍因为MN=NL=LK=KM=42，EM=8sin60=43，点B到平面MNFE的距离即为点B到直线MN的距离d，d=22，所以该几何体的体积V=42243+413424322=1283+25633=6403320(1)3(2)-1,+【解析】【分析】（1）先由f(x)上的切点求出切线方程，设出g(x)上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，再由函数值求出a即可；（2）设出g(x)上的切点坐标，分别由f(x)和g(x)及切点表示出切线

20、方程，由切线重合表示出a，构造函数，求导求出函数值域，即可求得a的取值范围.(1)由题意知，f(-1)=-1-(-1)=0，f(x)=3x2-1，f(-1)=3-1=2，则y=f(x)在点-1,0处的切线方程为y=2(x+1)，即y=2x+2，设该切线与g(x)切于点x2,g(x2)，g(x)=2x，则g(x2)=2x2=2，解得x2=1，则g(1)=1+a=2+2，解得a=3；(2)f(x)=3x2-1，则y=f(x)在点x1,f(x1)处的切线方程为y-x13-x1=3x12-1(x-x1)，整理得y=3x12-1x-2x13，设该切线与g(x)切于点x2,g(x2)，g(x)=2x，则g

21、(x2)=2x2，则切线方程为y-x22+a=2x2(x-x2)，整理得y=2x2x-x22+a，则3x12-1=2x2-2x13=-x22+a，整理得a=x22-2x13=3x122-122-2x13=94x14-2x13-32x12+14，令h(x)=94x4-2x3-32x2+14，则h(x)=9x3-6x2-3x=3x(3x+1)(x-1)，令h(x)0，解得-13x1，令h(x)0，解得x-13或0x0,y1y2=-4，由斜率公式可得kMN=y1-y2y124-y224=4y1+y2，kAB=y3-y4y324-y424=4y3+y4，直线MD:x=x1-2y1y+2，代入抛物线方程

22、可得y2-4(x1-2)y1y-8=0，0,y1y3=-8，所以y3=2y2，同理可得y4=2y1，所以kAB=4y3+y4=42(y1+y2)=kMN2又因为直线MN、AB的倾斜角分别为,，所以kAB=tan=kMN2=tan2，若要使-最大，则(0,2)，设kMN=2kAB=2k0，则tan(-)=tan-tan1+tantan=k1+2k2=11k+2k121k2k=24，当且仅当1k=2k即k=22时，等号成立，所以当-最大时，kAB=22，设直线AB:x=2y+n，代入抛物线方程可得y2-42y-4n=0，0,y3y4=-4n=4y1y2=-16，所以n=4，所以直线AB:x=2y+

23、4.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用抛物线方程对斜率进行化简，利用韦达定理得出坐标间的关系.22(1)y2=6x-2y0；(2)C3,C1的交点坐标为12,1，1,2，C3,C2的交点坐标为-12,-1，-1,-2【解析】【分析】(1)消去t，即可得到C1的普通方程；(2)将曲线C2,C3的方程化成普通方程，联立求解即解出(1)因为x=2+t6，y=t，所以x=2+y26，即C1的普通方程为y2=6x-2y0(2)因为x=-2+s6,y=-s，所以6x=-2-y2，即C2的普通方程为y2=-6x-2y0，由2cos-sin=02cos-sin=0，即C3的普通方程为2x-y=0联立y2

24、=6x-2y02x-y=0，解得：x=12y=1或x=1y=2，即交点坐标为12,1，1,2；联立y2=-6x-2y02x-y=0，解得：x=-12y=-1或x=-1y=-2，即交点坐标为-12,-1，-1,-223(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）根据a2+b2+4c2=a2+b2+2c2，利用柯西不等式即可得证；（2）由（1）结合已知可得00，b0，c0，由（1）得a+b+2c=a+4c3，即0a+4c3，所以1a+4c13，由权方和不等式知1a+1c=12a+224c1+22a+4c=9a+4c3，当且仅当1a=24c，即a=1，c=12时取等号，所以1a+1c3.答案第14页，共14页