2022年高一数学典型例题分析：等差数列的前n项和.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - | |生活 | 学习必备欢迎下载一个人总要走生疏的路, 看生疏的风景, 听生疏的歌, 然后在某个不经意的瞬 间,你会发觉,原本费尽心机想要遗忘的事情真的就这么遗忘了 . |-郭敬明【例 1】等差数列前等差数列的前n 项和 例题解析125,10 项的和为140,其中,项数为奇数的各项的和为求其第 6 项解依题意,得a1 d = 140120d = 12510a110 102a1a3a57a = 5a解得 a1=113,d=22 其通项公式为an=113n1 22=22n135 a6=22 61353 说明此题上边给出的解法是先求出基本元素a1、d

2、,再求其他的这种先求出基本元素,再用它们去构成其他元素的方法,是常常用到的一种方法在本课中假如留意到a6=a1 5d,也可以不必求出an 而2a19d = 28相减即得a 15d = 3,直接去求a 6,所列方程组化简后可得a 14d = 25即 a63可见,在做题的时候,要留意运算的合理性当然要做到这一点,必需以对学问的娴熟把握为前提【例 2】在两个等差数列2,5,8, , 197 与 2,7,12, , 197 中,求它们相同项的和解由已知,第一个数列的通项为an3n 1；其次个数列的通项为bN=5N3 如 ambN,就有 3n15N3 即 nN2N1 3如满意 n 为正整数,必需有N3k

3、1k 为非负整数 又 25N3197,即 1N40,所以名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载N1,4,7, , 40 n=1,6,11, , 66 两数列相同项的和为21732 197=1393 【例 3】挑选题：实数a, b,5a, 7,3b, , c 组成等差数列,且ab5a7 3b c2500,就 a,b,c 的值分别为A1,3,5 B1,3,7b = 3a C1,3, 99 D1, 3,9 解 C 由题设2b = a5a又 145a 3b,a1,b 3 首项为 1,公差为 2 又S = na

4、 1n n1 d2 502 2500= nn n1 2a50=c=1 5012=99 a 1,b3,c99 【例 4】在 1 和 2 之间插入 2n 个数,组成首项为1、末项为 2 的等差数列,如这个数列的前半部分的和同后半部分的和之比为 解 依题意 212n21d 913,求插入的数的个数名师归纳总结 前半部分的和Sn+1n1n1 nd 第 2 页,共 11 页2后半部分的和Sn+1n12n21 nd由已知,有Sn11n1 1nd92 ndSnn1 2132化简,得1nd92 nd2132解之,得 nd =511由,有 2n 1d=1 由,解得d = 1 11,n = 5 共插入 10 个数

5、【例 5】在等差数列 a n 中,设前 m 项和为 Sm,前 n 项和为 Sn,且 Sm- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载Sn,m n,求 Sm+n解Sm+nmna11mnm 1d2mna11m n1d2且 SmSn,m nma 11mm1dna 11nn1d 1 = 022整理得mna1dmnm n2即mna 11m 1d = 02由mn,知a 11m 1d02Sm+n0【例 6】已知等差数列 an 中, S3=21,S6=64,求数列 |an|的前 n 项和Tn分析等差数列前n 项和S = na n1n n1d,含有两个未知数a1

6、,2d,已知 S3和 S6的值, 解方程组可得 进行判定,就可求出 Tn 来a1 与 d,再对数列的前如干项的正负性解设公差为d,由公式S nna 1n n1d2得3a 13d = 21ba 115d = 24解方程组得： d 2,a19an 9n1n 2 2n11 名师归纳总结 由a n2n110 得 11= 5.5,故数列a n的前5项为正,第 3 页,共 11 页2其余各项为负数列an 的前 n 项和为：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - Sn9nn n1 学习必备2欢迎下载2 =n10n2当 n 5 时, Tn n210n当 n6 时, TnS5

7、|SnS5| S5Sn S52S5SnTn22550n210nn210n50 T n =n 210n n5即n 210n50 n6 nN *说明 依据数列 a n中项的符号, 运用分类争论思想可求|an|的前 n 项和【例 7】在等差数列 an 中,已知 a6 a9a12 a1534,求前 20 项之和解法一 由 a6a9a12a1534 得 4a1 38d34 又S 2020a 12019d220a1190d54a138d=5 34=170 解法二 S20= a + a2020= 10a1a 2由等差数列的性质可得：a6a15=a9a12a1a20a1a20=17 S20170 名师归纳总结

8、 【例 8】已知等差数列 an 的公差是正数,且a3a7=12,a4a6=4,第 4 页,共 11 页求它的前20 项的和 S20 的值解法一设等差数列 an 的公差为 d,就 d 0,由已知可得a12da1bd12 a13da15d =4 由,有 a1 24d,代入,有d2=4- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 再由 d 0,得 d2 学习必备欢迎下载a1=10 最终由等差数列的前 n 项和公式,可求得 S20180 解法二 由等差数列的性质可得：a4a6a3a7 即 a3a7 4 又 a3a7=12,由韦达定理可知：a3,a7是方程 x24x120

9、的二根解方程可得 x1=6,x22 d0 a n是递增数列a3 6,a7=2 d =a7a 3= 2,a110,S20180 n 项73【例 9】等差数列 an 、b n 的前 n 项和分别为Sn和 Tn,如Sn2n1,就a 100等于T n3 nb 100 A1B23C199D200299301分析该题是将a100与Sn2n1发生联系,可用等差数列的前b100Tn3 n和公式Sn=na + a 把前 项和的值与项的值进行联系n2解法一Snn a 12an,Tnn b12bnSna 1ana1an32n1T nb1bnb1bnn2a100a1a199,2b100b1b199名师归纳总结 a10

10、0=a 1a199=32199199 + 1 =199选C第 5 页,共 11 页100199bb 1b299- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解法二学习必备欢迎下载Snan2利用数列 a n 为等差数列的充要条件：bn S Tn32n1nn可设 Sn2n2k, Tnn3n1ka bnSnSn122 n k2n1 2k1k,nTnT n1n3 n1 kn1 3 n1 1 ka b4n22n16n23 n11002100119910031001299说明该解法涉及数列a n 为等差数列的充要条件Sn=an2bn,由已知Sn2n1,将S n和Tn写成什么？

11、如写成S = 2nk,T = 3nTn3 nk 是常数,就不对了【例 10】解答以下各题：1已知：等差数列a n 中 a23,a6 17,求 a9；2在 19 与 89 中间插入几个数,使它们与这两个数组成等差数列,并且此数 列各项之和为 1350,求这几个数；3已知：等差数列 4已知：等差数列 分析与解答a n 中, a4a6 a15a1750,求 S20；a n 中, an=333n,求 Sn的最大值1a6= a 262d d173=54a9=a696d= 173 5=322a1=19,an+2=89,Sn+21350 名师归纳总结 S n+2= a + a n+22n + 2第 6 页,

12、共 11 页 2 = 2 19 +89 = 25 n = 231350an+2= a 25= a 124d d = 35 12- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 故这几个数为首项是学习必备欢迎下载1,公差为35的23 个数21 11 12,末项是8612123a4a6a15a17=50又因它们的下标有 417615=21 a4 a17=a6a15=25 S20=a + a202010a4a17n2250n24an=333n a130363Sn=a + a nn633 n n22223n21232 21228nN,当 n=10 或 n=11 时, Sn 取

13、最大值 165【例 11】求证：前 n 项和为 4n2 3n 的数列是等差数列证 设这个数列的第 n 项为 an,前 n 项和为 Sn当 n2 时, anSnSn-1an 4n23n 4n 123n1 =8n1 当 n=1 时, a1=S1=43=7 由以上两种情形可知,对全部的自然数 n,都有 an=8n1 又 an+1an8n1 1 8n18 这个数列是首项为 7,公差为 8 的等差数列说明 这里使用了“an=SnSn-1” 这一关系使用这一关系时,要留意,它只在 n2 时成立 由于当 n 1 时,Sn-1=S0,而 S0 是没有定义的 所以, 解题时,要像上边解答一样,补上 n1 时的情

14、形【例 12】证明： 数列 a n 的前 n 项之和 Snan2bna、b 为常数 是这个数列成为等差数列的充分必要条件证名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载由 Snan2bn,得当 n2 时, anSnSn-1an2bnan12bn1 =2naba a1S1ab 对于任何 nN,an2naba 且 anan-1=2naba 2n1aba 2a常数 a n 是等差数列如a n 是等差数列,就Snna 1n n1 dna1d2= d1n n2=dn2n a1d22= b,即如令d= a,就a 1d22

15、Sn=an2bn综上所述, Sn=an2bn 是an 成等差数列的充要条件说明 由此题的结果, 进而可以得到下面的结论：前 n 项和为 Sn=an2bnc的数列是等差数列的充分必要条件是 c0事实上,设数列为 u n ,就：充分性 c = 0 S nan 2b n u 是等差数列2必要性 u 是等差数列 S nanbn c 【例 13】等差数列 an 的前 n 项和 Snm,前 m 项和 Smnmn,求前m n 项和 Sm+n名师归纳总结 解法一设an 的公差 d 第 8 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载按题意,就有

16、Snna1n n1 dmnd1 d = nm2Smma1m m1 dn 2,得mna1mnm2即a 1mn1d =1n1 2mn mS m nmn a 12mn a 1mn1d 2=m n解法二 设 Sx Ax 2Bxx N Am 2Bmn An 2Bnm ,得 Am 2n2Bmnnmm n Am nB= 1 故 Am n2 Bm n mn 即 Sm+n mn 说明 a1,d 是等差数列的基本元素,通常是先求出基本元素,再解决其它问题,但此题关键在于求出了 a 1m n 1 d ,这种设而不2解的“ 整体化” 思想,在解有关数列题目中值得借鉴解法二中,由于是等差数列,由例 22,故可设 Sx=

17、Ax 2BxxN【例 14】在项数为 2n 的等差数列中,各奇数项之和为 75,各偶数项之和为 90,末项与首项之差为 27,就 n 之值是多少？解S 偶项 S 奇项 =nd nd=90 75=15 又由 a2na127,即 2n1d=27 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - nd1527学习必备欢迎下载n = 5 2n1d【例 15】在等差数列 an 中,已知a125,S9S17,问数列前多少项和最大,并求出最大值解法一建立 Sn 关于 n 的函数,运用函数思想,求最大值169依据题意：S 17= 17a 1171

18、6d,S 99a 198d22a1=25,S17S9解得 d 2Sn25nn n1 2 =n226n =n1322当 n=13 时, Sn 最大,最大值S13169n解法二由于 a1=250,d 20,所以数列 an 是递减等差数列,如使前n 项和最大,只需解an00,可解出an+1a1 25,S9S17 2598d = 17251716d,解得d =222an=25n 12=2n272n2700n13.5n = 13S13=1692n127n12.5即前 13 项和最大,由等差数列的前n 项和公式可求得解法三利用 S9=S17 查找相邻项的关系由题意 S9=S17 得 a10a11a12 a17=0 而 a10 a17=a11a16=a12a15=a13a14a13a140,a13=a14a130, a140 S13=169 最大名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解法四依据等差数列前学习必备欢迎下载nn 项和的函数图像,确定取最大值时的a n 是等差数列可设 SnAn 2Bn 二次函数 y=Ax 2Bx 的图像过原点,如图 321 所示S9S17, 对称轴 x = 9 +17 2= 13取 n=13 时, S13169 最大名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 11 页