2022年高中数学基础知识强化记忆.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 专题一：常以客观题考查的内容一、集合1、集合1集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性 . 2常用数集及其记法N 表示自然数集,N或 N表示正整数集,Z 表示整数集,Q 表示有理数集,R 表示实数集 .3集合与元素间的关系对象 a 与集合 M 的关系是 aM ,或者 aM ,两者必居其一. 4集合的表示法自然语言法：用文字表达的形式来描述集合 . 列举法：把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合 . 描述法： x | x 具有的性质 ,其中 x 为集合的代表元素 . 图示法：用数轴或韦恩图来表示集合 .留意：争论集合问题,肯定要

2、 懂得集合的意义 抓住集合的代表元素；5集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集. 含有无限个元素的集合叫做无限集. 不含有任何元素的集合叫做空集 . 2、集合间的基本关系1子集、真子集、集合相等名称记号意义1AA 性质B示意图或子集ABA 中的任一元素都2AAB且 BC, 就AB3 假 设AC或B且 BA ,就 AB属于 B 4假设ABA真子AB AB,且 B 中至1A A 为非空子集A或少有一元素不属于2假设 AB 且 BC ,就 ACBA集BAA 集合ABA 中的任一元素都1AB 2 n1个真子集,它有2n1AB属于 B,B 中的任一相等2BA 元素都属于A 2已知集合A 有n n1个元

3、素,就它有2n 个子集,它有个非空子集,它有 2 n2非空真子集 . 3、集合间的基本运算交集、并集、补集1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名记号意义性质示意图B2补称1 AAA交ABx xA 且xB2 ABAA集3 AABBB1 AAA并ABx xA 或xB2 ABAA集3 AAABBAUA补UAx xU, 且xA UAB UAUB集UAB UAUBAUAU留意： 1数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具,数形结合是解集合问题的常用方法；集思想常运用于解决否认型或正面较复杂的有关问题；二、常用规律用语1、

4、命题：可以判定真假的语句叫命题；规律联结词： “ 或” “ 且” “ 非” 这些词就叫做规律联结词；简洁命题：不含规律联结词的命题 ; 复合命题：由简洁命题与规律联结词构成的命题 . 常用小写的拉丁字母 p , q , r , s, 表示命题 . 2、四种命题及其相互关系 四种命题的真假性之间的关系：、两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性；、两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系留意：在写出一个含有“ 或”、“ 且” 命题的否命题时,要留意“ 非或即且,非且即或”；否命题要对命题的条件和结论都否认而命题的否认仅对命题的结论否认；3、充分条件、必要条件与充要条件 、一般地,假如已

5、知 p q ,那么就说：p 是 q的充分条件, q 是 p 的必要条件；假设 p q,就p是q的充分必要条件,简称充要条件、充分条件,必要条件与充要条件主要用来区分命题的条件 p 与结论 q之间的关系：、从规律推理关系上看：假设 pq ,就 p 是 q 充分条件, q 是 p 的必要条件；. 假设 pq ,但 qp ,就 p 是 q 充分而不必要条件; 假设 pq,但qp,就p是q必要而不充分条件; 假设 pq 且 qp ,就 p 是 q 的充要条件；假设 pq 且 qp ,就 p 是 q 的既不充分也不必要条件、从集合与集合之间的关系上看：已知 Ax x满意条件 p , Bx x 满意条件

6、q ：A , 就 p 是 q 必要条件；; 假设 AB , 就 p 是 q 充分条件； 假设 B 假设 A B ,就 p 是 q 充分而不必要条件; 假设 B A,就 p 是 q 必要而不充分条件 假设 AB ,就 p 是 q 的充要条件2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 假设 AB且BA,就p是q的既不充分也不必要条件.4、复合命题p 或 q pq ； p 且 q pq；非 p p . 复合命题有三种形式：复合命题的真假判定“p 或 q ” 形式复合命题的真假判定方法：一真必真；. “p 且 q ” 形式复合命

7、题的真假判定方法：一假必假；“ 非 p ” 形式复合命题的真假判定方法：真假相对5、全称量词与存在量词全称量词与全称命题短语“ 全部的”“ 任意一个” 在规律中通常叫做全称量词,并用符号“” 表示 . 含有全称量词的命题,叫做全称命题 . 存在量词与特称命题短语“ 存在一个”“ 至少有一个” 在规律中通常叫做存在量词,并用符号“” 表示 . 含有存在量词的命题,叫做特称命题. 全称命题与特称命题的符号表示及否认全称命题p ：x,p x ,它的否认p ：x0x,p x0.全称命题的否认是特称命题. 特称命题p ：x 0,p x 0,它的否认p ：p x .特称命题的否认是全称命题三、平面对量1、

8、向量的物理背景与概念1 明白四种常见向量：力、位移、速度、加速度 .2 既有大小又有方向的量叫做向量 . 2、向量的几何表示1 带有方向的线段叫做有向线段,有向线段包含三个要素：起点、方向、长度 . 2 向量 AB 的大小,也就是向量 AB 的长度或称模 ,记作 AB ；长度为零的向量叫做零向量；长度等于 1 个单位的向量叫做单位向量,a 的单位向量是 a；| a |3、相等向量与共线向量1 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 . 2 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共线向量. 规定：零向量与任意向量平行. 4、向量加法运算及其几何意义1 三角形加法法就和平行四边形加法法就 .三角形法

9、就的特点：首尾相连平行四边形法就的特点：共起点名师归纳总结 2abab.babab 0aaaCb第 3 页,共 13 页三角形不等式：a运算性质：交换律：abba ；a0结合律：abcabc ；3 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 5、向量减法运算及其几何意义1 与 a 长度相等方向相反的向量叫做 a 的相反向量 . 2 三角形减法法就和平行四边形减法法就 . 三角形法就的特点：共起点,连终点,方向指向被减向量6、向量数乘运算及其几何意义1 规定：实数与向量 a 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘. 记作：a ,它的长度和方向规定如下：aa, 当0

10、时, a 的方向与 a 的方向相同； 当0时, a 的方向与 a 的方向相反 . 2平面对量共线定理：向量aa0与 b 共线,当且仅当有唯独一个实数,使ba. 3运算律：aaba ；aaa ；ab7、平面对量基本定理1 平面对量基本定理：假如e 1,e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内任一向量a ,有且只有一对实数1,2,使a1e 12e 2. 8、平面对量的正交分解及坐标表示aixyjx ,y. 9、平面对量的坐标运算1设aAx 1,y 1,bx 2x 2,y2,就：b2x 1x2,y 1y 2,abx 1x 2,y 1y2,aax 1, y 1,y2a/bx 1y2y2x

11、 2y 1. 2 设x 1,y 1,B,就：ABxx 1,y 1. 10、平面对量共线的坐标表示1分点坐标公式： 设点是线段12上的一点,1、2的坐标分别是x y 1,x 2,y2y,当12时,点的坐标是x 1x 2,y 1y2当1 时,就为中点公式；）11,y 1y23. 2设Ax 1,y 1,Bx2,y2,Cx3,y3,就： 线段 AB中点坐标为x 12x 2,y 12y 2, ABC的重心坐标为x 1x2x33311、平面对量数量积的物理背景及其含义1a2baabcos. 2 a 在 b 方向上的投影为：acos. ab0. 3a2ab4aa2. 5. 4 名师归纳总结 - - - -

12、- - -第 4 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 12、平面对量数量积的坐标表示、模、夹角1设ax 1,y 1,bx 2,y2,就：a2 x 1y2b2x y 1 2x y 2 10abx 1x 2y 1y21aba b0x x 1 2y y 1 20a/ /ba2 设Ax1,y 1,Bx2,y2,就：ABx2x 12y2y 1. 3 两向量的夹角公式cosa bx x2y y2a bx 12y2x22y22113、平面几何中的向量方法 14、向量在物理中的应用举例四、不等式 1 、不等式的基本性质对称性abbanbc传递性ab bcdaaccbd,b1可加性

13、abac同向可加性ab ,cc异向可减性ab,cdacbdbc可积性ab,c0acbcab,c0acab0,0d同向正数可乘性ab0,cd0acbd异向正数可除性acd平方法就ab0an b nN,且n1开方法就ab0nanb nN且n倒数法就ab011;ab011abab2、几个重要不等式a2b22 ab a,bR, 当且仅当 ab 时取 号 . 变形公式：aba22b2. 基本不等式a2baba,bR, 当且仅当 ab 时取到等号 . 变形公式：ab2ababa2b2.用基本不等式求最值时积定和最小,和定积最大,要留意满意三个条件“ 一正、二定、三相等”三个正数的算术几何平均不等式abc3

14、abc a、 、cR3当且仅当 abc时取到等号 . a22 b2 cabbcca a,bR当且仅当 abc 时取到等号 . 如ab0, 就ba2当仅当 a=b 时取等号如ab0,就ba2当仅当 a=b 时取等号abab5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 当 a0 时,xa2 xa2xa 或xa;xax2a2axa .3、几个闻名不等式2 2平均不等式：a 1 2b 1 ab a2 b a2 b a,b R , 当且仅当 a b 时取 号 . 即调和平均 几何平均 算术平均 平方平均 .2 2 2 2变形公式：a

15、b a b a b ; a 2b 2 a b .2 2 2琴生不等式 : 特例 : 凸函数、凹函数假设定义在某区间上的函数 f x , 对于定义域中任意两点x x 2 x 1 x 2 ,有 f x 1 x 2 f x 1 f x 2 或 f x 1 x 2 f x 1 f x 2 . 就称 fx 为凸或凹函数 . 2 2 2 24、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法作差,作商法、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法,函数单调性法等 . 常见不等式的放缩方法：舍去或加上一些项,如a123k a1 22 ;111,1kN*,k1等. 24将分子或分母放大缩小,如 :1

16、11,k2k kk2k k22kk2k1k21,1k2kkk5、一元二次不等式的解法判别式b24ac000二次函数y2 axbxc a0O的图象ax2一元二次方程a0x 1,2b2 b4acx 1|x 2b无实根bxc02 a2a其中x 1x 2的根ax2bxc0a0x xx 或xx 2xxb 2 aRax2的解集a0x x 1xx2bxc0的解集求一元二次不等式ax2bxc0或0a0,b24 ac0解集的步骤：6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 一化：化二次项前的系数为正数. . 规律：当二次项系数为正时,小于

17、取中间,大于取两边. 二判：判定对应方程的根. 三求：求对应方程的根. 四画：画出对应函数的图象. 五解集：依据图象写出不等式的解集6、高次不等式的解法：穿根法. 分解因式,把根标在数轴上,从右上方依次往下穿奇穿偶切的解集 . ,结合原式不等号的方向,写出不等式7、分式不等式的解法：先移项通分标准化,就f x 0f x g x 002g x f x 0f x g x g x 0f x 0g x “或” 时同理规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解. 8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解f x a a0f x 0f x a a0f x 2 af x 2 af x g x f x 02或

18、f x 0f x g x f x 0g x 0g x 0g x 0f x f x f x 0. f x g x g x 0f x g x 规律：把无理不等式等价转化为有理不等式,从“ 小” 的一边分析求解9、指数不等式的解法：当a1时,af afag x af x g x g x 规律：依据指数函数的性质转化. 当 0a1 时, g x f x 10、对数不等式的解法当a1时, logaf x logf x 02. ag x g x 0当 0a1 时, logaf x f x g x f x 0logag x g x 0.规律：依据对数函数的性质转化11、含确定值不等式的解法：f x g x

19、.规律：关键是去掉确定值的符号. 定义法：aaa a0 . 0平方法：f x g x f2 g a同解变形法,其同解定理有：7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - xaaxa a0;xaxa 或xa a0;f x g x f x g x 或f x g x 0f x g x g x f g x g x 012、含有两个或两个以上确定值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段争论去确定值、每段中取交集,最终取各段的并集 . 13、含参数的不等式的解法解形如 ax 2bx c 0 且含参数的不等式时,要对参数进行分类争论

20、,分类争论的标准有： 争论 a 与 0 的大小； 争论 与 0 的大小； 争论两根的大小 . 14、恒成立问题 不等式ax2bxc0的解集是全体实数或恒成立的条件是：D 上fxmaxA ； 当a0时b0,c0; 当a0时a00. 不等式ax2bxc0的解集是全体实数或恒成立的条件是： 当a0时b0,c0; 当a0时a00.f x a 恒成立f x maxa;f x a 恒成立f x maxa;f x a 恒成立f x mina;f x a 恒成立f x mina .15、 能成立问题假设在区间 D 上存在实数x使不等式fxA成立 , 就等价于在区间假设在区间 D 上存在实数x使不等式fxB成立

21、 , 就等价于在区间D 上的fxminB . 16、恰成立问题的解集为 D ；假设不等式fxA在区间 D 上恰成立 , 就等价于不等式fxA假设不等式fxB在区间 D 上恰成立 , 就等价于不等式fxB的解集为 D . 17、线性规划问题二元一次不等式所表示的平面区域的判定：法一：取点定域法：由于直线 Ax By C 0 的同一侧的全部点的坐标代入 Ax By C 后所得的实数的符号相同 . 所以,在实际判定时,往往只需在直线某一侧任取一特殊点 x 0 , y 0 如原点,Ax 0 By 0 C 的正负即可判断出 Ax By C 0 或 0 表示直线哪一侧的平面区域 . 即：直线定边界,分清虚

22、实；选点定区域,常选原点 . 法二：依据AxByC0 或0 ,观看 B 的符号与不等式开口的符号,8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 假设同号,AxByC0 或0 表示直线上方的区域；假设异号,就表示直线上方的区域. 即：同号上方,异号下方 . 二元一次不等式组所表示的平面区域：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分 . 利用线性规划求目标函数 z Ax By A B 为常数的最值：法一：角点法：假如目标函数 z Ax By x、y 即为公共区域中点的横坐标和纵坐标的最值存在,就这些最值都在

23、该公共区域的边界角点处取得,将这些角点的坐标代入目标函数,得到一组对应 z 值,最大的那个数为目标函数 z 的最大值,最小的那个数为目标函数 z 的最小值法二：画移定求：第一步, 在平面直角坐标系中画出可行域；其次步, 作直线 l 0: Ax By 0,平移直线 0l 据可行域,将直线 0l 平行移动确定最优解；第三步,求出最优解 , x y ；第四步,将最优解 , x y 代入目标函数z Ax By 即可求出最大值或最小值 . 其次步中最优解的确定方法：利用 z 的几何意义：y Ax z ,z 为直线的纵截距 . B B B假设 B 0, 就使目标函数 z Ax By 所表示直线的纵截距最大

24、的角点处,z 取得最大值,使直线的纵截距最小的角点处,z 取得最小值；假设 B 0, 就使目标函数 z Ax By 所表示直线的纵截距最大的角点处,z 取得最小值,使直线的纵截距最小的角点处,z 取得最大值 . 常见的目标函数的类型：“ 截距” 型：zAxBy;y“ 斜率” 型：zy或zyb;a2y2 b . xxa“ 距离” 型：zx22 y 或z2 x2 ;zxa2yb2或zx在求该 “ 三型”的目标函数的最值时,可结合线性规划与代数式的几何意义求解,从而使问题简洁化五、推理与证明1、归纳推理把从个别事实中推演出一般性结论的推理, 称为归纳推理 简称归纳 . 简言之 , 归纳推理是由部分到

25、整体、由特殊到一般的推理；9 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 归纳推理的一般步骤：. 通过观看个别情形发觉某些相同的性质；. 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题猜想；. 证明视题目要求,可有可无. 2、类比推理由两类对象具有某些类似特点和其中一类对象的某些已知特点,推出另一类对象也具有这些特点的推理称为类比推理简称类比简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理 . 类比推理的一般步骤：. 找出两类对象之间可以准确表述的相像特点；. 用一类对象的已知特点去估计另一类对象的特点,从而得出一个猜想；. 检验猜想；3

26、、合情推理归纳推理和类比推理都是依据已有的事实,经过观看、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理 . 归纳推理和类比推理统称为合情推理,通俗地说,合情推理是指“ 合乎情理” 的推理 . 4、演绎推理从一般性的原理动身,推出某个特殊情形下的结论,这种推理称为演绎推理简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理. M a S 演绎推理的一般模式“ 三段论”,包括大前提 -已知的一般原理；小前提 -所争论的特殊情形；P , S是 M 的一个子集 , 那么 S 中全部元结论 -据一般原理,对特殊情形做出的判定用集合的观点来懂得：假设集合M 中的全部元素都具有性质素也都具有性质P. 从推理所得的

27、结论来看,合情推理的结论不肯定正确,有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下,得到的结论肯定正确 . 5、直接证明与间接证明综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最终推导出所要证明的结论成立 . 框图表示：要点：顺推证法；由因导果 . 分析法：从要证明的结论动身,逐步查找使它成立的充分条件,直至最终,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件已知条件、定理、定义、公理等为止 . 框图表示：要点：逆推证法；执果索因 . 反证法：一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最终得出冲突,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立 . 的证明方法 . 它是一

28、种间接的证明方法 . 反证法法证明一个命题的一般步骤：1 反设假设命题的结论不成立；2 推理依据假设进行推理 , 直到导出冲突为止；3 归谬断言假设不成立；4 结论确定原命题的结论成立 . 六、数系的扩充与复数10 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1、复数的概念 虚数单位 i ； 复数的代数形式zabi , a bR ；0纯虚数aa0,bb00. a bR实数 b 复数的实部、虚部,虚数与纯虚数2、复数的分类复数zabi虚数b0非纯虚数0,3、相关公式abicdiab ,且cdabi0. ab0zabia2b2

29、 zabiz,z指两复数实部相同,虚部互为相反数互为共轭复数4、复数运算复数加减法：abicdicacbdi；ad iacbdbcad i 2 d复数的乘法：abicdiacbdbcad i ；复数的除法：abiabidiacbdbccdicdicdic2d2c2d2c2类似于无理数除法的分母有理化虚数除法的分母实数化5、常见的运算规律1zz;2zz2 , a zz2 bi;iz,zn1R,3n2,3 n313z zz2z2a2b2;4zz ;5z6i4n1i i4n21, i4n3i i4n41;i;81ii,1ii,1i27 1i21i1i2039 设2123 i 是 1 的立方虚根,就1

30、6、复数的几何意义复平面：用来表示复数的直角坐标系,其中x 轴叫做复平面的实轴,y 轴叫做复平面的虚轴. 复数zabi一一对应复平面内的点 （a,bZ 、Z2间的距离 . 复数zabi一一对应平面对量OZ|z 1z 2|的几何意义是七、算法初步1、算法三种语言：自然语言、流程图、程序语言；2、流程图中的图框：起止框、输入输出框、处理框、判定框、流程线等标准表示方法；11 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 起止框 任何流程图都不行缺少的,它说明程序的开头和终止,所以一个完整的流程图的首末两端必需是起止框；输入输出框

31、 表示数据的输入或结果的输出,它可用在算法中的任何需要输入、输出的位置处理框 是采纳来赋值、执行运算语句、传送运算结果的图形符号判定框 判定框一般有一个入口和两个出口,有时也有多个出口,它是惟一的具有两个或两个以上出口的符号,在只有两个出口的情形中,通常都分成“ 是” 与“ 否”也可用“Y” 与“N” 两个分支3、算法的三种基本构：用带有箭头的流程线连接图形符号. 当型循环结构次序结构、条件结构、循环结构直到型循环结构次序结构示意图：语句 n 语句 n+1 次序结构描述的是是最简洁的算法结构,语句与语句之间,框与框之间是按从上到下的次序进行的；条件结构示意图：IF-THEN-ELSE 格式：I

32、F-THEN 格式：是满意条件？否满意条件？语句是语句 2 否语句 1 两种结构的共性：一个入口,一个出口；特殊留意：一个判定框可以有两个出口,但一个条件分支结构只有一个出口；结构中每个部分都有可能被执行,即对每一个框都有从入口进、出口出的路径；以上两点是用来检查流程图是否合理的基本方法当然,学习循环结构后,循环结构也有此特点提示： 解决分段函数的求值等问题,一般可采纳条件结构来设运算法 . 循环结构示意图：当型 WHILE型循环结构示意图：直到型 UNTIL 型循环结构示意图：名师归纳总结 满意条件？循环体12 循环体否第 12 页,共 13 页是满意条件？- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 提示： 对于有规律的运算问题,一般可采纳循环结构设运算法 .4、基本算法语句：输入语句的一般格式：INPUT“ 提示内容”；变量输出语句的一般格式：PRINT“ 提示内容”；表达式赋值语句的一般格式：变量表达式“ =” 有时也用“ ”. 条件语句的一般格式有两种：IF THENELSE语句的一般格式为：