2022年高二数学导数中的恒成立问题专题学案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 既然挑选了远方,就必需风雨兼程！时间：年第日讲导数中的恒成立问题月刘满江老师同学签名：一、 爱好导入二、 学前测试 1.函数yffx在点x 处的导数的几何意义fx在Px0,fx 0处的切线的斜率,相应的切线函数y x在点x 处的导数是曲线y方程是. 2. 几种常见函数的导数 C = ；xnex；sinxax； cos ；ax；log；lnx 3.导数的运算法就1uv . 2uvu. 3 uvy u.v0 4. 复合函数求导法就y xu ,即 y 对 x 的 xg x 的导数间的关系为复合函数yf g x 的导数和函数yf u ,导数等于 y 对

2、 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积 .解题步骤 :分层层层求导作积复原. 5. 函数的极值1 极值定义：fx0,就fx0是函数fx的极值；极值是在x 邻近全部的点,都有fx 极值是在x 邻近全部的点,都有fx fx0,就fx 0是函数fx的极值. 2 判别方法：f x 0,右侧f x 0,那么fx 0是极值；假如在x 邻近的左侧 0假如在x 邻近的左侧f x 0,右侧f x 0,那么fx 0是极值. 三、 方法培育1 摒弃侥幸之念,必取百炼成钢；厚积分秒之功,始得一鸣惊人；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 既然

3、挑选了远方,就必需风雨兼程！一、单参数放在不等式上型：【例题 1】设函数 f x e xe x假设对全部 x 0 都有 f x ax ,求 a 的取值范畴解：令 g x f x ax ,就 g x f a e xe xa ,1假设 a 2,当 x 0 时,g e xe xa 2 a 0,故 g x 在 0, 上为增函数,x 0 时,g x g 0,即 f x ax 22假设 a 2,方程 g x 0 的正根为 x 1 ln a a 4,2此时,假设 x 0, x 1 ,就 g x 0,故 g x 在该区间为减函数x 0, x 1 时,g x g 0 0,即 f x ax ,与题设 f x ax

4、 相冲突综上,满意条件的 a 的取值范畴是 ,2 说明：上述方法是不等式放缩法【针对练习1】设函数f x e1x2 ax ,当x0时,f 0,求 a 的取值范畴解：【例题 2】设函数f x 2x33 ax23 bx8c在x1及x2时取得极值1求 a 、 b 的值；2假设对于任意的 x 0,3,都有 f x c 成立,求 c 的取值范畴2解： 1f 6 x 26 ax 3 b ,函数 f x 在 x 1 及 x 2 取得极值,就有 f 1 0,f 2 0即6 6 a 3 b 0,解得 a 3,b 424 12 a 3 b 0 2由 1可知,f x 2 x 39 x 212 x 8 c ,f 6

5、x 218 x 12 6 x 1 x 2当 x 0,1 时,f 0；当 x 1,2 时,f 0；当 x 2,3 时,f 0当 x 1 时,f x 取得极大值 f 1 5 8 c ,又 f 0 8 c ,f 3 9 8 c 就当 x 0,3 时,f x 的最大值为 f 3 9 8 c 对于任意的 x 0,3,有 f x c 恒成立,29 8c c ,解得 2c 1 或 c 9,因此 c 的取值范畴为 , 1 9, 最值法总结：区间给定情形下,转化为求函数在给定区间上的最值【针对练习2】已知函数f ax4lnxbx4c x0在x1处取得极值3c ,其中2 a 、 b 、 c 为常数1试确定 a 、

6、 b 的值； 2争论函数f x 的单调区间；3假设对任意x0,不等式f x 22 c 恒成立,求 c 的取值范畴摒弃侥幸之念,必取百炼成钢；厚积分秒之功,始得一鸣惊人；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 既然挑选了远方,就必需风雨兼程！解：【针对练习3】已知函数f ax33x21xR ,其中a0假设在区间1 1 ,2 2上,2f 0恒成立,求 a 的取值范畴解：3 摒弃侥幸之念,必取百炼成钢；厚积分秒之功,始得一鸣惊人；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - -

7、- - - 既然挑选了远方,就必需风雨兼程！22 x【例题 3】已知函数 f x ln x 11 x1求函数 f x 的单调区间；2假设不等式 1 1 n ae 对任意的 n N 都成立其中 e 是自然对数的底数 ,求 a 的最大值n解： 1函数 f x 的定义域是 1, ,2 22ln1 x x 2 x 21 x ln1 x x 2 xf 2 21 x 1 x 1 x 设 g x 21 x ln1 x x 22 x 就 g x 2ln1 x 2 x ,令 h x 2ln1 x 2 x ,就 h x 22 2 x1 x 1 x当 1 x 0 时,h x 0,h x 在 1,0 上为增函数,当

8、x 0 时,h x 0,h x 在 0, 上为减函数h x 在 x 0 处取得极大值,而 h 0 0,g x 0 x 0,函数 g x 在 1, 上为减函数于是当 1 x 0 时,g x g 0 0,当 x 0 时,g x g 0 0当 1 x 0 时,f 0, f x 在 1,0 上为增函数当 x 0 时,f 0,f x 在 0, 上为减函数故函数 f x 的单调递增区间为 1,0 ,单调递减区间为 0, 2不等式 1 1 n ae 等价于不等式 n a ln1 1 1,由 1 11 知,n n na 1 n设 G x 1 1,x 0,1,就ln1 1 ln1 x xn2 2G x 12 1

9、2 12 x ln 12 x x1 x ln 1 x x x 1 x ln 1 x 22 x 2 2由 1知,ln 1 x 0,即 1 x ln 1 x x 01 xG x 0,x 0,1,于是 G x 在 0,1 上为减函数故函数 G x 在 0,1 上的最小值为 G 1 1 1 a 的最大值为 1 1ln 2 ln 2小结：解决此类问题用的是恒成立问题的变量别离的方法,此类方法的解题步骤是：别离变量；构造函数非变量一方 ；对所构造的函数求最值一般需要求导数 量的取值范畴,有时仍需求两次导数 ；写出变【针对练习4】已知f x x1lnxx1,假设xf x2ax1,求 a 的取值范畴解：4 摒

10、弃侥幸之念,必取百炼成钢；厚积分秒之功,始得一鸣惊人；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 既然挑选了远方,就必需风雨兼程！【针对练习5】假设对全部的x ,都有xlnxaxa 成立,求实数a 的取值范畴解：二、单参数放在区间上型：【例题 4】已知三次函数 f ax 35 x 2cx d 图象上点 1,8 处的切线经过点 3,0 ,并且 f x 在x 3 处有极值1求 f x 的解析式；2当 x 0, m 时,f x 0 恒成立,求实数 m 的取值范畴解： 1f 3 ax 210 x c ,f 1 3 a 10 c ,于是

11、过点 1,8 处的切线为 y 8 3 a 10 c x 1,又切线经过点 3,0 , 3 a 6 c 0,f x 在 x 3 处有极值,f 3 27 a 30 c 0,又 f 1 a 5 c d 8,由解得：a 1,c 3,d 9,f x x 35 x 23 x 9 2f 3 x 210 x 3 3 x 1 x 3,由 f 0 得 x 1 1,x 2 33当 x 0, 1 时,f 0,f x 单调递增,f x f 0 9；3当 x 1,3 时,f 0,f x 单调递减,f x f 3 03当 m 3 时,f x 0 在 0, m 内不恒成立,当且仅当 m 0,3 时,f x 0 在 0, m

12、内恒成立, m 的取值范畴为 0,3 【针对练习 6】07 陕西文 已知 f x ax 3 bx 2 cx 在区间 0,1 上是增函数, 在区间 ,0 ,1, 上是减函数,又 f 1 32 21求 f x 的解析式；2假设在区间 0, m m 0 上恒有 f x x 成立,求 m 的取值范畴解：5 摒弃侥幸之念,必取百炼成钢；厚积分秒之功,始得一鸣惊人；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 既然挑选了远方,就必需风雨兼程！三、双参数中知道其中一个参数的范畴型：【例题 5】已知函数 f x x ab x 0,其中 a ,

13、b Rx1争论函数 f x 的单调性；2假设对于任意的 a 1,2,不等式 f x 10 在1 ,1 上恒成立,求 b 的取值范畴2 4解： 1f 1 a2x当 a 0 时,明显 f 0 x 0这时 f x 在 ,0 , 0, 上内是增函数当 a 0 时,令 f 0,解得 x a 当 x 变化时,f x ,f x 的变化情形如下表：x , a a a ,0 0, a a a , f 0 0f x 极大值微小值f x 在 , a , a , 内是增函数,在 a ,0, 0, 内是减函数 2法一：化归为最值由 2知,f x 在1 4,1上的最大值为f1与f1的较大者,对于任意的a1,2,不等式42

14、f x 10在1 4,1上恒成立,当且仅当f1 41 10,即b39a4a,对a1,2成立4 92f10b从而得b7,满意条件的b 的取值范畴是,744法二：变量别离f x 10,b10xa,即b10xaminxx令g x 10xa,g x 1ax22a0,xxx2g x 在1 4,1上递减,g x 最小值为g14a3942397,4444x2,从而得b7,满意条件的b 的取值范畴是,744或用ax210b x ,即x210b x2,进一步别离变量得b10x利用导数可以得到10x2在x1时取得最小值7,x446 从而得b7,满意条件的b 的取值范畴是,744法三：变更主元摒弃侥幸之念,必取百炼

15、成钢；厚积分秒之功,始得一鸣惊人；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 既然挑选了远方,就必需风雨兼程！f x 10 在1 ,1 41 ,1,4上恒成立,即 x ax a 在1 ,2 递增,即2b10, xab100,0xx a 的最大值为x2b102x以下同上法a 2,2,f x 1在 1,1上恒成立相当于两次恒成立,这样的题,往往说明：此题是在对于任意的先保证一个恒成立,在此基础上,再保证另一个恒成立四、强化练习A 1、已知函数f x 2 x3x9）对任意x1,x2,10,不等式|fx 1fx2|m恒成立,24试求

16、m 的取值范畴；五、训练辅导双参数中的范畴均未知型：【例题 7】 10 湖南理已知函数 f x x 2bx c b c R ,对任意的 x R,恒有 f f x 1证明：当 x 0 时,f x x c 2；2 22假设对满意题设条件的任意 b,c,不等式 f c f b M c b 恒成立,求 M 的最小值2解： 1易知 f 2 x b 由题设,对任意的 x R,2x b x bx c ,即22 2 bx b 2 x c b 0 恒成立, b 2 4 c b 0,从而 c 142于是 c 1,且 c 2 b 1 | b ,因此 2 c b c c b 04故当 x 0 时,有 x c 2f 2

17、 c b x c c 1 0,即当 x 0 时,f x x c 2 2由 1知, c | b 2 2 2当 c | b 时,有 M f c 2 f b2 c b2 bc2 b c 2 bc b c b b c令 t b,就 1 t 1,c 2 b2 1而函数 g t 2 1 1 t 1 的值域是 , 3c b c 1 t 1 t 27 摒弃侥幸之念,必取百炼成钢；厚积分秒之功,始得一鸣惊人；名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 既然挑选了远方,就必需风雨兼程！因此,当 c | b 时, M 的取值集合为 3, 2当 c

18、| b 时,由 1知,b 2,c 2此时 f c f b 8 或 0 ,c 2b 20从而 f c f b 3 c 2 b 2 恒成立综上所述,M 的最小值为32 23 2【针对练习 8】假设 f x x2 图象上斜率为 3 的两切线间的距离为 2 10,设 g x f x 3 bx2 3a 5 a1假设函数 g x 在 x 1 处有极值,求 g x 的解析式；2假设函数 g x 在区间 1,1上为增函数, 且 b 2mb 4 g x 在区间 1,1上都成立, 求实数m 的取值范畴解：六、家庭作业布置：家长签字： _ 请您先检查确认孩子的作业完成后再签字附件：堂堂清落地训练坚持堂堂清,学习很爽

19、心1. 双参数中的肯定值存在型：1 设x3是函数f x2ax3 b ex xR 的一个极值点1 成立,求 a 的8 1求 a 与 b 的关系式用a 表示 b ,并求f x 的单调区间；2设a0,g x a225x e 假设存在1,20,4 使得|f1g2 |4取值范畴摒弃侥幸之念,必取百炼成钢；厚积分秒之功,始得一鸣惊人；名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 既然挑选了远方,就必需风雨兼程！解： 1f x 2 a 2 x b a e 3 x,由 f 3 0,得 3 2 a 23 b a e 3 30,即得 b 3 2 a

20、,就 f x 2 a 2 x 3 3 a e 3 x x 3 x a 1 e 3 x令 f 0,得 x 1 3 或 x 2 a 1,由于 x 3 是极值点,x 1 x ,即 a 4当 a 4 时,x 2 3 x ,就在区间 ,3 上,f 0,f x 为减函数；在区间 3, a 1 上,f 0,f x 为增函数；在区间 a 1, 上,f 0,f x 为减函数当 a 4 时,x 2 3 x ,就在区间 , a 1 上,f 0,f x 为减函数；在区间 a 1,3 上,f 0,f x 为增函数；在区间 3, 上,f 0,f x 为减函数 2由 1知,当 a 0 时,a 1 0,f x 在区间 0,3

21、 上的单调递增,在区间 3,4 上单调递减,那么 f x 在区间 0,4 上的值域是 min f 0, f 4, f 3,3 1而 f 0 2 a 3 e 0,f 4 2 a 13 e 0,f 3 a 6,那么 f x 在区间 0,4 上的值域是 2 a 3 e a 362 25 x又 g x a e 在区间 0,4 上是增函数,且它在区间 0,4 上的值域是4 a 2 25 , a 2 25 e 4 ,由于 a 2 25 a 6 a 2 a 1 a 1 2 0,4 4 4 4 2只须仅须 a 2 25 a 6 1 且 a 0,解得 0 a 3故 a 的取值范畴是 0, 34 2 222 已知函数 f x a 1ln x ax 11争论函数 f x 的单调性；2设 a 1,假如对任意 1x ,x 2 0, ,| f x 1 f x 2 4| x 1 x 2 |,求 a 的取值范畴解：9 摒弃侥幸之念,必取百炼成钢；厚积分秒之功,始得一鸣惊人；名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页