2022年高二数学理科试题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载高二数学理科试题一挑选题（本大题共 10 小题,每道题 5 分,共 50 分）21如复数 a bi 1 i , a b R ,就 a bi（）A 2i B2i C 2 2i D 2 2i2. 曲线 y x 311 在点 P（1,12）处的切线与 y 轴交点的纵坐标是 A-9 B-3 C9 D15 3. 上海世博会期间,有 4 名同学参与理想工作,将这 4 名同学安排到 3 个场馆工作,要求每个场馆至少一人,就不同的安排方案有（）A.36 B.30 C.24 D.42 4. 已知离散型随机变量 X 听从二项分布 X B n

2、, p 且 E 3, D 2,就 n 与 p 的值分别为2 1 2 1A、9 , B、9 , C、12 , D、12 ,3 3 3 35. 已知三角形的三边分别为 a , b , c,内切圆的半径为 r ,就三角形的面积为 s 1 a b c r；四2面体的四个面的面积分别为 s 1 , s 2 , s 3 , s 4,内切球的半径为 R ；类比三角形的面积可得四周体的体积为A.V1s 1s2s 3s 4RB.V1 s 1s 2s 3s 4 Rf x 的绽开c23C.V1s 1s 2s 3s 4RD.V s 1s 2s 3s 4 R46. 已知f x ax26,f x 是f x 的导数,如f

3、x 的绽开式中 x 的系数大于式中 x 的系数,就 a 的取值范畴是 ：Aa2或a0B0a2Ca2Da5或a055527. 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为 a ,得2分的概率为b,不得分的概率为（a b c0,1）,已知他投篮一次得分的期望为2,就 2 a1的最小值为（）3 bA32B28C14D1633xR都有338. 已知 R 上的连续函数gx满意：当x0时,g/ x 0恒成立；对任意的名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载g x g x ；又函数 f x 满意：对任意的 x R,都有

4、f x 3 f x 成立,当 x 0 , 3 时,f x x 3 3 x；如关于x 的不等式 g f x g a 2a 2 对任意实数 x 恒成立,就a 的取值范畴 A. 0 a 1 B. a 0 或 a 1 C. 1 a 1 D. a R9. 定义在 R 上的函数 f x 及其导函数 f 的图象都是连续不断的曲线,且对于实数a b a b ,有 f 0, f 0现给出如下结论： x 0 , , f x ）=0； x 0 , , f x 0）f b ； x 0 , , f x 0）f a ； x 0 , , f a）f b f x 0 a b .其中结论正确的个数是A 1 B 2 C 3 D

5、4 10. 假如对任意一个三角形,只要它的三边 a b c 都在函数 f x 的定义域内,就有f a , f b , f c 也是某个三角形的三边长,就称 f x 为“和美型函数 ” .现有以下函数： f x x ； g x sin x x 0, ； h x ln x x 2, .其中是 “ 和美型函数 ”的函数序号为 . （写出全部正确的序号）A B C D二、填空题（本大题共 5 个小题,每道题 5 分,共 25 分）11. 依据以下三种化合物的结构式及分子式的规律,写出后一种化合物的分子式是 . H H H H H HH C H H C C H H C C C HH H H H H HC

6、H4 C2H6 C3H812. 已知 11 x cos x 3 a b dx 2 a 6 , 且 f t 0 t x 3 ax 5 a b dx 为偶函数,就a b13. 已知 x、y 的取值如下表所示从散点图分析,x 0 x1 3 4 第 2 页,共 10 页y 2.2 4.3 4.8 6.7 y 与 x 线性相关,且y .0.95a ,就 a名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载14.已知 , x y x y 10, x 0, y 0,A , x y x 5, y 0, x y 0,如向区域 上随机投 10 个点,记

7、落入区域 A 的点数为,就 E = 15. 如不等式 | x 1 | | x 3 | a 4对任意的实数 x 恒成立,就实数 a 的取值范畴是a三、解答题（本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）16.（ 本小题满分 12 分 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统） A 和 B ,系统 A和 B 在任意时刻发生故障的概率分别为 1 和 p ；10（）如在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 49,求 p 的值；50（）设系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量,求 的概率分布列及数学期望 E；17本小题满分 12 分第七届

8、城市运动会 20XX 年 10 月 16 日在江西南昌举办,为了搞好接待工作,运动会组委会在某高校招募了 12 名男理想者和 18 名女理想者； 将这 30 名理想者的身高编成如右所示的茎叶图（单位：cm）：如身高在 175cm 以上（包括 175cm）定义为 “高个子 ”, 身高在175cm 以下（不包括 175cm）定义为 “ 非高个子” ,且只有 “ 女高个子 ” 才担任 “ 礼仪小姐 ” ；（ I）如果用分层抽样的方法从“ 高个子 ” 中和 “ 非高个子 ” 中提取 5 人,再从这 5 人中选 2 人,那么至少有一人是 “ 高个子 ” 的概率是多少？（II ）如从全部 “ 高个子 ”

9、中选 3 名理想者,用 X 表示所选理想者中能担任 “ 礼仪小姐 ”的人数,试写出 X 的分布列,并求 X 的数学期望；18本小题满分 12 分设等差数列 a n 的首项 a1 a,公差 d2,前 n 项和为 S , 如 S 1 , S 2 , S 4 成等比数列,求数列 a n 的通项公式； 证明：n N , S n , S n 1, S n 2 不构成等比数列19. 本小题满分 12 分一个截面为抛物线形的旧河道 如图 1,河口宽 AB 4 米,河深 2 米,现要将其截面改造为等腰梯形 如图 2,要求河道深度不变,而且施工时只能挖土,不准向河道填土 建立恰当的直角坐标系并求出抛物线弧 AB

10、 的标准方程； 试求当截面梯形的下底（较长的底边）长为多少米时,才能使挖出的土最少？名师归纳总结 A （图 1）B A （图 2）B 第 3 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载g x ax ,20本小题满分13 分已知函数f x 1x23 xa1lnx ,2h x f x g x 3x ,其中 aR 且a1. h x 21,求实数 a 的取值范（1）求函数f x 的导函数f x 的最小值；（2）当a3时,求函数h x 的单调区 间及极值；（3）如对任意的x x20,x 1x ,函数h x 满意h x 1x 1x2围2

11、1. 本小题满分14 分设函数f x xx1log x1log2xtx1. （I）求函数f x 的最小值；mmlog2mt ；（）如m tR,且1 m11,求证：tlog2t（）如a a a 3,.,a 2nR,且111.11,a 1a 2a 3a2n求证：log2a 1log 2a 2log 2a 3.log2a 2nn. a 1a 2a 3a 2n高二数学理科试题答案（一） 1.B 2.C 3.A 4.B 5. B 6.A7. D8. B9.B 10.B （二）11.C4H10 12. -6 13. a2 6.14.515.,0 2 49 50,解得2（三） 16（1）设： “至少有一个系

12、统不发生故障” 为大事 C,那么 1-P（C） =1-1P=10P=1 4 分1）31,P（=1）=C（11）（211）1027 10005（2）由题意,可取 0,1,2,3,；P（=0）=C（010100010名师归纳总结 第 4 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载）（011）310729 1 0 分P（=2）=C（21）（11）2243,P（=3）=C（3110101000101000所以,随机变量的概率分布列为：故随机变量X 的数学期望为：=0011272243372927第 5 页,共 10 页1000100

13、01000100010 12分 . 17.解：（1）依据茎叶图,有“ 高个子 ”12人, “ 非高个子 ”18人, 1分用分层抽样的方法,每个人被抽中的概率是51, 2 分306所以选中的 “高个子 ”有1212人, “ 非高个子 ” 有1813人 3 分66用大事 A表示 “ 至少有一名 “ 高个子 ” 被选中 ” ,就它的对立大事A 表示“ 没有一名 “ 高个子 ” 被选中 ” ,就P A 12 C 3137 5 分2 C 51010因此,至少有一人是“ 高个子 ” 的概率是7 6 分 10（）依题意,X 的取值为 0,1, 2, 3 依据茎叶图可知男的高个子有8 人,女的有4 人；P0

14、3 C 814,P 11 C 42 C 82 8P2 2 C 41 C 812,3 C 12553 C 125 53 C 1255P 3 3 C 41 10 分因此,的分布列如下：3 C 12550123p142812155555555E014128212311 1 2 分5555555518.解：由于Snnan n1,S1a,S 22a2,S 44a12 3 分名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载2由于如 S 1 , S 2 , S 4 成等比数列 ；因此 S 2 S 1 S 4,即得 a ,1 a n 2 n 1

15、6 分证明：采纳反证法不失一般性,不妨设对某个 m N , S m , S m 1, S m 2 构成等比数列,即 S m 21 S m S m 2 7 分因此有 m 1 a m 2m a m 1 m 2 a m 1 ,化简得2a 2 ma m m 1 0 9 分要使数列 a n 的首项 a1 a 存在,上式中的 0然而 10 分2m 28mm1 4m 2m0,冲突 13 分所以,对nN,S n,S n1,S n2不构成等比数列 14分19.（1）如图：以抛物线的顶点为原点,AB 中垂线为 y 轴建立直角坐标系就A 2,2,B2,2设抛物线的方程为x22py p0,将点B2, 2代入得p1x所

16、以抛物线弧AB 方程为x22y （2x2）P t ,1t2的切线 l 的（2）解法一： 设等腰梯形的腰与抛物线相切于P t ,1t2,不妨t0就过22斜率为yx tt 所以切线 l 的方程为：yt2t xt,ytxt2令y0,得xt,令222y2,得xt2,所以梯形面积2tyB S12 t22t22t24 2当仅当t2,即A 22t2ttO t2时, 成立此时下底边长为2223 2答：22当梯形的下底边长等于3 2 米时,挖出的土最少t2t xt,即解法二：设等腰梯形的腰与抛物线相切于P t ,1t2,不妨t02就过P t ,1t2的切线 l 的斜率为 yx tt所以切线 l 的方程为：y22

17、名师归纳总结 第 6 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ytxt2优秀学习资料欢迎下载3 2运用定积分运算抛物线与等腰梯形间的面积：2tx2dx2x 2txt2dxt22 txt2dx-10 分S222tt0222222tx2dx2x2dx2txt2 dxt22dxt2 txt2dx222t2ttt0222222222x2dxt22dxt2txt2dx22t2 tt02222242 t22tt22t2t2 ttt2t2t32t22t2224222t2842163t3当仅当t2,即t2时, 成立,此时下底边长为222t22答：当梯形的下底

18、边长等于3 2 米时,挖出的土最少解法三：设等腰梯形上底（较短的边）长为 2a 米,就一腰过点 ,0, a 0,可设此腰所在直线y k x a 方程为 y k x a , k 0,联立 1 2,得 x 22 kx 2 ka 0,y x22令 4 k 8 ka 0,得 k 2 a ,或 k 0（舍）,故此腰所在直线方程为 y 2 a x a ,令 y 2,得 x a 1, 故等腰梯形的面积：S 2 1 a a 1 2 22 a 1 4 2a 2 a a当且仅当 2a 1,即 a 2时,有 S min 4 2a 2此时,下底边长 2 a 1 2 2 2 3 2a 2 2答：当梯形的下底边长等于 3

19、 2 米时,挖出的土最少名师归纳总结 第 7 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载20.解：（I）f x 3 a 1 x a 1 3,其中 x 0 . 1 分x x由于 a 1,所以 a 1 0,又 x 0,所以 x a 132 a 1 3, 2 分x当且仅当 x a 1 时取等号,其最小值为 2 a 1 3 . 3 分（II ）当 a 3 时,h x 1x 22ln x 3 x ,h x x 23 x 1 x 2. 5 分2 x xx h x , h x的变化如下表：x 0, 1 1 1, 2 2 2, + h x

20、 0 0 h x 52ln 2 42所以,函数 h x 的单调增区间是 0, 1, 2, + ；单调减区间是 1, 2函数 h x 在 x 1 处取得极大值 5,在 x 2 处取得微小值 2ln 2 4 . 6 分2（III ）由题意,h x 1x 2 a 1ln x ax a 1 . 2不妨设 x 1 x ,就由 h x 1 h x 2 1 得 h x 1 x 1 h x 2 x . 7 分x 1 x 2令 F x h x x 1x 2 a 1ln x ax x ,就函数 F x 在 0, 单调递增 . 8 分22F x a 1 a 1 x a 1 x a 10 在0, 恒成立 . 9 分x

21、 x即 G x x 2 a 1 x a 10 在 0, 恒成立 .由于 G 0 a 1 0, a 10, 11 分2因此,只需 a 1 24 a 10 .解得 1 a5 . 故所求实数 a 的取 值范畴为 1 a5 . 1 2 分21.解：（I）f x x 1 log 2 x 1 log 2 x,x 1 x 1 1 1 1f 2 log x 1 log 2 e log 2 e 2 log x 1 1 分x x x 1 x x令 f 0,得 x 2,所以 f x 在 1,2 递减,在 2, 递增 . 2 分名师归纳总结 第 8 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - -

22、- - - - - - 所以f x minf21优秀学习资料欢迎下载. 3分（）log 2 m log 2 t log 2 m log 2 1t log 2 m 1 1 log 1 2 1 m t m t m m m1 log 2 m m 1 log m 1 log 2 mm1 m 1m log 2 m m 1log m 1 log m 1 log 2 m 5 分m m由（ I）知当 x 1 时,x 1log x 1 log 2 x 1,又1 1 1,m t R,x m tm 1m 1log m 1 log 2 m 1 log 2 m log 2 t1 t log 2 m m log 2 t

23、mt . 7分m m t（）用数学归纳法证明如下：1当 n 1 时,由（）可知,不等式成立；2假设 n k k N 时不等式成立,即如 a a a 3 ,., a 2 k R,且a 11 a 12 a 13 .a 12 k 1 时,不等式 log 2 a 1 log 2 a 2 log 2 a 3. log 2 a 2 kk 成立 8 分a 1 a 2 a 3 a 2 k现需证当 n k 1 k N 时不等式也成立,即证：如 a a a 1 2 3 ,., a 2 k 1 R,且a 11 a 12 a 13 .a 2 1k 1 1 时,不等式log 2 a 1 log 2 a 2 . log

24、2 a 2k log a2 2 k 1 log 2 a 2k2 . log 2 a 2k 1k 1 成立 9 分a 1 a 2 a 2k a 2k1 a 2k2 a 2k 1证明如下：设 1 1 1. 1x,1 1. 11 xa 1 a 2 a 3 a 2 k a 2 k 1 a 2 k 2 a 2 k 1就111.11第 9 页,共 10 页xa 1xa 2xa 3xa k 2名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载klog2xa1log2xa2log2xa3.log2xa2kxa1xa2xa3xa2klog1log212

25、log13.log21kkx2xa 12xaxa 2xaa 1a2a 3a2 kxkx x log 2x.log 21log 21.log 21 a 2 kk x111.1log 2a 1a 2a 1a 2a 2 ka 1a 2a 3a 2 k同理log 21 a 2 k1log 21 a 2 k2.log 21 a 2 k1k1x1112.11log 1 2x a 2 k1a 2 k2a 2 k1a 2 ka 2 ka 2 kk1x1xlog21x.2.log211由 +得：log21log21.log21log211log2a1a 1a2a 2ka 2k2ka 2ka 1a 2a 2ka2 k1a 2k2a 2k1kxlog2x1xlog 1x又由（）令1x,就1 t1x,其中x0,1,就有mlog2mlog2txlog211xlog211x1mtxx k1xlog2x1xlog 1x1kxlog2x1xlog 1log2a 1log2a 2.log2a 2kloga2 k1log2a 2 k2.log2a2 k1k1当nk1时,原不2a 1a2a 2ka 2k1a2 k2a 2 k1等式也成立 . 综上,由 1和 2可知,对任意的n* N 原不等式均成立. 第 10 页,共 10 页名师归纳总结 - - - - - - -