2022年高考专题复习思想方法：数形结合.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载20XX 届高三数学思想方法专题一：数形结合班级：姓名：数形结合是依据数量与图形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要数学思想 方法 . 利用数形结合思想, “ 以形助数,以数解形”,使复杂问题简洁化,抽象问题详细化,从而找到解题思路,使问题得到解决 . 以形助数常用的有：借助于数轴、函数图像、单位圆、数式的结构特点、解析几何方法,以数 解形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系、运算结果与几何定理的结合 . 【以形助数】例 1、（集合中的数形结合）已知集合Axaxa2,Bxx23 x100,当AB,求

2、实数 a 的取值范畴 . 5. 参考解答：画数轴分析可得4a例 2、（函数中的数形结合）设fxx22 ax2,当x1,时, fxa 恒成立,求 a 的取值范畴；参考解答：解法一：由 fxa ,在1,上恒成立；x22 ax2a0在1,上恒成立 . y考查函数g x2 x2 ax2a 的图像在1,时位于 x 轴上方,如下图不等式的成立条件是：a0a2,1y1）4 a24 202）a1a3, 2；O2,xal-1Oyxmg10-1a综上所述a3,1. y2a2x1,解法二：由fxa2 x2a2x1,令y 1x2在同一坐标系中作出两个函数的图像（如右图）满意条件的直线位于,l m 之间,而直线,l m

3、 对应的 a 的值分别为3,1,故直线 l 对应的a3,1x例 3、（方程中的数形结合）m 的取值范畴 . y-1-0.53Ox如方程lg2 x3 xmlg 3x在x0,3内有唯独解,求实数参考解答：原方程变形为3xx0m3x,即3x01m,23 xx21- m4作出曲线y 1x22,x0,3和直线y 21m 的图象,由图可知：当 1 当 1m0时,有唯独解m1；时,方程有唯独解. 11m4时,即3m0O综上可知,m1或3m0时,方程有唯独解. 例 4、（不等式中数形结合）名师归纳总结 不等式x22 axa2a0在x02,时恒成立,求 a 的取值范畴 . 第 1 页,共 11 页- - - -

4、 - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 参考解答：, 10,学习必备欢迎下载例 5、（解析几何中的数形结合）已知,x y满意x2y21,求y3 x的最大值与最小值. 2 16 b40001625参考解答：对于二元函数y3 x在限定条件x2y21下求最值问题,常采纳构造直线截距的方法1625来求之 . 令y3x2b ,就 y 3 x b ,原问题转化为：在椭圆 x163,且在y轴上截距最大或最小,由图可知,当直线y2y1上求一点,25使过该点的直线斜率为3xb与椭圆x2y21y3 xb169x296 bx相切时,有最大截距与最小截距. 由x2y21625113,故y316

5、25x 的最大值为 13,最小值为可得0,得b13. 例 6、（复数中的数形结合）已知复数 z 满意|z22i|2,求 z 的模的最大值与最小值. 参考解答：由于z22 iz22 i,有明显几何意义,它表示复数z对应的点到复数| max32. 22i对应的点之间的距离,因此满意|z22 i|2的复数对应的点z ,在以2,2为圆心,以2 为半径的圆上, （如图）,而 z 表示复数 z 对应的点 z 到原点的距离,明显,当点Z、圆心C、点O三点共线时,z取得最值,|z| min2,z【 配套练习 】名师归纳总结 1、方程sinx41x的解的个数为（C ）4A 1B 2C 3D4D）2、假如实数x

6、y满意x222 y3,就y x的最大值为（1 A2参考解答：B3C3D332等式x22y23有几何意义,它表示坐标平面上的一个圆,圆心为2,0,半径r3,如图,yy0表示圆上的点,x y与坐标原点0,0的连线的斜率 . 如此以来,该问题xx0第 2 页,共 11 页可转化为如下几何问题：动点A在以2,0为圆心,以r3为半径的圆上移动,求直线OA 的斜率的最大值,由图可见,当A 在第一象限,且与圆相切时,OA 的斜率最大,经简洁运算得最大值为tan603 . y3、如 zC,且z22 i1,就z22 i的最小值是（B）C-122AxA 2B 3C 4D 5-2O参考解答：如下列图易知结果- -

7、- - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载fa a. 4、已知函数fxlog2x1,如 0abc ,就fa,fb,fc的大小关系为fcfbabccb5、设函数fxx2bxcx00,如f4f0,f22,2xC）就关于 x 的方程 fxx的解的个数为（A 1B 2C 3D 3D ）6、函数yx22 x2x26x13的最小值为（A 25B2 21C2D13y7、已知函数yx2ax2a在区间,3内递减,就实数 a 的取值范畴为a6. 参考解答：如下列图,可知对称轴xa 23a26x40和2xx40的根,y8、 设xx、log分别是方程就 4 . -3-a/2O

8、11A C Bx9、不等式logaxsin2xa0 且a1 对任意x0 ,4都成立,y就 a 的取值范畴为4,1. O参考解答：由图知logaxa0,1xmax,x0,4aa0,11aa0,11,ax4,1. Ox,xminsin 2log4410、假如关于 x 的方程 x 2求实数 a 的取值范畴 . ax32 a0有两个实数根x 1, x2,并且x 13 2. x202,y参考解答：f1043a02-1令fxx2ax32 a ,由题f0032a0aOf207011、求函数ysinx2的值域 . cosx2,参考解答：ysinx2的形式类似于斜率公式ky2y 1,表示过两点P 02, 2co

9、sx2x2x 1,y21,R yRPcos ,sinx 的直线的斜率,由于点P在单位圆x2y21上,明显7kP 0AykP 0B,设过0P 的圆的切线方程为y2kx2,就有|2k22|1,解得k47,即k P A 0437,k P B 043k13. 所以437y437,所以函数值域为437,4372a12、已知集合Px yxy1,xR yR,Qx yx求满意以下条件时实数a 的取值范畴 . yPQ；x名师归纳总结 -2O2第 3 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - PQ；6at2,2,学习必备欢迎下载参考解答：画区域分析问题,a013、

10、求函数u2 t4的最值 . 参考解答：设x2 t4,y6t,就 uxy,且x22y2164 ux2u2160 解00x4 0y2 2所给函数化为以 u 为参数的直线方程yxu ,它与椭圆x22y216在第一象限的部分（包括端点）有公共点,（如图）所以u min2 2 ,相切于第一象限时,u 取最大值,yx2u163 x2x22y得u26,所以u max26. 【高考真题】1、如集合Mx,yx3cos. 0,集合Nx,y|yxb,且MN,y3sin就实数 b 的取值范畴为3,3 2参考解答：集合Mx,y|x2y29,0y1,明显, M 表示以0,0为圆心,以 3 为半径）,的圆在 x 轴上方的部

11、分, （如图）,而 N 就表示一条直线,其斜率知,欲使 M N,即直线 y x b 与半圆有公共点,明显k1,纵截距为 b ,由图形易b的最小靠近值为3,最大值为 3 2 即3b32. 2、已知fxxaxb2（其中 ab ）,且,是方程fx0的两根（名师归纳总结 - - - - - - -就实数a,且 b,. 3、点 M 是椭圆x2y21上一点,它到其中一个焦点F 的距离为 2 , N 为MF 的中点, O 表示原点,2516就 ON（C）A3B 2C 4D 82参考解答：设椭圆另一焦点为F ,（如下图）,就MF 1MF22 a ,而a5,由于MF 12,所以MF28,又留意到N O 各为MF

12、1,F F 的中点,所以 ON 是MF F 的中位线,因此|ON|1|MF2|4. 24、关于 x 的方程x2k2ax在x2k1,2 k1kN*上有两个不相等的实数解,求实数a 的取值范畴 . 参考解答：2k2,可作图得0,211. 1yN设y 1xy 2axk（数的问题转换为形的问题有多种途径、多种方法,Oy = ax2k-1M 2k+1x第 4 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载应挑选最简洁、正确方案,这称为最优化原就）【以数助形】例 7、设b0,二次函数yax2bxa21的图像为以下之一,就a 的值为（B ）y-1Oyyyx1xOxOx-

13、1O1A 1B11,3C125D125例 8、线段 AB 的两个端点为A1,1 ,B,直线l:y2ax1,已知直线 l 与线段 AB 有公共点,求 a 的取值范畴 . 参考解答：4,B-1y1Axx不论 a 取何值,直线 l 恒过定点P0, 1,斜率为 2a ,由图 l 与线段 AB 有公共点,需要 l 由直线 PA 的位置（绕 P 点）逆时针转动到PB 的位置 . 在这一转动过程中,O1l 的倾斜角先逐步增大到（从而 l 的斜率逐步增大到2依旧逐步增大,因此其正切值（l 的斜率）逐步增大到）, l 绕过 y 轴后,倾斜角PB 的斜率,又kPA2,kPB故 2 a, 42,即a, 21,. 例

14、 9、已知A1,1为椭圆x2y21内一点,F 为椭圆左焦点, P 为椭圆上一动点,95PyF2求PF 1PA 的最大值和最小值. 参考解答：由椭圆的定义知PF 1PF 26PF 16PF 2,APF 1PA6PF 2PA6AF 2,6maxAF 22F1O即PF 1PAmin62,PF 1PA6【 配套练习 】1、已知函数fxlgx1,如 ab且faf b,就 ab的取值范畴是0,. x2、已知Ax yym x,Bx yyxm,CAB ,如 C 中仅含有两个元素时,就实数 m 的取值范畴m1 或m1. y参考解答：y = x+1yOy = x名师归纳总结 mO1xy =xm0第 5 页,共 1

15、1 页0y = x-1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载已知当 m 0 时 y m x与y x m在y轴左侧必有一个交点,故要在 y轴右侧有一个交点只需 m 1,同理当 m 0 时 y m x与y x m在y轴右侧必有一个交点,故要在 y轴左侧有一个交点只需 m 1 . 3、下图中的函数图像、与函数方程 a 、 b 、 c 、 d 的对应关系中,有可能正确的一组是 D a : f x y f x f y b : f x y f x f yc f xy f x f y d : f xy f x f yy y y yO x O xO xO

16、 x1 2 3 4A 1 c , 2 a , 3 b , 4 d B 1 a , 2 b , 3 c , 4 dC 1 b , 2 d , 3 a , 4 c D 1 b , 2 c , 3 d , 4 a4、已知函数 f x ax 3bx 2cx d 的图像如下列图,就（A ）A b ,0 B b 0,1 C b 1,2 D b 2,参考解答：名师归纳总结 此题可将图形转化为详细数值,由图像过3个特别点及与x 轴的相对位置特点,可得到以下等式：y 1 2 x 第 6 页,共 11 页f00,即d0；f10,即abc0；0 f20,即 8 a4 b2 c0；fxaxx1x2；当x,01,2时,

17、fx0,由f10得abc0,当x0,12,时,fx0,f30,可推得a0. 奇妙合理地利用以上各式,就可以得到多种简捷的解法：方法一：得b3 a,再由推得b0,选 A ；方法二：推得b0；b3 a,再由得b3 a. 方法三：由比较同次项系数得- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载20XX 届高三数学思想方法专题一：数形结合班级：姓名：数形结合是依据数量与图形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要数学思想 方法 . 利用数形结合思想, “ 以形助数,以数解形”,使复杂问题简洁化,抽象问题详细化,从而找到解题思路,使问题

18、得到解决 . 以形助数常用的有：借助于数轴、函数图像、单位圆、数式的结构特点、解析几何方法,以数 解形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系、运算结果与几何定理的结合 . 【以形助数】例 1、（集合中的数形结合）已知集合Axaxa2,Bxx23 x100,当AB,求实数 a 的取值范畴 . 例 2、（函数中的数形结合）设fxx22 ax2,当x1,时, fxa 恒成立,求 a 的取值范畴 . 例 3、（方程中的数形结合）如方程lg2 x3 xmlg 3x在x0,3内有唯独解,求实数m 的取值范畴 . 例 4、（不等式中数形结合）不等式x22 axa2a0在x02,时恒成立,求 a 的取值范畴

19、 . 例 5、（解析几何中的数形结合）名师归纳总结 已知,x y满意x2y21,求y3 x 的最大值与最小值. 第 7 页,共 11 页1625- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载例 6、（复数中的数形结合）已知复数 z 满意|z22i|2,求 z 的模的最大值与最小值. 【 配套练习 】名师归纳总结 1、方程sinx41x的解的个数为（）4A 1B 2C 3D4）2、假如实数x y满意x222 y3,就y x的最大值为（A1B3C3D3232）3、如 zC ,且z22 i1,就z22 i 的最小值是（A 2B 3C 4D 54、已知函

20、数fxlog2x1,如 0abc ,就fa,f b,fc的大小关系为 . abc）5、设函数fxx2bxcx00,如f4f0,f22,2x就关于 x 的方程 fxx 的解的个数为（A 1B 2C 3D 3）6、函数yx22 x2x26x13的最小值为（A 25B2 21C2D13第 8 页,共 11 页7、已知函数yx2ax2a在区间,3内递减,就实数 a 的取值范畴为 . 8、 设、分别是方程log2xx40 和2xx40的根,就 . 9、不等式 logaxsin2x a0 且a1对任意x0,4都成立,就 a 的取值范畴为 . 10、假如关于 x 的方程 x 2求实数 a 的取值范畴 . a

21、x32 a0有两个实数根x 1, x2,并且x 1,1,x202,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 11、求函数ysinx2的值域 . 学习必备欢迎下载cos x212、已知集合Px yxy1,xR yR,Qx yxa2y21,xR yR,求满意以下条件时实数a 的取值范畴 . PQ； P Q . 13、求函数u2 t46t的最值 . 【高考真题】1、如集合Mx,yx3cos0,集合Nx,y|yxb,且MN,y3sin就实数 b 的取值范畴为 . 名师归纳总结 2、已知fxxaxb2（其中 ab）,且,是方程fx0的两根（）,）就实数a,且 b,. 3

22、、点 M 是椭圆x2y21上一点,它到其中一个焦点F 的距离为 2 , N 为MF 的中点, O 表示原点,2516就 ON（A3 2x2k2B 22k1,2 k1C 4*D 8a 的取值范畴 . 4、关于 x 的方程ax在xkN上有两个不相等的实数解,求实数第 9 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【以数助形】例 7、设b0,二次函数yax2bxa21的图像为以下之一,就a 的值为（）y-1Oyyyx1xOxOx-1O1A 1B11,3C125D125例 8、线段 AB 的两个端点为A1,1 ,B,直线l:y2ax1

23、,已知直线 l 与线段 AB 有公共点,求 a 的取值范畴 . 例 9、已知A1,1为椭圆x2y21内一点,F 为椭圆左焦点, P 为椭圆上一动点,95求PF 1PA 的最大值和最小值. 【 配套练习 】1、已知函数fxlgx1,如 ab且faf b,就 ab的取值范畴是 . m 的2、已知Ax yym x,Bx yyxm,CAB ,如 C 中仅含有两个元素时,就实数取值范畴 . 名师归纳总结 3、下图中的函数图像、与函数方程a 、 b 、 c 、 d 的对应关系中,有可能正确的一组是 第 10 页,共 11 页a:fxyfxfyb:fxyfxfyc fxyfxfyd:fxyfxfyyyyyOxOxxxOO1234A1c , 2a , 3b , 4dB1a , 2b , 3c , 4d- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 C1fb , 2d, 32a, 4学习必备欢迎下载）cD1b , 2c , 3d, 4a4、已知函数x3 axbxcxd 的图像如下列图,就（Ab,0B b0,1C b1,2D b2,第 11 页,共 11 页- - - - - - -