2022年高考椭圆题型总结有答案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 椭圆题型总结一、椭圆的定义和方程问题一 定义 : 1. 命题甲 :动点 P 到两点 A, B 的距离之2. 和 PA PB 2 a a 0 , 常数 ; 命题乙 : P 的轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆,就命题甲是命题乙的 B A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件3. 已知 F 、F 是两个定点,且 F 1F 2 4 ,如动点P满意 PF 1 PF 2 4 就动点P的轨迹是（D ）A.椭圆 B.圆 C.直线 D.线段4. 已知 F 、F 是椭圆的两个焦点 , P 是椭圆上的一个动点 ,假如延长 F1 P

2、 到Q ,使得 PQ PF 2 ,那么动点 Q 的轨迹是 B A.椭圆 B.圆 C.直线 D.点5. 椭圆 x 2 y 21 上一点 M 到焦点 F 的距离为 2,N 为 MF 的中点, O 是椭圆的中心, 就 ON 的值是 4 ；25 92 26. 选做： F1是椭圆 x y 1 的左焦点, P 在椭圆上运动,定点 A（1,1）,求 | PA | | PF 1 | 的最小值；9 5解：| PA | | PF 1 | | PA | 2 a | PF 2 | 2 a | AF 2 | 6 2二 标准方程求参数范畴2 21. 试争论 k 的取值范畴,使方程 x y1 表示圆,椭圆,双曲线；（略）5

3、 k k 32.“m n 0” 是“ 方程 mx 2ny 21 表示焦点在 y 轴上的椭圆” 的 C A.充分而不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件第 1 页,共 7 页3.如方程x2sin2 ycos1表示焦点在y 轴上的椭圆,所在的象限是（A ）A.第一象限B. 其次象限C. 第三象限D. 第四象限4.方程x13y2所表示的曲线是椭圆的右半部分. 5.已知方程2 xky22表示焦点在X 轴上的椭圆 ,就实数 k 的范畴是k1 三待定系数法求椭圆的标准方程1.依据以下条件求椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别为（0,5）和（ 0, 5）,椭圆上一点P到两焦点的

4、距离之和为26；2 2y x1169 144（2）长轴是短轴的2 倍,且过点（ 2, 6）；y2x2,1或x2y21521314837（3）已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点P 16 1, ,P 23,2,求椭圆方程 . x2y2193名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2. 简洁几何性质2 6c 8 e e1 求以下椭圆的标准方程（1）3；（2）过（ 3,0）点,离心率为 3；2 2 2 2 2 2 2 2y x x y y x x y,1 或 1 1 , 或 1144 80 144 80 27 9 9 3（3）椭圆的对称

5、轴为坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点到椭圆的最近距离是 3 ；2 2 2 2y x,1 或 x y19 12 9 12（4）椭圆短轴的一个端点到一个焦点的距离为 5,焦点到椭圆中心的距离为 3,就椭圆的标准方程为2 2 2 2y x,1 或 x y116 25 16 25（5）已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点 P 到两焦点的距离分别为 4 5 和 2 5,过 P 作长轴的垂线恰好过椭3 3圆的一个焦点；2 2 2 2y 3 x ,1 或 x 3 y 15 10 5 102 23过椭圆 x2 y2 1 a b 0 的左焦点 F 作 x轴的垂线交椭圆于点 P, F

6、2 为右焦点,如 F 1PF 2 60,就椭圆a b的离心率为 _ 3 _ 3（四）椭圆系共焦点,相同离心率1椭圆x2y21与x2k92 yk10k9 的关系为（A ）12,就AB25925A相同的焦点B；有相同的准线C；有相等的长、短轴D；有相等的焦距2、求与椭圆x2y21有相同焦点,且经过点3,2的椭圆标准方程；94x2y211510（五）焦点三角形4a 1.已知F 、F 为椭圆x2y21的两个焦点,过F 的直线交椭圆于A 、 B 两点；如F2AF 2B2598；ABF 的周长BC 边上,2.已知F 、F 为椭圆x2y21的两个焦点,过F 且斜率不为0 的直线交椭圆于A 、 B 两点,就2

7、59是 20；3.已知ABC的顶点 B 、 C 在椭圆x2y21上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在3就ABC的周长为43；（六）焦点三角形的面积：1.已知点 P 是椭圆x2y21上的一点,F 、F 为焦点,PF 1PF 20,求点 P 到x轴的距离；第 2 页,共 7 页4名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2.解：设Px,y 就x2y23解得| y|3,所以求点P 到x轴的距离为| y|3x22 y133设 M 是椭圆x 2254y21上的一点,1F 、F 为焦点,F 1MF26,求F 1MF 2的面积；16|PF1|

8、2|PF2|2|F 1F22 |PF1|PF2|22|PF1|PF2|2 4 ccos2|PF 1|PF2|2|PF 1|PF2|解：4 b22|PF1|PF2|3.2|PF 1|PF2|2|sin616233；当F1MF26,S=1|PF1|PF2已知点 P 是椭圆x2y21 上的一点,F 、F 为焦点,如PF1PF21,就PF 1F 2的面积为32259PF1PF2已知 AB 为经过椭圆x2y21ab4.220的中心的弦,Fc,0为椭圆的右焦点, 就 AFB的面积的最大值为cb ；ab（七）焦点三角形2 21. 设椭圆 x y1 的两焦点分别为 F 和 F , P 为椭圆上一点,求 PF

9、1 PF 2 的最大值,并求此时 P 点的坐标；9 42 22. 椭圆 x y1 的焦点为 F 、1 F ,点 P 在椭圆上, 如 PF 1 4,就 PF 2 2 ；F 1PF 2 120 O；9 22 23. 椭圆 x y1 的焦点为 F 、F , P 为其上一动点,当 F 1PF 2 为钝角时,点 P 的横坐标的取值范畴为9 4 3 5, 3 5；5 54. P 为椭圆 x 2y 21 上一点,F 、F 分别是椭圆的左、 右焦点；（1）如 PF 的中点是 M ,求证：MO 5 1PF 1；25 16 2（2）如 F 1PF 2 60,求 PF 1 PF 2 的值；解：（1）MO 为三角形

10、PF1F2 的中位线,| MO | 1| PF 2 | 1 2 a | PF 1 | 5 1 | PF 1 |2 2 2（2）PF 1 PF 2 = 643（八）与椭圆相关的轨迹方程定义法：1.点 Mx,y 满意x2y3 2x2y3 2210,求点 M 的轨迹方程；（y2x2Bx1）:3 2y264的内部与其相内切,求动圆圆心P 的轨迹方程 . 2516A3 0,并且在定圆2.已知动圆 P 过定点3.x2y212167y24,圆C 2:x32y100,动圆 P 与C 外切,与C 内切,求动圆圆心P 的轨迹方3 已知圆C 1:x第 3 页,共 7 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学

11、习资料 - - - - - - - - - 程. 解：由题 | PC 1 | | PC 2 | r 2 10 r 122 2所以点 P 的轨迹是：以 C ,C 为焦点的距离之和为 12 的椭圆；c ,3 a 6,方程为 x y 136 274. 已知 A 1 , 0 , B 是圆 F : x 1 2y 24（ F 为圆心）上一动点 ,线段 AB 的垂直平分线交 BF 于 P ,就动点 P2 22 4 y 2的轨迹方程为 x3 12 25. 已知 A0,-1,B0,1, ABC的周长为 6,就 ABC 的顶点 C的轨迹方程是 x3 y4 1；直接法6. 如 ABC 的两个顶点坐标分别是 B 0

12、, 6 和 C 0 , 6 ,另两边 AB 、 AC 的斜率的乘积是 4,顶点A 的轨迹方程92 2为 x y 1；81 36相关点法7. 已知圆 x 2y 29,从这个圆上任意一点 P 向 x轴引垂线段 PP ,垂足为 P ,点 M 在 PP 上,并且 PM 2MP ,求点 M 的轨迹；2x 2y 192 2 2 28. 已知圆 x y 1,从这个圆上任意一点 P向 X轴引垂线段 PP,就线段 PP的中点 M 的轨迹方程是 x 4 y 1；2 29. 已知椭圆 x2 y2 1, A、B 分别是长轴的左右两个端点,P为椭圆上一个动点,求 AP中点的轨迹方程；5 42 2 2 x 5 y 125

13、 410. 一条线段 AB的长为 2 a,两端点分别在 x轴、y轴上滑动,点 M 在线段 AB 上,且 AM : MB 1 : 2 ,求点 M的轨迹方程 . 二、9x29y214直线和椭圆的位置关系一 判定位置关系1 当 m为何值时 ,直线 l : y x m 和椭圆 9 x 216 y 2144 1相交； 2相切； 3相离；解：由9 yx 2 x16 my 2144 消去 y 得 25 x 232 mx 16 m 2144 0,判别式：576 25 m 2所以,当 5 m 5 时直线与椭圆相交；当 m 5 时直线与椭圆相切；当 m 5 或 m 5 时直线与椭圆相离；2 如直线 y kx 2

14、与椭圆 2 x 23 y 26 有两个公共点,就实数 k 的取值范畴为；k 6或 k 63 3二 弦长问题2 21. 设椭圆 C : x2 y2 1 a b 0 的左右两个焦点分别为 F 、F ,过右焦点 F 且与 x 轴垂直的直线 l 与椭圆 Ca b相交,其中一个交点为 M 2 1,；名师归纳总结 第 4 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （1）求椭圆的方程；x2y2142（2）设椭圆 C 的一个顶点为B（0,-b）,直线BF 交椭圆 C于另一点 N,求F1BN的面积；解：由（ 1）点 B（0,2）,F220, ,直线 BF2的方程为

15、：xy2xyy221消去 y 得：3x242x0,解得x0 或x432x242所以点 N 的坐标为（432,2）3所以SF 1BNSF1F2BSF1F2N122228233三点差法1.2.已知始终线与椭圆4x29y236相交于 A 、 B 两点 ,弦 AB 的中点坐标为 1,1 ,求直线 AB 的方程 .解：设交点A x 1,y 1Bx2,y2,就有x 12x21,4x29y 1236 1 1y 12y214x29y22362 2（2）-（1）得4 x 2x 1x2x 19 y 2y 1y2y 10即y 2y 14k,又直线 AB 过点（ 1,1）x2x 19所以直线 AB 的方程为：y14x

16、1 9椭圆 C以坐标轴为对称轴,并与直线 l:x+2y=7 相交于 P、Q 两点, 点 R 的坐标为 （2,5）,如PQR 为等腰三角形,PQR90,求椭圆 C 的方程；解：设椭圆C:Ax2By21A,0B0 ,交点Px 1,y 1,Q x2,y 2,PQR 为等腰三角形,PQR90,就x22y 27y 252解得 Q（1,3）；所以A9B1 , （1）x22又QR ,12 就QP,21 或（2,）当QP,21 （x1,1y 13）,就有P,32 ,就9A4B1, （2）由（ 1）（2）得A5,B8,椭圆的方程为5x28y2177777777当当QP1,2 （x1,1y 13）,就有P,14,

17、就A16B1, （3）由（ 1）（3）得 B=0（舍去）名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 四 定值、定点问题1、已知动直线yk x1与椭圆C:x2y21相交于 A 、 B 两点 , 已知点49M7,0, 求证： MA MB为定5533值.3 k250证明：设交点A x 1,y 1,Bx 2,y 26 k2x由ykx1消去 y 得 13 k2x2x23y25就有x1x216 k2,x1x23 k253k213 k2 1k2x1x27k2x1x2k24 9所以 MA MB为定值MAx 17,y 1,MBx27,y233M

18、AMBx 17x27y 1y23339五 取值范畴问题已知椭圆的一个顶点为A 0, 1,焦点在 x 轴上 . 如右焦点到直线xy2 20的距离为 3.（ 1）求椭圆的方程 . （2）设直线ykxm k0与椭圆相交于不同的两点M N . 当 |AM| |AN|时,求 m 的取值范畴解：设椭圆的方程为x2y21,右焦点F2c , 0 （c0）,椭圆的下顶点A（0,-1）,所以b1,a2b2又右焦点到直线xy220的距离| c022|3得c22所以a2b2c23,椭圆的方程为x2y2131第 6 页,共 7 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页