2022年高中数学圆与直线知识点与各类提高习题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载圆与直线学问点圆的方程：（1）标准方程：xa2yb 2r2（圆心为 Aa,b,半径为 r）4F0）（ 2）圆的一般方程：x2y2DxEyF0（D2E2DE1D2E24F圆心（ -2,-2）半径2点与圆的位置关系的判定方法：依据点与圆心的距离d与r在大小关系判定直线与圆的位置关系判定方法（1）几何法：由圆心到直线的距离和圆的半径的大小关系来判定；d=r 为相切, dr 为相交, d0 为相交,0 为相交,0 为相离或内含；如两圆相交,两圆方程相减得公共弦所在直线方程；5. 直线与圆的方程的应用：利用平面直角坐标系解决直线与圆的位

2、置关系名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载挑选题名师归纳总结 1圆x12y3 21的切线方程中有一个是（）第 2 页,共 15 页Ax y0Bxy0C x0Dy0 2如直线ax2y10与直线xy20相互垂直,那么a 的值等于（）A1 B1C2D2333设直线过点 0, ,其斜率为 1,且与圆x2y22相切,就 a 的值为（）42 2224平面的斜线 AB 交于点 B ,过定点 A 的动直线 l 与 AB 垂直,且交于点 C ,就动点 C 的轨迹是（）A一条直线B一个圆C一个椭圆D双曲线的一支5参数方

3、程x2cot（为参数）所表示的曲线是（）ytanA圆B直线C两条射线D线段6假如直线l1,l 的斜率分别为二次方程x24x10的两个根,那么1l 与2l 的夹角为（）A3B4C6D87已知M , |y92 x,y0,N , |yxb ,如 MN,就 b（）A 3 2,32B 3 2,32C 3,32D 3,3 28一束光线从点A 1,1动身,经x 轴反射到圆C: x22y321上的最短路径是（）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A4 B5 学习必备欢迎下载D 2 6C 3 219如直线ax2 by20 , a b0始终平分圆x2y24x2y80的周长,

4、就12ab的最小值为（）A1 B5 C 4 2D 32 210已知平面区域D 由以A3,1、B,52、C1,3为顶点的三角形内部和边界组成.如在区域 D上有无穷多个点x,y可使目标函数zxmy取得最小值,就m（）A2B1C1D4 11、设M2000 101,N1020011,P1020009,Q1020019,就 M 与 N、 P 与 Q 的大小关10200112002 101102001100102002100名师归纳总结 系为 第 3 页,共 15 页A.MN PQB.MN PQC.MN PQD.MN PQ12、已知两圆相交于点A 1,3 和点B m , 1,两圆圆心都在直线l:xyc0上

5、,就mc的值等于 A -1 B2 C3 D0 13、三边均为整数且最大边的长为11 的三角形的个数为 A.15 B.30 C.36 D.以上都不对14、设m0,就直线2xy m10与圆x2y2m 的位置关系为（）A. 相切 B.相交 C. 相切或相离 D.相交或相切15 、 已 知 向 量m 2 co s, 2 si nn , 3 co s, 3 si n 如 m 与 n 的 夹 角 为 60, 就 直 线l:xcosysin10与圆C: xcos2ysin21的位置关系是（） A相22交但不过圆心 B相交过圆心 C 相切 D相离16、已知圆O: x32y5236和点A 2,2,B 1, 2,

6、 如点 C 在圆上且ABC的面积为5 , 就满 2足条件的点 C 的个数是（）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载A.1 B.2 C.3 D.4 17、如圆C 1: xa2yb2b21始终平分圆C2: x12y124的周长 , 就实数a,b应满足的关系是 A a 2 2 a 2 b 3 0 Ba 2 2 a 2 b 5 0 C a 2 2 b 2 2 a 2 b 1 0 D3 a 2 2 b 2 2 a 2 b 1 018、在平面内 , 与点 A ,1 2 距离为 1, 与点 B 3 1, 距离为 2 的直线共有 A.1 条 B. 2

7、条 C. 3 条 D. 4 条填空题名师归纳总结 - - - - - - -1、直线 2xy4=0 上有一点 P,它与两定点A4,1,B3,4的距离之差最大,就P 点坐标是 _ 2、设不等式2x1m x21对一切满意m2的值均成立,就x 的范畴为；3、已知直线l:xy40与圆C:x12y122,就C上各点到l的距离的最大值与最小值之差为；4、直线x211 2tt t为参数被圆x2y24截得的弦长为 _；y125、已知圆M: xcos 2ysin21,直线l:ykx,以下命题成立的有_；对任意实数 k 与,直线 l 和圆 M 相切；对任意实数 k 与,直线 l 和圆 M 有公共点；对任意实数,必

8、存在实数k ,使得直线 l 和圆 M 相切对任意实数 k ,必存在实数,使得直线 l 和圆 M 相切6、点 A3,3发出的光线l 射到 x 轴上被 x 轴反射,反射光线与圆C x2y24x4y70相切,就光线 l 所在直线方程为_ _；7、直线 y m x2就弦 MN 的长为与圆x2y2mxny40交于 M 、N 两点,且 M 、N 关于直线xy0对称,；8、过圆x2y24内一点A1 1, 作一弦交圆于B、C两点 , 过点B、C分别作圆的切线PB、PC,两第 4 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 切线交于点 P ,就点 P 的轨迹方程为学习必备欢迎下载；解答题1

9、、设数列 a n 的前 n 项和 S n na n n 1 b , n 1,2, ,a、b 是常数且 b 0；（1）证明：a n 是等差数列；（2）证明：以 a n , S n 1 为坐标的点 nP , n 1,2, 落在同始终线上,并求直线方程；n（3）设 a 1, b 1, C 是以 , r r 为圆心, r 为半径的圆 r 0,求使得点 P1、P2、P3都落在圆 C2外时, r 的取值范畴；2、求与圆 x 2y 2 5 外切于点 P 1 2, ,且半径为 2 5 的圆的方程3、如图,已知圆心坐标为M31,的圆 M 与 x 轴及直线y 3 均相切,切点分别为 A 、 B ,另一圆 N 与圆

10、 M 、x 轴及直线 y 3 均相切,切点分别为 C 、 D ；（1）求圆 M 和圆 N 的方程；（2）过 B 点作 MN 的平行线 l ,求直线 l 被圆 N名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载截得的弦的长度；4、假如实数 x、 y 满意x22y23,求y x的最大值、 2yx 的最小值；5、已知圆C: x2 1y2225,直线l: 2m1xm1y7m40, mR ；（1）证明：不论m 取什么实数,直线l 与圆恒交于两点；P （2）求直线被圆 C 截得的弦长最小时l 的方程 . 6、已知 O 为原

11、点, 定点Q4,0,点 P 是圆x2y24上一动点；名师归纳总结 （1）求线段 PQ 中点的轨迹方程；O R Q 第 6 页,共 15 页（2）设POQ 的平分线交 PQ 于 R ,求 R 点的轨迹方程；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 7、如下列图,过圆O x2学习必备欢迎下载M作圆y24与 y 轴正半轴的交点A 作圆的切线 l ,M为 l 上任意一点,再过的另一切线,切点为Q,当点 M在直线 l 上移动时,求三角形MAQ的垂心的轨迹方程；8、已知圆M:x2y221, Q 是 x 轴上的动点, QA ,QB 分别切圆 M 于 A,B 两点,求动弦 A

12、B 的中点 P 的轨迹方程；M P B A 1C圆心为（ 1,3 ）,半径为1,故此圆必与y 轴（ x=0）相切,选C. O Q x 名师归纳总结 2D由A A 2B B 20可解得第 7 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载2,选 C; . 3C直线和圆相切的条件应用,xya0 ,2a,a24A 过点 A 且垂直于直线AB 的平面与平面的交线就是点C 的轨迹,故是一条直线5C原方程x2|y| 26A 由夹角公式和韦达定理求得名师归纳总结 7C数形结合法,留意y92 x,y0等价于x2y29y0.由8A 先作出已知圆C 关

13、于x 轴对称的圆C ,问题转化为求点A 到圆C 上的点的最短路径,即|AC | 149D已知直线过已知圆的圆心（2,1）,即ab1所以1 a212ab 3b2 a32 2babab10C由A,1 3、B,5 2、C1,3的坐标位置知,ABC 所在的区域在第一象限,故x0,y0zxmy得y1xz,它表示斜率为1. mmm1；（1）如m0,就要使zxmy取得最小值,必需使z最小,此时需1kAC13,即 mmm31（2）如m0,就要使zxmy取得最小值,必需使z最小,此时需1kBC12,即 m2,mm35第 8 页,共 15 页与m0冲突 .综上可知, m1. 11 解：设点A 1, 1、点B200

14、1 10,102000、点C102002,102001,就 M、N 分别表示直线AB、AC 的斜率, BC 的方程为y1x ,点 A 在直线的下方,KABKAC,即 MN；10同理,得 PQ ；答案选 B；认真体会题中4 个代数式的特点和“ 数形结合” 的好处12 解：由题设得：点A,B关于直线xyc0对称 ,kABm4111m5；kl线段 AB 的中点 3,1 在直线xyc0上,c2mc3,答案选 C；13 解：设三角形的另外两边长为x,y,就- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 0x11学习必备欢迎下载0 y 11；留意“=” 号,等于 11 的边可以

15、多于一条；x y 11点 , x y 应在如右图所示区域内：当 x=1 时, y=11；当 x=2 时, y=10,11；当 x=3 时, y=9,10,11；当x=4 时, y=8,9,10,11；当 x=5 时, y=7,8,9,10,11；以上共有15 个, x,y 对调又有 15 个；名师归纳总结 再加 6,6）,7,7）,8,8）,9,9）,10,10）、11, 11）,共 36 个,答案选C；30第 9 页,共 15 页14 解：圆心 0,0 到直线的距离为d12m,圆半径 rm ；dr12mm1 2m2 10,直线与圆的位置关系是相切或相离,答案选C；15 解：|m n|6cos

16、cos2 3sinsincoscos6001,m| |n2圆心Ccos,sin到直线 l 的距离d|cos1|12r,22直线与圆相离,答案选D；复习向量点乘积和夹角余弦的运算及三角函数公式16 解: 由题设得：AB5,SABC5,点 C 到直线 AB 的距离d1, 2直线 AB 的方程为4x3y20, 与直线 AB 平行且距离为1 的直线为l1: 4x3y2l: 4x3y70得：圆心O3,5到直线1l的的距离d16r , 到直线2l的距离为d24r , ,圆 O 与直线1l 相切；与直线2l 相交 , 满意条件的点 C 的个数是 3,答案选 C 17 解：公共弦所在的直线l 方程为：x2 1

17、y2 1 -4 - xa2yb2 -b2-1 =0即：2 1ax2 1bya210,圆C 始终平分圆C 的周长,圆C 的圆心1, 1 在直线 l 上, 2 1a2 1ba210,即a22a2b50,答案选 B；18 解：直线 l 与点A,12距离为 1,所以直线 l 是以 A 为圆心 1 为半径的圆的切线,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载同理直线 l 也是以 B 为圆心 2 为半径的圆的切线,即两圆的公切线,AB 5 3,两圆相交,公切线有 2 条,答案选 B；想一下,假如两圆相切或相离,各有几条公切线？B 填空题 1 解： A 关

18、于 l 的对称点 A , AB 与直线 l 的C 交点即为所求的 P 点；得 P5,6）；AB想一想,为什么,AB与直线 l 的交点即为所求的 P 点？P A 假如 A、B两点在直线的同一边,情形又如何？P22 解：原不等式变换为 x 1 m 1 2 0,2设：f m x 1 m 1 2 x , 2 m 2,按题意得：f 2 0, f 2 0；2即：22 xx 2 22 xx 1 30 0 72 1x 32 1；1 1 43 解： 圆心 C 1,1 到直线的距离 = 2 2 r 2,直线与圆相离,1 1C 上各点到 l 的距离的最大值与最小值之差 = r = 2 2；4 解：直线方程消去参数

19、t 得：x y 1 0,圆心到直线的距离 d 1 2,弦长的一半为2 22 2 2 2 14,得弦长为 14 ；2 25 解：圆心坐标为 M cos ,sink cossin 1k 2sin（ ）d1k 21k 2 sin 1 r,所以命题成立；认真体会命题的区分；名师归纳总结 6 解：光线 l 所在的直线与圆C 关于 x 轴对称的圆 C 相切；圆心 C 坐标为2, 2 ,半径r1,第 10 页,共 15 页直线过点 A3,3,设 l 的方程为：y3k x3,即：kxy3 k30圆心 C 到直线 l 的距离d2k223 k31,12k225K120k1解得：k4或k3,得直线 l 的方程： 4

20、x3y30或 3x4y30；34- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -学习必备欢迎下载7 解：由直线ymx 与直线xy0垂直m2,由圆心在直线xy0上n2,2圆方程为x12y2 16,圆心为1,1 ,圆心到直线的距离d1 102,1 1弦 MN 的长 =2r2d22 6248 解：设P x 0,y 0, 依据题设条件,线段BC 为点 P 对应圆上的切点弦,直线 BC 的方程为x 0xy 0y4,A点在 BC 上,x 0y04, 即 P 的轨迹方程为：xy4；留意把握切点弦的证明方法；1、设数列a n的前 n 项和S

21、nnan n1 b , n1,2,a、b 是常数且b0；（1）证明：a n是等差数列；（2）证明：以a n,S n1为坐标的点nP , n1,2,落在同始终线上,并求直线方程；n（3）设 a 1, b 1, C 是以 , r r 为圆心, r 为半径的圆 2外时, r 的取值范畴；r0,求使得点P1、P2、P3都落在圆 C1 解：（1）证明：由题设得a 1S 1a ；当 n 2 时,a nS nS n1nan n1 bn1 an1 n2ba2 n1 b,a na n1a2 n1 ba2 n2 b2 b ；所以a n是以 a 为首项, 2b 为公差的等差数列；证毕；（2）证明：b0,对于 n2,

22、kP P n 1S n1S 11nan n1 ban1 b1n1a 2 na na1 ba2 n1 b2a 1以an,S n1为坐标的点nP , n1,2,落在过点P a a1,斜率为1 的同始终线上,2n此直线方程为：ya11xa,即x2ya20；2（3）解：当a1,b1时,得P 11,0、P 22,1、P 33,1,都落在圆C 外的条件是22第 11 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载6 ,+ ；r12r2r2r2r2 1 00r12r12r25r1724r32rr2r28r01210由不等式,得r 1 由不等式,得r5 22 或 r5 2+

23、2由不等式,得r46 或 r4+6再留意到 r0,15 22 46 =5 + 22 4+6使 P1、P2、P3都落在圆 C 外时, r 的取值范畴是 0,11,5 22 4+2、求与圆x2y25外切于点P1 2,且半径为25的圆的方程3,2 解一：设所求圆的圆心为Ca,b,就 a2 1 b2 22 52a6b2（ ）ba11）式,显得更简洁明快,所求圆的方程为x3 2y6220；注：由于两圆心及切点共线得（解二：设所求圆的圆心为Ca,b,由条件知OP1OC 1,21 , 33a63,所求圆的方程为x3 2y6 220；b认真体会解法2,利用向量表示两个圆心的位置关系,同时表达了共线关系和长度关

24、系值得借鉴；3、如图,已知圆心坐标为 M 3 1, 的圆 M 与 x 轴及直线y 3 均相切,切点分别为 A 、 B ,另一圆 N 与圆 M 、x 轴及直线 y 3 均相切,切点分别为 C 、 D ；（1）求圆 M 和圆 N 的方程；（2）过 B 点作 MN 的平行线 l ,求直线 l 被圆 N截得的弦的长度；名师归纳总结 3 解：（1）由于圆 M 与BOA的两边相切,故M 到 OA及 OB 的距离均为圆M 的半径,就 M 在第 12 页,共 15 页BOA的角平分线上,同理,N 也在BOA的角平分线上,即O、M、N三点共线,且 OMN 为BOA 的角平分线,- - - - - - -精选学习

25、资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载M 的坐标为 M 3 1,M 到 x 轴的距离为 1,即：圆 M 的半径为 1,2 2圆 M 的方程为 x 3 y 1 1；设圆 N 的半径为 r ,由 Rt OAM Rt OCN,得：OM : ON MA : NC , 即 2 1r 3,OC 3 3,圆 N 的方程为： x 3 3 2 y 3 29；3 r r（2）由对称性可知,所求弦长等于过 A 点的 MN 的平行线被圆 N 截得的弦长,此弦所在直线方程为 y 3 x 3 ,即 x 3y 3 0,3圆心 N 到该直线的距离 d 3 3 3 3 3 3,就弦长 = 2 r 2d 2

26、331 3 2注：也可求得 B 点坐标 3, 3,得过 B 点 MN 的平行线 l 的方程 x 3y 3 0,再依据圆心 N 到2 2直线 l 的距离等于 3 ,求得答案 33 ；仍可以直接求 A 点或 B 点到直线的距离,进而求得弦长24、假如实数 x、 y 满意 x 2 2y 23,求y 的最大值、 2y x 的最小值；x4 解：（1）问题可转化为求圆 x 2 2y 23 上点到原点的连线的斜率 k y的最大值；x设过原点的直线方程为 y kx ,由图形性质知当直线斜率取最值时,直线与圆相切；得：2k k2 01 3,k 3,xy max 32 2 x 2 3 cos（2）,x y满意 x

27、 2 y 3,y 3sin2 x y 4 2 3 cos 3 sin 4 15 sin 2 x y min 4 15；留意学习把握解（2）中利用圆的参数方程将关于 x,y 的二元函数转化为关于角 的一元函数,从而便利求解的技巧；名师归纳总结 5、已知圆C: x2 1y2225,直线l: 2m1xm1yR7m40, mR ；第 13 页,共 15 页（1）证明：不论m 取什么实数,直线l 与圆恒交于两点；0, m（2）求直线被圆 C 截得的弦长最小时l 的方程 . 5 解：（1）解法 1： l 的方程 xy4m 2xy7- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - -

28、2 xy70,学习必备欢迎下载A 3,1x3,即 l 恒过定点xy40,y1,圆心坐标为C1,2,半径r5,AC5r ,点 A 在圆 C 内,从而直线 l 恒与圆 C 相交于两点；解法 2：圆心到直线 l 的距离d5| 3m61|2,d2554 m3 22m0m2mm26 md55r,所以直线 l 恒与圆 C 相交于两点；3（2）弦长最小时,lAC ,kAC121,lk2,2m12312m14代入 2m1 xm1y7m40,得 l 的方程为 2xy50；直线经过的定留意把握以下几点： （1）动直线斜率不定,可能经过某定点；（2）直线与圆恒有公共点点在圆内, 此结论可推广到圆锥曲线； （3）过圆

29、内一点, 最长的弦为直径, 最短的弦为垂直于直径的弦；6、已知 O 为原点,定点Q4,0,点 P 是圆x2y24上一动点；（1）求线段 PQ 中点的轨迹方程；（2）设POQ 的平分线交 PQ 于 R ,求 R 点的轨迹方程；Q （2）处理“ 角6 解：（1）设 PQ 中点M x y ,就P2x4,2y ,代入圆的方程得x22y2P 1；（2）设R x y , ,其中y0,P m n ,由PROP21,R RQOQ42O m3 x4,代入圆方程x2y24并化简得：2n3y2x42y216y0；当 y=0 时,即 P 在 x 轴上时,39POQ 的平分线无意义；（1）此题的解法称作相关点转移法求轨迹,其核心是找到未知与已知动点之间的坐标关系；平分线” 问题,一般有以下途径：转化为对称问题利用角平分线性质,转化为比例关系利用夹角 相等；名师归纳总结 7、如下列图,过圆O x2y24与 y 轴正半轴的交点A 作圆的切线 l ,M为 l 上任意一点,再过M作圆的另一切线,切点为Q,当点 M在直线 l 上移动时,求三角形MAQ的垂心的轨迹方程；7 解：设Q x y 1,AM边上的高为 QB,MQ边上的高为AC ,连接 OQ,MQOQ