2022年高中数学必修常考题型：一元二次不等式及其解法.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 一元二次不等式及其解法【学问梳理】1一元二次不等式我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2 的不等式,称为一元二次不等式,即形如 ax2bxc00或 ax2bxc00其中 a 0的不等式叫做一元二次不等式2一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的 x 的值,叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合,称为这个一元二次不等式的解集 . 3一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表判别式 b24ac 0 0x1x20的根b 2ax2 二次函数 y ax2bxc a0的图象ax2bxc0a0 x|xx2 x|x b 2aR.的解

2、集ax2bxc0x|x1x0；2x27x6. 32 xx3x4x解： 1方程 x2 5x6 0 的两根为 x1 1,x26. 结合二次函数 yx25x 6 的图象知,原不等式的解集为 x|x6 2原不等式可化为 x 27x60. 解方程 x27x60 得, x11,x26. 结合二次函数 yx27x 6 的图象知,原不等式的解集为 x|1x0. 第 2 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 方程 x2x30 两根为 2 和 3. 结合二次函数 yx2 x3的图象知,原不等式的解集为 x|x2 4由原不等式得 8x 2 8x44xx2. 原不等

3、式等价于 9x212x40. 解方程 9x212x 40,得 x1 x22 3. 结合二次函数 y9x212x4 的图象知,原不等式的解集为 x|x2 3. 题型二、解含参数的一元二次不等式【例 2】解关于 x 的不等式 x21axa0. 解 方程 x 21axa0 的解为 x1 1,x2a,函数 yx 21axa 的图象开口向上,就当 a 1 时,原不等式解集为 x|ax 1 ；当 a 1 时,原不等式解集为 .；当 a 1 时,原不等式解集为 x|1xa 【类题通法】解含参数的一元二次不等式时：1假设二次项系数含有参数,就需对二次项系数大于0 与小于 0 进行争论；2假设求对应一元二次方程

4、的根需用公式,就应对判别式 进行争论；3假设求出的根中含有参数,就应对两根的大小进行争论【对点训练】2解关于 x 的不等式： ax 2a1x10aR解： 原不等式可化为：ax1x10,当 a0 时, x1,名师归纳总结 当 a0 时 x1 a x10 第 3 页,共 7 页1 ax 1. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当 a 1 时, x 1,当 1a0 时, x1 a x 10,x1 a或 x 1. 当 a 1 时,1 a1,x1 或 x1 a,综上原不等式的解集是：当 a0 时, x|x 1 ；当 a0 时, x|1 ax 1 ；当 a 1 时

5、, x|x 1 ；当 1a0 时,x|x1或x1 a . 当 a 1 时, x|x1 a或x1 ,题型三、一元二次不等式与相应函数、方程的关系【例 3】已知关于 x 的不等式 x2axb0 的解集为 x|1 x2 ,求关于 x 的不等式 bx2ax 10 的解集解x2axb0 的解集为 x|1x2 ,1,2 是 x2axb0 的两根名师归纳总结 a12,第 4 页,共 7 页由韦达定理有b 1 2,a 3,得b2,代入所求不等式,得2x23x1 0. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由 2x23x10. 2x1x10. x1 2或 x1. bx2ax

6、1 0 的解集为,1 21, 【类题通法】1一元二次不等式 ax 2bxc0a 0的解集的端点值是一元二次方程 ax2bx c0 的根,也是函数 yax2 bxc 与 x 轴交点的横坐标2二次函数 yax2bx c 的图象在 x 轴上方的部分,是由不等式 ax2bxc0 的 x 的值构成的；图象在 x 轴下方的部分,是由不等式 ax2bx c0 的 x 的值构成的,三者之间相互依存、相互转化【对点训练】3已知方程 ax2bx2 0 的两根为 1 2和 2. 1求 a、b 的值；2解不等式 ax 2bx10. 解： 1方程ax2bx20 的两根为1 2和 2,1 22 b a,由根与系数的关系,

7、得1 2 22 a.解得 a 2, b3. 2由1知, ax2bx10 可变为 2x23x10,即 2x23x10,解得1 2x1. 不等式 ax2bx 10 的解集为 x|1 2x1 【练习反馈】名师归纳总结 1不等式 x2x 0 的解集为 第 5 页,共 7 页A x|x0B x|x 2 C x|x2 或 x0 Dx|0x2 解析： 选 D原不等式化为xx20,故 0x 2. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2已知集合M x|x23x280 ,N x|x2x60 ,就 MN 为 A x|4x 2 或 3x7 B x|4x 2 或 3x7 C x|

8、x 2 或 x3 D x|x 2 或 x3 解析： 选 AM x|x23x 280 x|4x7 ,N x|x 2 x60 x|x 2 或 x3 ,MN x|4x 2 或 3x7 3二次函数 yx 24x3 在 y0 时 x 的取值范畴是 _解析： 由 y0 得 x24x 30,1x3 答案： 1,3 4假设不等式ax2bx20 的解集为x|1 2x2 ,就实数a_,实数b_. 解析： 由题意可知1 2, 2 是方程 ax2bx2 0 的两个根1 2 2 b a,由根与系数的关系得1 2 22 a,解得 a 2, b3. 答案： 2 3 5解以下不等式：1x7x12；2x 22x1名师归纳总结 解： 1原不等式可化为x27x 120,由于方程x 2 7x120 的两根为 x13,x2 4,所以原不等式的解集为x|3x 4 第 6 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2原不等式可以化为 x22x20,由于判别式 48 40,方程 x22x20 无实根,而抛物线 y x2 2x2 的图象开口向上,名师归纳总结 所以原不等式的解集为R. 第 7 页,共 7 页- - - - - - -