2022年高考第二轮复习-函数导数数列专题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载函数、导数、数列专项复习名师归纳总结 例1设函数fx 定义域为 R,当x0时,fx1,且对任意x,yR,有第 1 页,共 12 页fxyfx fy证明：（1）f01（2）对任意的xR,fx0且fx 在 R 上是增函数 . （3）设集合Ax ,y|fx2fy2f1 . Bx,y|fxyc,1cR ,如AB,求c的取值范畴 . 解：（1）取x0,y1,有f01 f0 f1即f 1 f0f 1 又f 1 0,f01（2）当x0时,fx10；当x0时,（I）知f01当x0时 ,fxfxfxxf01, 又x0,f x1,0fx1,综上所

2、述,对任意的xR,有fx 0设x 1x 2,fx2fx 2fx 1x 1fx2fx 1fx 1fx 2x 1fx 1x 1x 1x2x 10,fx 2x 11,fx2fx 1fx是 R上的增函数 . （3）A:fx2fy2f1 fx2y2f 1,x2y21,即Ax ,y|x2y21B:fxyc1f0xyc0,即Bx,y |xyc0 AB,直线xyc0与圆x2y21相离或相切- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 故| c|1c2或学习必备2欢迎下载c2例 2 如函数fx1x 31ax2a1x1在区间 ,14 内为减函数,在区间6 ,32为增函数,试求当取a

3、的取值范畴 . 解：fx 13 x1ax2a1x132fx x2axa1fx x1 xa1 令f x0,解得x1 或xa1（1）当a11时,在区间 ,14内f x0,那么fx在 ,14 内为增函数,不合题意 . 名师归纳总结 （2）当1a14时,在区间 ,14内f x0不恒成立,那么fx在,14内不第 2 页,共 12 页为减函数,不合题意. （3）当4a16时,在区间,14内f x0,所以fx在 ,14内为减函数, ；在区间6,内,f x0,所以fx在6,内为增函数,此时5a7. （4）当a16时,在区间6 ,内f x0不恒成立,那么f x在6,上为增函数不成立,不合题意,综上所述知5a7为

4、所求 . 例 3 用总长为14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架,假如所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积. 解：设容器底面边长为xm,就另一边长为x0 .5 m,高为14 .84x44 x0. 5.3 22x由3 2.2x0和x0得0x.1 6设容器的容积为3 ym ,就有yxx0.5 3.22x0x16.整理,得：y2x32 .2x21 .6x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以y6x24.4x1 .6学习必备欢迎下载名师归纳总结 令y0,有6x24 .4x16.0,即15x211 x40

5、第 3 页,共 12 页解得：1x1,x 214（不合题意,舍去）15从而在定义域01, .6内只有在x1时,使y0,由题意,如x 过小（接近0）或过大（接近 1.6）时, y 值很小（接近0）,因此,当x1时, y 取得最大值 . y最大11 .51.21.8这时,高为3 2.21.12答：容器的高为.1 2 m容积最大,最大容积为18.3 m . 例 4 已知函数fx excosxsinx,将满意f x0的全部正数 x 从小到大排成数列xn（I）证明fnx为等比数列 . （II ）记S 是数列x nfxn前 n 项和,求lim nS 1S 2nS n解：fxexcosxsinxfx x e

6、cosxsinxexsinxcosx2exsinx令f x0,得2 exsinx0,解得xn, n 为整数xnnn,12 3, ,（I）xnnfxn1 nen,就fxn1efx n所以,数列fxn是公比qe的等比数列,是首项fxe（II）xnn（n,123, ,是首项为,公差为的等差数列,而数列fxn是- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 首项为fx 1e,公比qe学习必备欢迎下载xnfx n是由等差,等比数列对的等比数列,所以应项的积组成的数列,求和时可以用错位相减的方法名师归纳总结 S nx1fx 1x2fx2x nfxnnqn1第 4 页,共 12

7、页S nnq 12q3 q2nqn1,其中qeqS nq q2q2n1 qn1nqn所以S nqS nq 1qq2qn1nqnq1qnnqn1qS nnq1qnnqn1q1q化简得：S n1q21q22qn11q2nqn1,其中qeqqq这样数列S n的通项分解为3 个部分,第一部分是常数列,其次部分是等比数列,第三部分又是由等差、等比数列对应项乘积组成的数列,分别对这三个数列求和,就可以得到数列S n的前 n 项和即有：S 1S 2nS n1q2n 1q221qqn1nq2q12qqq 1 1q2n2q231qn1qn22q 1qq|q|e|1lim nqn0所以lim nS 1S 2nS

8、n 1q2ee1 2q例5已知a n是由非负整数组成的数列,满意a 10,a23,an1a na n12a n22,n,34 ,5 ,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （I）求a ；学习必备欢迎下载22,n34,5,（II）证明ana n（III ）求an的通项公式及前n 项和S . a 的可能的值为1, 2,5,a 3a 410,且解：（I）由题设得：a3, a4均为非负整数,所以10 如a3a31,就a4410,a 53 2与题设冲突如a35,就a42,a 535 2与题设冲突如a310,就a1,a560,a 63与题设冲突5所以2（II ）用数学

9、归纳法证明：名师归纳总结 当n3时,a3a12,等式成立ak22anan222 4第 5 页,共 12 页 假设当nkk3 时等式成立,即a k由题设有：ak1akak12ak222成立由于akak220所以ak1a k12a k1也就是说,当nk1 时,等式ak1an12,而依据和,对于全部n3,有an1（III ）当 n 为偶数时,anan22a n422a n44an6a n66a2n2 3n2n1a 1n1 n1an当 n 为奇数时,a nan22a n44ann1 n,n,1,23 ,a4a 5a6an当 n 为偶数时,S na 1a2a 31- - - - - - -精选学习资料

10、- - - - - - - - - 1学习必备4欢迎下载1n1n n123n2例 6 当 n 为奇数时,S na 1a2a 3a4a n2an11ann n1111234 n2 n1n2即Sn1n n1 1当n 为偶数时21n n1 当n 为奇数时12n1n2na 02设a 为常数,且an3n12a n1nN（I）证明对任意n1,a n1 3n1n5（II）假设对任意n1,都有anan1,求a 的取值范畴 . 证明：（I）法一：（数学归纳法）名师归纳总结 （i）a 1302a012a0,即a 112a0,当n1 时,等式成立；a 0第 6 页,共 12 页（ii）假设nkk1 时等式成立,即a

11、 k2k1k 31k1k 21kk 25那么a k1k 32 a kk 323k1k11kk 21a 0513k1k1kk 211k1k 21a 05n1 时,等式也成立；2an11也就是说,当依据 iii 可知,等式对于任何nN成立；法二：a n3n12a n1a n12a n1113a nn 3n 3n 3n 313an1 51 52 an11 5a01的等比数列n 33n11n2na 0a n2是公比为,首项为n 335a n1a 012 3n即a n1n 31 n12nn 3555- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （II ）ana n123n1

12、学习必备3欢迎下载1 n32n1a 01 n12n15所以anan1nN等价于1n15 a 0123n2nN112（1）当 n 为奇数时,式：5 a 013n2a 01 53n2225a01311152533na 011 2n2（2）当 n 为偶数时,式：5 a 01255a0111055a 01综上所述,式对任意nN成立,有03故a 的取值范畴是,013练习名师归纳总结 1已知 a 为实数,fx x24xa 第 7 页,共 12 页（1）求导数f x；在2 ,2 上的最大值和最小值；（2）如f10,求fx （3）如fx在,2和2,上都是递增的,求a 的取值范畴；解：（1）fx x3ax24x

13、4a,fx3x22 ax4（2）令f11 0,解得a1,此时fx3x2x42由f x0,得：x1或x4 3又f19,f450,f2 0,f2 02327所以fx在2 ,2 上最大值为9 ,最小值为 250 27（3）fx3x22ax4- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - f x为开口向上且过点0,4学习必备欢迎下载f20,f2 0的抛物线,由条件知：名师归纳总结 即4a280解得：2a20,即ax3第 8 页,共 12 页8a0所以 a 的取值范畴是2 ,2 2已知函数fx 2xax0 , 2 ,aR 2 x（1）如f x 在0 ,2 上是增函数,试求a

14、的取值范畴；（2）求fx的最小值解：（1）fx2a2 x322 ax3依题意fx22 a在02,上,恒有：f x0,22 a3 x3 x又x3,80 ,a0x 0 ,2 上是增函（2）fx22a,令fx0x3ax3当3 a0,即a0时,f x0在0,2 上恒成立,f数. f x在0,2上无最小值 . 3 3a,当a8当03 a2,即8a0时如x0 ,3 a时,f x0,如x3 a,2 时f x0fxminf3a33a当3 a2即a8时,f x0在0,2上恒成立 . fx在0 ,2 上是减函数,fx min4a4综上所述, 当a0时,fx 无最小值； 当8a0时,fx min- - - - -

15、- -精选学习资料 - - - - - - - - - 时,fx min49学习必备欢迎下载43已知fa0,函数fx 1ax,x,0,设0x 12,记曲线yfx在点xaMx 1,x处的切线为 l（I ）求 l 的方程；名师归纳总结 （II ）设 l 与 x 轴交点为x2,0 ,证明（i ）0x 21（ii ）如x 11,就x 1x 21第 9 页,共 12 页aaa解：（I ）fx 1,由此得切线 l 的方程为y1ax 11xx 1x22 x 1x 1（II ）依题意,切线方程中令y0,有01ax 11xx 1x2x 1 1ax 1x 1x 12ax 12 x 1x 1即x2x 12ax 1其

16、中0x 12ai0x 12,ax 12,x 2x 12ax 10a又x 2ax 11211时,x 21aa10x 2,当且仅当x 1x 21aaaii当x 11时,ax 11,2ax 11,x2x 12ax 1x 1且由 iaa所以x 1x 21a4设a0,求函数fx xlnxax,0的单调区间 . 解：fx 21xx1ax0 当a0 x0时,fx0x22a4xa20fx 0x22a4 xa20- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2a42学习必备2欢迎下载4a16 1a时,（i ）当a1时,0 ,所以,对全部的x0,有x22a4xa200,此即a1时,f

17、 x 0,此时,fx在0,内单调递增 . （ii ）当a1时,0 ,对x1,有x22a4xa20,即f xfx在0 1, 内单调递增,在 ,1内单调递增；又知函数fx在x1处连续,因此,函数fx在0,内单调递增 . （iii）当0a1时,令f x0即x22 a4xa20,a,解得x2a21a或x2a21a因此函数fx在区间0 ,2a21a内单调递增,在区间2a21内也单调递增；名师归纳总结 令f x0即x22a4xa20,解得2a21ax2a21a第 10 页,共 12 页因此,函数fx在区间2a21a,2a21a内单调递减 . 5已知aR,求函数fxx2eax的单调区间 . 2xax20解：

18、fx 2ax xex2eaxa2xax2eax令f x0即2xax2ax e0ax e0解不等式：2xax202或x0,x2ax0当a0时,解得x0,a0时,解得：xa当a0时,解得0x2,令f x0,即xax20a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当a0时,解得x0,当a学习必备欢迎下载2x00时,解得：a当a0时,解得x0或x2a综上所述：在a0时,函数f x在区间0,内为减函数,在区间,0为增函数；名师归纳总结 在a0时,函数fx在区间,2内为增函数,在区间2, 0 为减函数,在区第 11 页,共 12 页aa间0,内为增函数；2内为增函数,在区

19、在a0时,函数fx在区间,0 内为减函数,在区间0 ,a间2,内为减函数；,ak n为等比数列, 其中a6等差数列an的公差d0,它的一部分组成数列ak 1,ak 2,ak 3,ak 11,ak25,ak 317解得：a 12d（ 1）求等比数列ak 1,ak 2,ak 3,ak n的公比 q ；（ 2）记fnkn,求fn 的解析式；（ 3）求k 1k2kn的值 ; 解：（1）依题意有：2 a 5a 1a 17a 14 d2a 1a 116dqa5a 1a 14 d2 d2d4d33k n12a 1（2）ak n13a1kn11 d3,又a 12d,kna kna 1kn1 dkn13kn11

20、 kn1是等比数列,kn1k11 3n123n1kn23n11- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - fn23n11学习必备欢迎下载（3）k 1k2cnkn2 133n1n21 13nn3nn1np ；37（ I）已知数列,其中nc2n3n且数列cn1pc n的等比数列,求常数nb n,证明数列a不是等（ II）设an、nb是公比不相等的两个等比数列,c na比数列；解：（I）由于c n1pc n是等比数列,故有2cn12np n2cn2npc n1cnn1pc n1将nc12nn 3代入上式,得：p1n 3123np23n1p2n1n 32n3n22n2n 3即：名师归纳总结 2p2n3pn 322p2n13pn 312p2n123p3n1第 12 页,共 12 页整理得：1 2p 3p 2n3 n0bn2a 1 b 1p2q6解得p2或p3（ II）设an、bn的公比分别为p,q,pq ,cnan为记cn不是等比数列,只需记2 c 2c 1c3pq事实上：c2a 1pb 1 q2a2p22 b 1q22a 1b 121c 1c 3a 1b 1a 1p2b 1q22 a 1p22 b 1q由于pq,p2q22pq,又a 1,b 1不为零c2c 1c 32故cn不是等比数列 . - - - - - - -