高中数学复习专题：导数的概念及运算.docx

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1、3.1导数的概念及运算最新考纲考情考向分析1.了解导数概念的实际背景2.通过函数图象直观理解导数的几何意义3.能根据导数定义求函数yc(c为常数)，yx，yx2，yx3，y，y的导数4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，(理)能求简单的复合函数(仅限于形如f(axb)的复合函数)的导数.导数的概念和运算是高考的必考内容，一般渗透在导数的应用中考查；导数的几何意义常与解析几何中的直线交汇考查；题型为选择题或解答题的第(1)问，低档难度.1导数与导函数的概念(1)一般地，函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是 ，我们称它为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0

2、)或，即f(x0) .(2)如果函数yf(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数yf(x)在开区(a，b)间内的导函数记作f(x)或y.2导数的几何意义函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率k，即kf(x0)3基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)x(Q*)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos xf(x)cos xf(x)sin xf(x)exf(x)exf(x)ax(a0，a1)f(x)axln af(x)ln xf(x)f

3、(x)logax(a0，a1)f(x)4.导数的运算法则若f(x)，g(x)存在，则有(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)5复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积知识拓展1奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数2af(x)bg(x)af(x)bg(x)3函数yf(x)的导数f(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f(x)|反映了变化的快慢

4、，|f(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)f(x0)是函数yf(x)在xx0附近的平均变化率()(2)f(x0)与f(x0)表示的意义相同()(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线()(4)函数f(x)sin(x)的导数是f(x)cos x()题组二教材改编2P85A组T5若f(x)xex，则f(1) .答案2e解析f(x)exxex，f(1)2e.3P18A组T6曲线y1在点(1，1)处的切线方程为 答案2xy10解析y，y|x12.故所求切线方程为2xy10.题组三易错自纠4如图所示为函数yf(x)，yg(x

5、)的导函数的图象，那么yf(x)，yg(x)的图象可能是()答案D解析由yf(x)的图象知，yf(x)在(0，)上单调递减，说明函数yf(x)的切线的斜率在(0，)上也单调递减，故可排除A，C.又由图象知yf(x)与yg(x)的图象在xx0处相交，说明yf(x)与yg(x)的图象在xx0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.5有一机器人的运动方程为st2(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t2时的瞬时速度为()A. B. C. D.答案D6设函数f(x)的导数为f(x)，且f(x)fsin xcos x，则f .答案解析因为f(x)fsin xcos x，所以f(x)fcos xsin

6、x，所以ffcos sin ，即f1，所以f(x)sin xcos x，f(x)cos xsin x.故fcos sin .7已知函数f(x)ax3x1的图象在点(1，f(1)处的切线过点(2,7)，则a .答案1解析f(x)3ax21，f(1)3a1，又f(1)a2，切线方程为y(a2)(3a1)(x1)，又点(2,7)在切线上，可得a1.题型一导数的计算1f(x)x(2 018ln x)，若f(x0)2 019，则x0等于()Ae2 B1Cln 2 De答案B解析f(x)2 018ln xx2 019ln x，故由f(x0)2 019，得2 019ln x02 019，则ln x00，解得

7、x01.2若函数f(x)ax4bx2c满足f(1)2，则f(1)等于()A1 B2C2 D0答案B解析f(x)4ax32bx，f(x)为奇函数且f(1)2，f(1)2.3已知f(x)x22xf(1)，则f(0) .答案4解析f(x)2x2f(1)，f(1)22f(1)，即f(1)2.f(x)2x4，f(0)4.思维升华 导数计算的技巧(1)求导之前，应对函数进行化简，然后求导，减少运算量(2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元题型二导数的几何意义命题点1求切线方程典例 (1)曲线f(x)在x0处的切线方程为 答案2xy10解析根据题意可知切点坐标为(0，1)，f(x

8、)，故切线的斜率kf(0)2，则直线的方程为y(1)2(x0)，即2xy10.(2)已知函数f(x)xln x，若直线l过点(0，1)，并且与曲线yf(x)相切，则直线l的方程为 答案xy10解析点(0，1)不在曲线f(x)xln x上，设切点为(x0，y0)又f(x)1ln x，直线l的方程为y1(1ln x0)x.由解得x01，y00.直线l的方程为yx1，即xy10.引申探究本例(2)中，若曲线yxln x上点P的切线平行于直线2xy10，则点P的坐标是 答案(e，e)解析y1ln x，令y2，即1ln x2，xe，点P的坐标为(e，e)命题点2求参数的值典例 (1)直线ykx1与曲线y

9、x3axb相切于点A(1,3)，则2ab .答案1解析由题意知，yx3axb的导数y3x2a，则由此解得k2，a1，b3，2ab1.(2)已知f(x)ln x，g(x)x2mx(m0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，与f(x)图象的切点为(1，f(1)，则m .答案2解析f(x)，直线l的斜率kf(1)1.又f(1)0，切线l的方程为yx1.g(x)xm，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则有x0m1，y0x01，y0xmx0，m0，m2.命题点3导数与函数图象典例 (1)已知函数yf(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数yf(x)的图象如图所示，则该函数的图象

10、是()答案B解析由yf(x)的图象是先上升后下降可知，函数yf(x)图象的切线的斜率先增大后减小，故选B.(2)已知yf(x)是可导函数，如图，直线ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线，令g(x)xf(x)，g(x)是g(x)的导函数，则g(3) .答案0解析由题图可知曲线yf(x)在x3处切线的斜率等于，f(3).g(x)xf(x)，g(x)f(x)xf(x)，g(3)f(3)3f(3)，又由题图可知f(3)1，g(3)130.思维升华 导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点A(x0，f(x0)求斜率k，即求该点处的导数值kf(x0)(2)若求过点P

11、(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由求解即可(3)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况跟踪训练 (1)(2017山西孝义模拟)已知f(x)x2，则曲线yf(x)过点P(1,0)的切线方程是 答案y0或4xy40解析设切点坐标为(x0，x)，f(x)2x，切线方程为y02x0(x1)，x2x0(x01)，解得x00或x02，所求切线方程为y0或y4(x1)，即y0或4xy40.(2)设曲线y在点处的切线与直线xay10平行，则实数a .答案1解析y，由条件知1，a1.求曲线的切线方程典例 若存在过点O(0,0)的直线l与曲线yx33x22x和y

12、x2a都相切，求a的值错解展示：现场纠错解易知点O(0,0)在曲线yx33x22x上(1)当O(0,0)是切点时，由y3x26x2，得y|x02，即直线l的斜率为2，故直线l的方程为y2x.由得x22xa0，依题意44a0，得a1.(2)当O(0,0)不是切点时，设直线l与曲线yx33x22x相切于点P(x0，y0)，则y0x3x2x0，3x6x02，又kx3x02，联立，得x0(x00舍去)，所以k，故直线l的方程为yx.由得x2xa0，依题意知4a0，得a.综上，a1或a.纠错心得求曲线过一点的切线方程，要考虑已知点是切点和已知点不是切点两种情况.1函数f(x)(x2a)(xa)2的导数为

13、()A2(x2a2) B2(x2a2)C3(x2a2) D3(x2a2)答案C解析f(x)(xa)2(x2a)(2x2a)(xa)(xa2x4a)3(x2a2)2设函数f(x)在定义域内可导，yf(x)的图象如图所示，则导函数f(x)的图象可能是()答案C解析原函数的单调性是当x0时，f(x)的单调性变化依次为增、减、增，故当x0；当x0时，f(x)的符号变化依次为，.故选C.3(2017西安质检)曲线f(x)x3x3在点P处的切线平行于直线y2x1，则P点的坐标为()A(1,3) B(1,3)C(1,3)或(1,3) D(1，3)答案C解析f(x)3x21，令f(x)2，则3x212，解得x

14、1或x1，P(1,3)或(1,3)，经检验，点(1,3)，(1,3)均不在直线y2x1上，故选C.4设曲线yeaxln(x1)在x0处的切线方程为2xy10，则a等于()A0 B1C2 D3答案D解析yeaxln(x1)，yaeax，当x0时，ya1.曲线yeaxln(x1)在x0处的切线方程为2xy10，a12，即a3.故选D.5(2018广州调研)已知曲线yln x的切线过原点，则此切线的斜率为()Ae Be C. D答案C解析yln x的定义域为(0，)，且y，设切点为(x0，ln x0)，则 切线方程为yln x0(xx0)，因为切线过点(0,0)，所以ln x01，解得x0e，故此切

15、线的斜率为.6一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为st33t28t，那么速度为零的时刻是()A1秒末 B1秒末和2秒末C4秒末 D2秒末和4秒末答案D解析s(t)t26t8，由导数的定义知vs(t)，令s(t)0，得t2或4，即2秒末和4秒末的速度为零7(2017西安模拟)设曲线yaxln(x1)在点(0,0)处的切线方程为y2x，则a .答案3解析ya，由题意得y|x02，即a12，所以a3.8(2018届云南红河州检测)已知曲线f(x)xln x在点(e，f(e)处的切线与曲线yx2a相切，则a .答案1e解析因为f(x)ln x1，所以曲线f(x)xln x在xe处的切线斜率

16、为k2，则曲线f(x)xln x在点(e，f(e)处的切线方程为y2xe.由于切线与曲线yx2a相切，故yx2a可联立y2xe，得x22xae0，所以由44(ae)0，解得a1e.9已知曲线y，则曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为 答案x4y20解析y，因为ex0，所以ex2 2(当且仅当ex，即x0时取等号)，则ex24，故y(当x0时取等号)当x0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为，切线的方程为y(x0)，即x4y20.10(2018成都质检)已知f(x)，g(x)分别是二次函数f(x)和三次函数g(x)的导函数，且它们在同一平面直角坐标系内的图象如图所示(1)若f(1)1

17、，则f(1) ；(2)设函数h(x)f(x)g(x)，则h(1)，h(0)，h(1)的大小关系为 (用“”连接)答案(1)1(2)h(0)h(1)h(1)解析(1)由图可得f(x)x，g(x)x2，设f(x)ax2bxc(a0)，g(x)dx3ex2mxn(d0)，则f(x)2axbx，g(x)3dx22exmx2，故a，b0，d，em0，所以f(x)x2c，g(x)x3n，由f(1)1，得c，则f(x)x2，故f(1)1.(2)h(x)f(x)g(x)x2x3cn，则有h(1)cn，h(0)cn，h(1)cn，故h(0)h(1)h(1)11已知函数f(x)x34x25x4.(1)求曲线f(x

18、)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)求经过点A(2，2)的曲线f(x)的切线方程解(1)f(x)3x28x5，f(2)1，又f(2)2，曲线在点(2，f(2)处的切线方程为y2x2，即xy40.(2)设曲线与经过点A(2，2)的切线相切于点P(x0，x4x5x04)，f(x0)3x8x05，切线方程为y(2)(3x8x05)(x2)，又切线过点P(x0，x4x5x04)，x4x5x02(3x8x05)(x02)，整理得(x02)2(x01)0，解得x02或1，经过点A(2，2)的曲线f(x)的切线方程为xy40或y20.12已知曲线yx3x2在点P0处的切线l1平行于直线4xy10，且点P

19、0在第三象限(1)求P0的坐标；(2)若直线ll1，且l也过切点P0，求直线l的方程解(1)由yx3x2，得y3x21，由已知令3x214，解得x1.当x1时，y0；当x1时，y4.又点P0在第三象限，切点P0的坐标为(1，4)(2)直线ll1，l1的斜率为4，直线l的斜率为.l过切点P0，点P0的坐标为(1，4)，直线l的方程为y4(x1)，即x4y170.13已知函数f(x)1，g(x)aln x，若在x处函数f(x)与g(x)的图象的切线平行，则实数a的值为()A. B. C1 D4答案A解析由题意可知f(x)，g(x)，由fg，得，可得a，经检验，a满足题意14(2017上饶模拟)若点

20、P是曲线yx2ln x上任意一点，则点P到直线yx2距离的最小值为 答案解析由题意知yx2ln x的定义域为(0，)，当点P是曲线的切线中与直线yx2平行的直线的切点时，点P到直线yx2的距离最小，如图所示故令y2x1，解得x1，故点P的坐标为(1,1)故点P到直线yx2的最小值dmin.15若函数f(x)x2axln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是 答案2，)解析f(x)x2axln x，定义域为(0，)，f(x)xa.f(x)存在垂直于y轴的切线，f(x)存在零点，即xa0有解，ax2(当且仅当x1时取等号)16(2018福州质检)设函数f(x)ax，曲线yf(x)在点(2，

21、f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形的面积为定值，并求此定值解(1)方程7x4y120可化为yx3.当x2时，y.又f(x)a，于是解得故f(x)x.(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y1，知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为yy0(xx0)，即y(xx0)令x0，得y，从而得切线与直线x0的交点坐标为.令yx，得yx2x0，从而得切线与直线yx的交点坐标为(2x0，2x0)所以点P(x0，y0)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积为S|2x0|6.故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.