第三章复变函数的积分 第一节 柯西定理.doc

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1、第五章 留数及其应用 (Residue and application)第一讲授课题目：5.1 孤立奇点教学内容：孤立奇点的分类、各类奇点的特征、函数的零点与极点的关系、函数的零点与极点的关系.函数在无穷远点的性态学时安排：2学时教学目标：1、掌握孤立奇点的分类2、理解并掌握各类奇点的特征 3、了解函数的零点与极点的关系及函数的零点与极点的关系教学重点：孤立奇点的分类教学难点：各类奇点的特征教学方式：多媒体与板书相结合作业布置： 习题五：1-5板书设计：一、孤立奇点的分类 二、各类奇点的特征 三、函数的零点与极点的关系参考资料：1、复变函数，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.2、复变函数与

2、积分变换学习辅导与习题全解，高等教育出版.3、复变函数论，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005年5月.4、复变函数与积分变换苏变萍 陈东立编，高等教育出版社，2008年4月.课后记事：1、会判断函数的孤立奇点，并能正确分类2、基本掌握各类奇点的特征3、课后要答疑教学过程：5.1 孤立奇点(Isolated singular point)一、孤立奇点的分类（Isolated singular points of）设函数在去掉圆心的圆盘内解析，那么我们称为的孤立奇点.在内，有洛朗展式其中是圆.为的解析部分，为的主要部分.例1 0是，的孤立奇点.例2 ，是它的孤立奇点.一般地，对于上述函数，

3、按照它的洛朗展式含负幂的情况（主要部分的情况），可以把孤立奇点分类如下：定义（Definition）5.1(1) 若 在的主要部分为零， 则称 为 的可去奇点. (2) 若 在 点的主要部分为有限多项. 即 ()则称 为 的阶极点.(3) 若 在 点的主要部分有无限多项, 则称 为 的本性奇点.二、各类奇点的特征(The characteristics of various types of singularities)1、可去奇点(Removable singularity) 我们说是的可去奇点，或者说在有可去奇点.这是因为令，就得到在整个圆盘内的解析函数.定理(Theorem)5.1函数在

4、内解析，那么是的可去奇点的必要与充分条件是：存在着极限，其中是一个复数.证明：（必要性）.已知是的可去奇点，在内，有洛朗展式：因为上式右边的幂级数的收敛半径至少是R，所以它的和函数在内解析，于是显然存在着.（充分性）设在内，的洛朗展式是其中已知，所以存在着两个正数及，使得在内，那么取，使得，我们有当时，在上式中令趋近于0，就得到.于是是的可去奇点.定理(Theorem)设为的孤立奇点，则是的可去奇点的充分必要条件是：存在着某一个正数，使得在内有界.2. 极点(Pole)设是的阶极点.当时，称是的单极点，当时，称是的重极点.是的阶极点，那么在内，有洛朗展式：在这里.于是在内其中是一个在内解析的函

5、数，并且.反之，如果函数在内可以表示成为上式右端的形状，而是一个在内解析的函数，并且，那么可以推出是的阶极点.这样我们就得到： 是的阶极点充要条件是： （1） 其中在解析，并且.由此可得如下定理：定理(Theorem)5.2设函数在内解析，那么是的极点的充分必要条件是：.推论设函数在内解析，那么是的阶极点的充分必要条件是： ，在这里是一个正整数，是一个不等于0的复常数.3. 本性奇点 (Essential singularity)定理(Theorem)5.3设函数在内解析，那么是的本性奇点的充分必要条件是：不存在有限或无穷极限.例3 研究是函数孤立奇点的类型解：是函数的孤立奇点.当沿正实轴趋近

6、于0时，趋近于；当沿负实轴趋近于0时，趋近于0；所以不存在，故是函数的本性奇点.例4 研究是函数孤立奇点的类型解：是函数的孤立奇点.因为函数在内的洛朗展式为由于展式中负幂项系数均为0，故故是函数的可去奇点. 例5 求出下列函数的奇点，并确定它们的类型，对无穷远点也要加以讨论： （1） （2） 解（1）（法一）以为奇点 先求在的洛朗展式：由此，在的负幂项部分为零；故为的可去奇点.（法二） 因为故为可去的奇点（2）显然是的二级极点.三、函数的零点与极点的关系(Function relationship between the zero and pole)定义(Definition)5.2若，其中在

7、解析，且，是一正整数，则称为的阶零点.定理(Theorem)5.4若在解析，则为的阶零点充分必要条件是 证明：（必要性）若为的阶零点，则 设在的泰勒展式为 其中，从而在的泰勒展式为由此式推知 （充分性）课后作业 注1：不恒为零的解析函数的零点是孤立的(Analytic function is not identically zero zero is isolated)零点与极点有如下关系 定理(Theorem)5.5 为的阶极点，则是的阶零点，反之亦然.例6函数有什么奇点？如果是极点，指出它们的阶.解：是函数的孤立奇点，由于，所以都是的一阶零点，也就是一阶极点. 四、函数在无穷远点的性态(Fu

8、nction in the behavior of Infinity)定义(Definition)5.3设函数在无穷远点的邻域内解析，则称无穷远点为的孤立奇点.在内，有洛朗级数展式： （2）其中令，按照或，我们得到在或内解析的函数，在内其洛朗级数展式是：再用代入，得到在内 （3）（3）与（2）对比得 因此，有 （1）在（2）中，如果当时时，那么是的可去奇点. （2）在（2）中，如果只有有限个（至少一个）整数，使得，那么是的极点.设对于正整数，而当时，那么我们称是的阶极点. （3）在（2）中，如果有无限个整数，使得，那么称是的本性奇点. 注2：我们也称分别为级数的解析部分和主要部分. 注3：若为

9、的可去奇点，也说在无穷远点解析. 注4：有限点的结论都可以推广到无穷远点的情形，有 定理(Theorem)5.6设函数在无穷远点的邻域（）内解析，则孤立奇点为的可去奇点、极点、本性奇点的充分必要条件是存在着有限、无穷极限、不存在有限或无穷的极限.例7 求函数在的去心邻域内的洛朗展式，并指出其收级域. 解：因在内解析，故在此领域内展为洛朗级数. 例8 函数是否以为孤立奇点？若是，属于哪一类？ 解：函数在全平面上解析，式子本身就是在无穷远点的邻域内的洛朗展式，所以是函数的孤立奇点且为三阶极点.例9 函数是否以为孤立奇点？解：函数在全平面上除的零点以外为解析，但的零点，它们都是的极点，且在扩充复平面

10、上，序列以为聚点，因此不是函数的孤立奇点. 2 15.2 留数 留数的概念及留数定理、留数的求法、函数在无穷远点的的留数.1、掌握留数定理及留数的求法2、正确理解函数在无穷远点的的留数 3、了解留数的概念留数定理留数的求法讲授法 多媒体与板书相结合思考题：1，2，3.习题五：6-8一、留数定理二、留数的求法三、函数在无穷远点的的留数1复变函数，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.2复变函数与积分变换学习辅导与习题全解，高等教育出版社.3复变函数论，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005.4复变函数与积分变换,苏变萍 陈东立编，高等教育出版社，2008.1、会求留数2、能理解留数的概念3

11、、课后要答疑第二讲授课题目：5.2 留数教学内容：留数的概念及留数定理、留数的求法、函数在无穷远点的的留数.学时安排：2学时教学目标：1、掌握留数定理及留数的求法2、正确理解函数在无穷远点的的留数 3、了解留数的概念教学重点：留数定理教学难点：留数的求法教学方式：多媒体与板书相结合作业布置：思考题：1，2，3.习题五：6-8板书设计：一、留数定理 二、留数的求法 三、函数在无穷远点的的留数参考资料：1、复变函数，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.2、复变函数与积分变换学习辅导与习题全解，高等教育出版.3、复变函数论，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005年5月.4、复变函数与积分变换

12、苏变萍 陈东立编，高等教育出版社，2008年4月.课后记事：1、会求留数2、能理解留数的概念3、课后要答疑教学过程：5.2 留数(Residue)一、 留数的概念及留数定理（The concept of the residue and the residue theorem）设函数在点解析.作圆，使在以它为边界的闭圆盘上解析，那么根据柯西定理，积分设函数在区域内解析.选取，使，并且作圆，那么如果在也解析，则；如果是的孤立奇点，则积分就不一定等于零；关于的计算有定义（Definition）5.4如果是的孤立奇点，函数在区域内解析.则称积分为在孤立奇点的留数，记作，这里积分是沿着按逆时针方向取的.

13、注1:我们定义的留数与圆的半径无关.事实上:在内，有洛朗展式：，当时，有 即， . （1）这就是说在孤立奇点的留数等于其洛朗级数展式中的系数.注2：如果是的可去奇点，那么 例1 求在孤立奇点处的留数 解：在内所以 定理(Theorem)5.7（柯西留数定理）(Cauchy residue theorem)设在内除去有孤立奇点外处处解析，是内包围各奇点的一条正向简单闭曲线，那么 （2）证明：以内每一个孤立奇点为心，作圆，使以它为边界的闭圆盘上每一点都在D内，并且使任意两个这样的闭圆盘彼此无公共点.根据柯西定理有由此得即二、留数的求法(Method of Calculating the resid

14、ue)法则1：设是的一个一阶极点.则 （3）证明：是的一个一阶极点.因此在去掉中心的某一圆盘内（），其中在这个圆盘内包括解析，其泰勒级数展式是：而且.显然，在的洛朗级数中的系数等于，因此 例2 求函数在各孤立奇点处的留数 解：由于是的一阶极点，有法则2：设其中及在解析，是的一阶零点，那么是的一阶极点，且 （4） 证明：利用法则1注意下面式子即可得证. 例3 函数在极点处的留数 解：因为函数有两个一阶极点，且由法则2 法则3： 设是的一个阶极点.则 （5）例4 求函数在处的留数解：因是的二阶极点，则有公式（5）有三、函数在无穷远点的的留数(Function Infinity residue)定义

15、(Definition)5.5 设为的一个孤立奇点，即在内解析，则称为在点的留数.记为.这里是指顺时针方向. 注3：若在内的洛朗展式为则有注4： 的有限可去奇点处，有，但是如果点为的可去奇点（或解析点），则可以不是零.例如 定理(Theorem)5.8如果在扩充平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），设为，则在各点的留数总和为零. 证明：对于充分大的正数,使全在内，由留数定理得而 故得. 法则4： 证明：在无穷远点留数定义中，令.并令，经过化简即可得证. 例5 求函数在它各有限奇点的留数总和. 解：函数的有限奇点是2及，共五个.其中2是三阶极点，每个是二阶极点，显然，逐个求出在各奇点的留

16、数，不论用规则2或展开洛朗级数，都是十分麻烦的，现在我们利用定理5.8来求：所以欲求的留数之和为1注5：定理5.8为我们提供了计算函数沿闭曲线积分的又一种方法.如下例例6 计算积分，其中为正向圆周 解：除外，被积函数的奇点是，据定理5.8有其中由于都在的内部，所以从上式、留数定理与法则4得到， 2 15.3 留数在定积分中的应用*5.4 对数留数与辐角原理 形如的积分、形如 型积分、形如 的积分.对数留数、辐角原理、儒歇（Rouche）定理.1、熟练掌握、 的计 算方法 2、掌握儒歇（Rouche）定理及其应用 3、正确应用辐角原理 4、了解对数留数形如的积分，辐角原理形如 的积分，辐角原理讲

17、授法 多媒体与板书相结合思考题：1，2，3.习题五：6-8一、形如的积分二、形如 型积分三、形如 的积分四、对数留数五、辐角原理六、儒歇（Rouche）定理1复变函数，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.2复变函数与积分变换学习辅导与习题全解，高等教育出版社.3复变函数论，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005.4复变函数与积分变换,苏变萍 陈东立编，高等教育出版社，2008.1、不能正确掌握2、会求形如的积分3、能正确运用儒歇（Rouche）定理4、辐角原理掌握不太好5、课后要答疑第三讲5.3 留数在定积分中的应用(Residue in the application of defi

18、nite integral) 在数学分析中往往要计算一些定积分或反常积分，而这些积分中的被积函数的原函数，不能用初等函数表示出来；或者可以求出原函数，但计算也非常繁琐.在这种情况下把这些定积分的计算问题，转化为计算某些解析函数在孤立奇点的留数.下面通过例子进行讨论.一、 形如的积分，令，则，其中是的有理分式，当时，沿单位圆的正向绕行一周，因此有 （1）例1 计算积分其中常数.解：令，则由（1）于是应用留数定理，只需计算在|z|1内极点处的留数，就可求出.上面的被积函数有两个极点：及.显然.因此被积函数在内只有一个极点，在极点的留数为于是求得二、 形如 型积分其中 为有理分式函数.定理5.9设

19、为有理分式, 其中; 为互质多项式, 且合条件: (1) ,即比至少高两次， (2) 在实轴上无零点， (3) 在上半平面内的极点为, 则 （2） 例2 计算积分解：因为被积分函数是一个偶函数，所以它一共有两个二阶极点，在上半平面只有一个极点，由公式得 由（2）得 例3 计算积分 解：因为被积分函数是一个偶函数，所以 它一共有两个二级极点，在上半平面只有一个极点，由公式得 由（2）得 注1：通过上述二例，一般形如的积分，其中是有理分式，分母在实轴上不为零，并且分母的次数比分子的次数至少高2次.都可以用上述方法来计算.三、 形如 的积分. 其中 为有理分式函数. 定理(Theorem) 5.10

20、 设 为有理分式函数. 其中 与为互质多项式,且满足条件: (1) 的次数比的次数高，(2)在实轴上无零点， (3) 则有 （3） 注2：将上式实,虚部分开,得到形如: 和 的积分.例 4 计算积分 解: 因为被积函数为偶函数. 所以而由（3）比较等式两端的实,虚部得 .同时也可求得: .注3：公式（2）与（3）都要求在实轴上无零点，即在实轴上无孤立奇点，若在实轴上有孤立奇点，则 （4）其中是上半平面的奇点，是实轴上的奇点.例5 计算积分 解：因为被积函数为偶函数. 所以而在上半平面内无奇点，是实轴上有奇点由公式（4）比较等式两端的实,虚部得 .*5.4 对数留数与辐角原理(Logarithm

21、ic residue and argument principle)一、对数留数（Residual of logarithm） 定义（Define）5.6 形如的积分称为的对数留数，注1：函数的零点和奇点都可能是的奇点.引理（Lemma）（1）设是的阶零点，则必为函数的一阶极点，并且 （2）设为的阶极点.则必为函数的一阶极点，并且定理(Theorem)5.11设在简单闭曲线的内部除可能有极点外是解析,并在上解析且不为零， 则有其中表示内部零点的总个数，表示内部极点的总个数， 阶零点或极点算个零点或极点证明；由已知条件，可知在内部至多有有限个零点和极点，设为在内部的不同零点，其阶为；为在内部的不

22、同极点，其阶为由上述引理知在内部及上除去在内部有一级极点及外均是解析的，故有留数定理及引理得二、辐角原理（Angle principle of the spoke）为了说明对数留数的几何意义，我们将对数留数写成=函数是z的单值函数，当起沿简单闭曲线一周回到时有 =0另一方面，当起沿正方向绕行简单闭曲线一周回到时，的值可能改变.于是=式中表示沿正方向绕行一周后的改变量，是的整倍数.定理(Theorem)5.12（辐角原理）在定理5.11的条件下，在闭曲线的内部的零点个数与极点个数之差，等于当沿正方向绕行一周后的改变量除以，即特别，如在的内部及上均解析，且在上不为零时，则.三、 儒歇（Rouche

23、）定理（Theorem that Confucianism has a rest (Rouche)）定理(Theorem)5.13（儒歇定理）设函数及在简单闭曲线的内部及上均解析,并且在上，那么的内部及的零点的个数相同.注2:选择及的原则是:在内的零点个数好计算.例1 方程在内根的个数. 解：取由于当时，我们有而 由此可知：在上，有，根据儒歇定理已给方程在内根的个数与在内根的个数相同，即5个.例2 问方程（1）在圆有几个根. （2）在圆环各有几个根. 解：（1）取，在上，根据儒歇定理：与在内的零点的个数相同，即在内无根（2）取， 在上，根据儒歇定理：方程的五个根全在的内部，即在上有五个根，但在上所以方程在上无根，故的根全在内例3 如果，求证方程在单位圆内有个根.证明：取 由于当时，根据儒歇定理：在内的零点的个数与相同，即个，因此方程在单位圆内有个根. 例4 试用儒歇定理证明代数学基本定理：次方程 有且只有个根（几重根就算作几个根） 证明：取，当在充分大的圆周上时，例如取 有 根据儒歇定理定理，在内，方程 与有相同个数的根，而在内有一个重根：，因此次方程有个根，另外，在圆周上，或其它外部，任取一点，则，于是 这说明原次方程在是及其外部没有根，所以原次方程在平面上有且只有个根. 小结：重点掌握孤立奇点分类，留数计算方法，灵活运用留数计算实积分.38