解三角形公式分析.doc

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1、|海伦秦九韶公式假设在平面内，有一个三角形，边长分别为 a、b、c，三角形的面积 S 可由以下公式求得：而公式里的 p 为半周长（周长的一半）：注 1：“Metrica“( 度量论）手抄本中用 s 作为半周长，所以和两种写法都是可以的，但多用 p 作为半周长。cosC = (a2+b2-c2）/2abS=1/2*ab*sinC=1/2*ab*（1-cos2 C)=1/2*ab*1-(a2+b2-c2）2/4a2*b2=1/4*4a2*b2-(a2+b2-c2）2=1/4*（2ab+a2+b2-c2）（2ab-a2-b2+c2）=1/4*(a+b)2-c2c2-(a-b)2=1/4*(a+b+c

2、)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)设 p=(a+b+c)/2则 p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16=p(p-a)(p-b)(p-c)所以，三角形 ABC 面积 S=p(p-a)(p-b)(p-c)正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（2R 在同一个三角形中是恒量，R 是此三角形外接圆的半径）。变形公式（1）a=2RsinA，b=2RsinB ，c=2RsinC（2）sinA：sinB：sinC=a ：b：c|（3）asi

3、nB=bsinA，asinC=csinA，bsinC=csinB（4）sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R（5）S=1/2bcsinA=1/2acsinB=1/2absinC余弦定理a2=b2+c-2bccosAb2=a2+c2-2accosBc2=a2+b2-2abcosC注：勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况。变形公式cosC=(a2+b2-c2)/2abcosB=(a2+c2-b2)/2accosA=(c2+b2-a2)/2bc海伦-秦九韶公式p=(a+b+c)/2（公式里的 p 为半周长）假设有一个三角形，边长分别为 a、b、c，三角形的面积 S 可由以下公式求

4、得：S=p(p-a)(p-b)(p-c) 高中数学基本不用。已知三条中线求面积方法一：已知三条中线 Ma,Mb,Mc，则 S=(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)/3 ；方法二：已知三边 a，b ，c ；则 S= p(p-a)(p-b)(p-c)；其中：p=(a+b+c)/2 ；b2+c2=a2cosA=0A=90直角b2+c290钝角b2+c2a2cosA0Ab，则 AB 有唯一解；若 ba，且 babsinA 有两解；若 ax 或 yx 无论 a 多大多小可以任意大小 正弦的最大值为 1 最小值为-1三角恒等式对于任意非直角三角形中,如三角

5、形 ABC,总有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证明:已知(A+B)=(-C)所以 tan(A+B)=tan(-C)则(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tan-tanC)/(1+tantanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC类似地,我们同样也可以求证 :当 +=n(nZ)时，总有tan+tan+tan=tantantan编辑本段部分高等内容高等代数中三角函数的指数表示( 由泰勒级数易得)：sinx=e(ix)-e(-ix)/(2i)cosx=e(ix)+e(-ix)/2tanx=e(ix)-e(-ix)/ie(ix)+ie(-ix)泰勒展开有无穷级数，ez=exp(z)|1z/1！z2/2！z3/3！z4/4！zn/n！ 此时三角函数定义域已推广至整个复数集。三角函数作为微分方程的解：对于微分方程组 y=-y;y=y，有通解 Q,可证明Q=Asinx+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数。补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数双曲函数，其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣