全等三角形难题1.doc

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1、|2P BACEM1.如图，已知等边ABC，P 在 AC 延长线上一点，以 PA 为边作等边APE,EC 延长线交 BP于 M，连接 AM,求证：（1）BP=CE； （2）试证明：EM-PM=AM.2、点 C 为线段 AB 上一点， ACM, CBN 都是等边三角形，线段 AN,MC 交于点E，BM,CN 交于点 F。求证：（1）AN=MB.（2）将ACM 绕点 C 按逆时针方向旋转一定角度，如图所示，其他条件不变， （1）中的结论是否依然成立？ （3）AN 与 BM 相交所夹锐角是否发生变化。3.已知，如图所示，在 ABC 和 DE 中， ABC， DAE，BACDE，且点 ， ， 在一条直

2、线上，连接 MN， ， ， 分别为，的中点（1）求证： ； ；NM（2）在图的基础上，将 AE 绕点 按顺时针方向旋转 180，其他条件不变，得到图所示的图形请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立. 4.如图，C 为线段 AE 上一动点（不与点 A，E 重合） ，在 AE 同侧分别作正三角形 ABC 和正三角形 CDE，AD 与 BE 交于点 O，AD 与 BC 交于点 P，BE 与 CD 交于点 Q，连结 PQ以下五个结论： AD=BE； PQAE； AP=BQ； DE=DP； AOB=60 CP=CQ CPQ 为等边三角形共有 2 对全等三角形 CO 平分AOP CO 平分BCDOOFE

3、ABA BNCMMCNFEABC EDOP QCENDABM图CAEMB DN图|恒成立的结论有_（把你认为正确的序号都填上） 5.已知：如图， 是等边三角形，过 边上的点ABC AB作 ，交 于点 ，在 的延长线上取点DG GD，使 ，连接 EE，（1）求证： ； （2）过点 作 ，交 于点 ，请你连接F F，并判断 是怎样的三角形，试证明你的结论A6、如图，以 的边 、 为边分别向外作正方形 和正方形 ，ABC AABDECFG连结 ，试判断 与 面积之间的关系，并说明理由EG EG7、如图所示，已知ABC 和BDE 都是等边三角形，且 A、B、D 三点共线下列结论：AE=CD；BF=BG

4、 ；HB 平分AHD；AHC=60，BFG 是等边三角形；FGAD其中正确的有（ ）A3 个 B4 个 C5 个 D6 个8、在 ABC 中， 2120ABC， ， 将 ABC 绕点 顺时针旋转角 (09)得 1 ， 交 于点 E， 1分别交 、 于 DF、 两点如图 1，观察并猜想，在旋转过程中，线段 与 F有怎样的数量关系？并证明你的结论；ADBECF1 1ADBECF1 19. 如图所示，ABC 是等腰直角三角形，ACB90，AD 是 BC 边上的中线，过 C作 AD 的垂线，交 AB 于点 E，交 AD 于点 F，求证：ADCBDE10.如图 1，四边形 ABCD 是正方形，M 是 A

5、B 延长线上一点。直角三角尺的一条直角边AGFCBDE（图）C G A E D B F A BCDEF|经过点 D，且直角顶点 E 在 AB 边上滑动（点 E 不与点 A，B 重合） ，另一条直角边与CBM的平分线 BF 相交于点 F. 如图 141，当点 E 在 AB 边的中点位置时： 通过测量 DE，EF 的长度，猜想 DE 与 EF 满足的数量关系是 ； 连接点 E 与 AD 边的中点 N，猜想 NE 与 BF 满足的数量关系是 ； 请证明你的上述两猜想. 如图 142，当点 E 在 AB 边上的任意位置时，请你在 AD 边上找到一点 N, 使得 NE=BF，进而猜想此时 DE 与 EF

6、 有怎样的数量关系并证明11、已知 中， 为 边的中点，RtABC 90CD， ， AB90EDF，绕 点旋转，它的两边分别交 、 （或它们的延长线）于 、EDFA当 绕 点旋转到 于 时（如图 1） ，易证DE12DFCABCSS 当 绕 点旋转到 不垂直时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否和成立？若成立，请给予证明；若不成立， 、 、 又有怎样的数量关系？DEFS C AB请写出你的猜想，不需证明12.等边ABC，D 为ABC 外一点，BDC=120，BD=DCMDN=60射线 DM 与直线 AB 相交于点 M，射线 DN 与直线 AC 相交于点 N，当点 M、N 在边 AB

7、、AC 上，且 DM=DN 时，直接写出 BM、NC、MN 之间的数量关系当点 M、N 在边 AB、AC 上，且 DMDN 时，猜想中的结论还成立吗？若成立，请证明当点 M、N 在边 AB、CA 的延长线上时，请画出图形，并写出 BM、NC、MN 之间的数量关系AEC F BD图 1 图 3ADFEC BADBCE图 2F|DCBA13.如图 1，BD 是等腰 的角ABCRt平分线， .90=B（1）求证 BC=AB+AD；（2）如图 2， 于 F， 交延长线于 E，求证：BD =2CE；BDABCE14、已知，如图 1，在四边形 ABCD 中， BC AB， AD=DC， BD 平分 ABC

8、。求证： BAD+ BCD=180。15、如图，四边形 ABCD 中，AC 平分BAD，CEAB 于 E，AD+AB=2AE，则B 与ADC 互补.为什么？DBEAC16、如图 4，在ABC 中，BD=CD，ABD=ACD,求证 AD 平分BAC.AB CDFE图 2|一一一4321PAB COED CBAAB CD17.如图，在ABC 中ABC,ACB 的外角平分线交 P.求证:AP 是BAC 的角平分线18、如图在四边形 ABCD 中，AC 平分BAD，ADC ABC180 度，CEAD 于E，猜想 AD、AE、AB 之间的数量关系，并证明你的猜想，19、如图，已知在ABC 中，B=60，

9、ABC 的角平分线 AD,CE 相交于点 O，求证：OE=OD20如图所示，已知在AEC 中，E=9 0，AD 平分EAC ，DFAC，垂足为 F，DB=DC，求证：BE=CFEBAC图 2DAECDFB|P21D CBA21、如图，OP 是MON 的平分线，请你利用该图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在ABC 中，ACB 是直角，B=60，AD、CE 分别是BAC、BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点 F。请你判断并写出 FE 与 FD 之间的数量关系；（2）如图，在ABC 中，如果ACB 不是直角，而(1)中的其

10、它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。22已知：如图，BFAC 于点 F，CEAB 于点 E，且 BD=CD，求证：（1）BDECDF （2） 点 D 在A 的平分线上23、如图在ABC 中，ABAC，12，P 为 AD 上任意一点，求证;AB-ACPB-PC24、 （2007 年成都）已知：如图，ABC 中，ABC =45，CDAB 于 D， BE 平分ABC，且 BEAC 于 E，与 CD 相交于点 F，H 是 BC 边的中点，连结 DH 与 BE 相交于点 G。(!)求证： BF=AC；(2)求证：CE= 12BF；(3)CE 与 BC

11、 的大小关系如何？试证明你的结论。25、如图，在四边形 ABCD 中，AB=BC，BF 是ABC 的平分线，AFDC，连接AC、CF，求证：CA 是DCF 的平分线。O PAMNEBCDFA CEFBD图 图 图 DA CBFEFD AC B|图 3MN KEDCBA图 2MN KDCBA图 1MKN CBA26、数学课上，张老师出示了问题：如图 1，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是边 BC 的中点 ，且 EF 交正方形外角 的平分线 CF 于点 F，求证：AE=EF90AEF DCG经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取 AB 的中点 M，连接 ME，则AM=EC，易证 ，所以 M

12、EF AEF在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图 2，如果把“点 E 是边 BC 的中点”改为“点 E 是边 BC 上（除B，C 外）的任意一点” ，其它条件不变，那么结论 “AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图 3，点 E 是 BC 的延长线上（除 C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由A DFC GEB图 1A DFC GEB图 2A DFC GEB图 327.ABC 中，BAC=60，C=40，AP

13、 平分BAC 交 BC 于 P，BQ 平分ABC 交 AC 于 Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。28.问题背景，如下命题： 如图 1,在正三角形 ABC 中,N 为 BC 边上任一点,CM 为正三角形外角 ACK 的平分线,若ANM=60,则 AN=NM 如图 2,在正方形 ABCD 中,N 为 BC 边上任一点，CM 为正方形外角DCK 的平分线，若ANM=90，则 AN=NM 如图 3,在正五边形 ABCDE 中,N 为 BC 边上任一点,CM 为正五边形外角DCK 的平分线,若ANM=108,则 AN=NM|任务要求： 请你证明以上三个命题； 请你继续完成下面的探索： 如图 4,在正

14、（ 3）边形 ABCDEF中,N 为 BC 边上任一点,CM 为正 边形外角n nDCK 的平分线,问当ANM 等于多少度时,结论 AN=NM 成立（不要求证明）. 如图 5,在梯形 ABCD 中,ADBC,AB=BC=CD,N 为 BC 延长线上一点,CM 为DCN 的平分线,若ANM= ABC,请问 AN=NM 是否还成立？若成立 ,请给予证明；若不成立,请说明理由.图 5MNDCBA图 4N KF EDCBA29.（1）如图，已知在正方形 ABCD 中，M 是 AB 的中点，E 是 AB 延长线上一点，MNDM 且交CBE 的平分线于 N试判定线段 MD 与 MN 的大小关系；（2）若将

15、上述条件中的“M 是 AB 的中点”改为“M 是 AB 上或 AB 延长线上任意一点” ，其余条件不变试问（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由30.如图，在ABC 中，A=90，D 是 AC 上的一点，BD=DC，P 是 BC 上的任一点，PEBD，PF AC，E、F 为垂足求证：PE+PF=AB31.如图，已知ABC 中，AB=AC=6cm，B=C ，BC=4cm，点 D 为 AB 的中点（1）如果点 P 在线段 BC 上以 1cm/s 的速度由点 B 向点 C 运动，同时，点 Q 在线段 CA上由点 C 向点 A 运动若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等

16、，经过 1 秒后，BPD 与CQP 是否全等，请说明理由；|若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时，能够使BPD 与 CQP 全等？（2）若点 Q 以中的运动速度从点 C 出发，点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发，都逆时针沿ABC 三边运动，则经过 后，点 P 与点 Q 第一次在ABC 的 边上相遇？（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）32.已知：在ABC 中，ACB 为锐角，点 D 为射线 BC 上一动点，连接 AD，以 AD 为一边且在 AD 的左侧作等腰直角ADE，解答下列各题：如果 AB=AC，BAC=90 （i）当点 D 在线段 B

17、C 上时（与点 B 不重合） ，如图甲，线段 BD，CE 之间的位置关系为（ii）当点 D 在线段 BC 的延长线上时，如图乙， i）中的结论是否还成立？为什么？33.（2012内江）已知ABC 为等边三角形，点 D 为直线 BC 上的一动点（点 D 不与B、C 重合） ，以 AD 为边作菱形 ADEF（A 、D 、E、F 按逆时针排列） ，使DAF=60，连接 CF（1）如图 1，当点 D 在边 BC 上时，求证：BD=CF； AC=CF+CD ；（2）如图 2，当点 D 在边 BC 的延长线上且其他条件不变时，结论 AC=CF+CD 是否成立？若不成立，请写出 AC、CF、CD 之间存在的

18、数量关系，并说明理由；（3）如图 3，当点 D 在边 BC 的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD 之间存在的数量关系|34.在ABC 中，ADBC, BEAC, D、E 为垂足，AD与 BE 交与点 H，BD=AD求证：BH=AC BEAD 35.如图 14-1，在ABC 中，BC 边在直线 l 上，ACBC ，且 AC = BCEFP的边 FP 也在直线 l 上，边 EF 与边 AC 重合，且 EF=FP （1）在图 14-1 中，请你通过观察、测量，猜 想 并 写 出 AB 与 AP 所满 足 的 数 量 关 系 和 位 置 关 系 ；（2）将 EFP 沿 直

19、线 l 向 左 平 移 到 图 14-2 的 位 置 时 ， EP 交 AC 于 点 Q， 连 结AP， BQ 猜想并 写 出 BQ 与 AP 所满 足 的 数 量 关 系 和 位 置 关 系 ，请证明你的猜想；（3）将 EFP 沿 直 线 l 向 左 平 移 到 图 14-3 的 位 置 时 ， EP 的 延 长 线 交 AC的 延 长 线 于 点 Q，连结 AP，BQ你认为（2）中所猜想的 BQ 与 AP 的 数 量 关系 和 位 置 关 系 还 成 立 吗 ？ 若 成 立 ， 给 出 证 明 ； 若 不 成 立 ， 请说明理由36.如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E、F 分别为边

20、BC、CD 的中点，AF、DE 相交于点 G，则可得结论：AF=DE；AFDE.(不需要证明)(1)如图 2，若点 E、F 不是正方形 ABCD 的边 BC、CD 的中点，但满足 CE=DF.则上面的结论、是否仍然成立？(请直接回答“成立”或“不成立”)(2)如图 3，若点 E、F 分别在正方形 ABCD 的边 CB 的延长线和 DC 的延长线上，且 CE=DF，此时上面的结论、是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.图 14-1 （ E） （ F） B C P A l l P A E B C Q F 图 14-2 l B P A 图 14-3 E F Q C D CBAEH