全等三角形拓展题--尖子生专用.doc

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1、|全等三角形综合应用知识点：1、 全等三角形的判定方法：2、 角平分线的性质与判定：例题讲解2016 武汉江汉区压轴题 （本题 12 分）ABC 是等腰三角形，ABAC，AD 是ABC 的中线，以 AC 为边作等边ACE，BE 分别与直线 AD、AC 交于点 F、G，连接 CF(1) 如图 1，若 ABC、ACE 位于 AC 异侧，求EFC 的度数 试判断线段 EF、DF、AF 之间的数量关系，并说明理由(2) 若ABC、ACE 位于 AC 同侧，试完成备用图，并直接写出线段 EF、DF、AF 之间的数量关系解：(1) ABAE ，设ABEAEBAB AC，AD 是ABC 的中线设BADCAD

2、又 2260180，60 AFEDFC60EFC180606060 过点 C 作 CHBE 于 HAEBAEC60， ABEBAD 60BADHEC可证：ABDEHC（AAS）HEAD易证：CFHCFD（AAS）FHDFEFFHAFDF即 EFAF2DF(3) 作图、证明的过程一样AFEF2DF2016 武珞路中学 （本题 10 分）已知等边三角形 ABC，M 为 AB 上的一点，以 CM 为边作等边CMN，连接 BN|(1) 求证：AMBN(2) 作 MHBC 于 H，连接 AH若 AHMN，AM1，求 CH 的长证明：(1) ACMBCN （SAS）(2) 由(1)知：ACM BCNCBN

3、 MAC60MBN6060120过点 M 作 MDBC 交 AC 于 DAMD 为等边三角形AMADBN，ADM60BMCD，MDC120在BMN 和DCM 中DMBNCBMNDCM（SAS）BMNDCMAHMNBMNBAH DCM在BAH 和ACM 中ACMBHBAHACM （ASA）BHAM 1BMHCMH BC，MBH 60BM2BH2CH22016 武珞路中学 （本题 10 分）如图 1，已知等腰ABC 中，ABAC ，AD 为 BC 边上的中线，以 AB 为边向外作等边 ABE ，直线 CE 与直线 AD 交于点 F(1) 若 AF10，DF3，试求 EF 的长|(2) 若以 AB

4、为边向内作等边ABE，其它条件均不改变，请用尺规作图补全图 2（保留作图痕迹） ，找出 EF、 AF、DF 三者的数量关系，并证明你的结论解：(1) 设BAD CAD ，AECACE 在ACE 中，2 602 180 ， 60连接 BFBFDCFD60BFCF 2DF 6在 EC 上截取 EGCF，连接 AGAEGACF （SAS）EAGCAF ，AGAFGAF60AFG 为等边三角形EFEGGFAFFC 10616(2) 尺规作图：先作 AB 的垂直平分线，再利用半径得到等边设BADCAD ，ACEAEC CAE1802 BAE2 1802 60， 60BADBEF在 AF 上截取 AGEF

5、，连接 BG可知：ABGEBF（SAS）AGEF ，BGBFBFG 为等边三角形AFAG GFBFEF 2DFEF武汉二中广雅中学 2016 （本题 12 分）在ABC 中，ABAC，BAC（0 60） ，以线段BC 为边在ABC 内作等边DBC(1) 如图 1，ABD_（用含 的式子表示）(2) 如图 2，BCE150 ，ABE60 ，判断ABE 的形状并加以证明(3) 在(2)的条件下，连接 DE，若DEC 45 ，求 的值|例 1、 （1 ）在ABC 中，B=C，与ABC 全等的三角形有一个角是 130，那么ABC中与这个角对应的角是（ ）A、A B、B C、 C D、B 或C（2 ）如

6、图 1，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他根据所学知识，画出了一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ）A、SSS B、SAS C、AAS D、ASA（3 ） 如图 2，AD 平分BAC，BF AD 于 D，交 AC 于 F， DEAC，BAD=30，则 BDE=_例 2、如图 3，OM 平分 AOB，AO=OB，AD 与 BC 相交于 M。求证：AC=BD例 3、如图 4，在ABC 中， B=C，D、E、F 分别在 AB、BC、AC 上，且 BD=CE，DEF=B 。求证：ED=EF|例 4、如图 5，ABC 中，AB=AC，点 D、E、F 分别在 BC、AB

7、、AC 上，且BD=CF， BE=CD，G 是 EF 的中点。求证：DGEF例 5、如图 6，ABC=90，AB=BC，D 为 AC 上一点，分别过 C、A 作 BD 的垂线，垂足分别为 E、F求证：EF=CE-AF 例 6、如图 7，P 为AOB 平分线上一点，PCOA 于 C，OAP+OBP=180，若OC=4cm。求 OA+OB 的值。例 7、如图 8，ADBC，1=2，3=4，点 E 在线段 DC 上。求证：AD+BC=AB例 8、如图 9，1=2，P 为 BN 上一点，且 PDBC 于 D，AB+BC=2BD 。求证：BPA+BCP=180|巩固：1、如图，点 P 为AEF 外一点，

8、 PA 平分EAF ，PDEF 于 D，DE=DF，PBAE 于 B。求证：AF-AB=BE2、如图，在四边形 ABCD 中， AB=AD，CA 平分BCD ，AEBC 于 E，AFCD 交 CD 延长线于 F求证：BE=DF 3、如图，CA=CB ，CD=CE，ACB= DCE= ，AD、BE 交于点 H，连 CH。（1 ） 求证：ACDBCE ；（2 ） 求证：CH 平分AHE；（3 ）求CHE 的度数（用含 的式子表示）4、如图（1 ） ，在ABC 中， BAC=90 ，AB=AC，AE 是过点 A 的一条直线，且点 B、C 在AE 的异侧，BDAE 于 D，CEAE 于 E（1 ）试说

9、明：BD=DE+CE（2 ）若直线 AE 绕 A 点旋转到图（2）位置时（BD CE） ，其余条件不变，问 BD 与DE、CE 的关系如何？请直接写出结果；（3 ）若直线 AE 绕 A 点旋转到图（3）位置时（BD CE） ，其余条件不变，问 BD 与DE、CE 的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由|5、如图，在ABC 和ADE 中，AB=AC，AD=AE，BAC=DAE=90（1 ）当点 D 在 AC 上时，如图 1，线段 BD、CE 有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论；（2 ）将图 1 中的ADE 绕点 A 顺时针旋转 角（090 ） ，如图 2，线段 BD、CE有怎样的

10、数量关系和位置关系？请说明理由6、 如图，在平面直角坐标系中，点 B 的坐标为（2 ，2） ，点 A 为 y 轴正半轴上一动点，过B 点作BC AB 交 x 轴的正半轴于点 C。（1 ） 求证：BA=BC ；（2 ） 当点 A 运动时，OA+OC 的值是否发生变化，若不变，求其值；若发生变化，求变化范围7、 已知四边形 ABCD 中，AB=BC，ABC=120，MBN=60，MBN 绕 B 点旋转，它的两边分别交 AD，DC（或它们的延长线）于 E，F（1 ）当MBN 绕 B 点旋转到 AE=CF 时（如图 1） ，求证 AE+CF=EF；（2 ）当MBN 绕 B 点旋转到 AECF 时，在图

11、 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段 AE，CF，EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并证明|8、已知：如图，ABC 中，ABC=45，CD AB 于 D，BE 平分ABC，且 BEAC 于 E，与 CD 相交于点 F，H 是 BC 边的中点，连接 DH 与 BE 相交于点 G（1 ）求证：BF=AC；（2 ）求证：CE= BF；21（3 ）若把题目中“BE 平分ABC”改为“BE 平分线段 DC”，其他条件不变，连接 HF求证：HF=AD9、直线 CD 经过BCA 的顶点 C，CA=CB E、F 分别是直线 CD 上两点，且BEC=CFA=

12、 （1 ）若直线 CD 经过BCA 的内部，且 E、F 在射线 CD 上，请解决下面两个问题：如图 1，若BCA=90 ，=90，则 EF_ |BE-AF|（填“” ， “”或“=”号） ；如图 2，若 0BCA180，若使中的结论仍然成立，则 与BCA 应满足的关系是_ ；（2 ）如图 3，若直线 CD 经过BCA 的外部，=BCA，请探究 EF、与 BE、AF 三条线段的数量关系，并给予证明第十一讲：全等三角形综合二知识点：1、全等三角形的判定及性质：2、角平分线的性质与判定：3、常用辅助线：例题讲解例 1、如图，在 RtABC 中，ACB=90，CDAB 于 D，AE 平分BAC，交 C

13、D 于 K，交 BC于 E，F 是 BE 上一点，且 BF=CE，求证：FKAB|例 2、如图 1，ABC 中，BAC=90，BA=AC，（1）D 为 AC 的中点，连 BD，过 A 点作 AEBD 于 E 点，交 BC 于 F 点，连 DF，求证：ADB=CDF（2）若 D，M 为 AC 上的三等分点，如图 2，连 BD，过 A 作 AEBD 于点 E，交 BC 于点 F，连 MF，判断ADB 与CMF 的大小关系并证明例 3、如图，在ABC 中，C=90，M 为 AB 的中点，DMAB，CD 平分ACB ，求证：MD=AM例 4、在ABC 中，ACB 为锐角，动点 D（异于点 B）在射线

14、BC 上，连接 AD，以 AD 为边在 AD 的右侧作正方形 ADEF，连接 CF（1 ）若 AB=AC，BAC=90 那么如图一，当点 D 在线段 BC 上时，线段 CF 与 BD 之间的位置、大小关系是_ （直接写出结论）如图二，当点 D 在线段 BC 的延长上时，中的结论是否仍然成立？请说明理由（2 ）若 ABAC ，BAC90点 D 在线段 BC 上，那么当ACB 等于多少度时？线段 CF与 BD 之间的位置关系仍然成立请画出相应图形，并说明理由|例 5、如图所示，已知 A， B 为直线 l 上两点，点 C 为直线 l 上方一动点，连接AC、BC，分别以 AC、BC 为直角边向ABC

15、外作等腰直角CAD 和等腰直角CBE，满足CAD=CBE=90，过点 D 作 DD1l 于点 D1，过点 E 作 EE1l 于点 E1（1）如图，当点 E 恰好在直线 l 上时，试说明 DD1=AB；（2）在图中，当 D，E 两点都在直线 l 的上方时，试探求三条线段 DD1，EE 1，AB 之间的数量关系，并说明理由例 6、如图 1，已知点 A（a，0） ，点 B（0，b） ，且 a、b 满足 04ba（1 ）求 A、B 两点的坐标；（2 ）若点 C 是第一象限内一点，且OCB=45，过点 A 作 ADOC 于点 F，求证：FA=FC；（3 ）如图 2，若点 D 的坐标为（0 ，1） ，过点 A 作 AEAD，且 AE=AD，连接 BE 交 x 轴于点 G，求 G 点的坐标巩固：1、如图，已知BAC=90 ，ADBC 于点 D，1=2，EFBC 交 AC 于点 F试说明AE=CF