2011届高考数学复习6年高考4年模拟汇编试题3-_空间几何体的结构、三视图和直观图、表面积和体积.doc

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1、第八章 立体几何第一节 空间几何体的结构、三视图和直观图、表面积和体积第一部分 六年高考荟萃2010年高考题一、选择题1.（2010全国卷2理）（9）已知正四棱锥中，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（A）1 （B） （C）2 （D）3【答案】C【命题意图】本试题主要考察椎体的体积，考察告辞函数的最值问题.【解析】设底面边长为a，则高所以体积，设，则，当y取最值时，解得a=0或a=4时，体积最大，此时，故选C.2.（2010陕西文） 8.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是B（A）2（B）1（C）（D）【答案】 B解析：本题考查立体图形三视图及体积公式如图，该立体图形为直三棱柱所

2、以其体积为3.（2010辽宁文）（11）已知是球表面上的点，则球的表面积等于（A）4 （B）3 （C）2 （D）【答案】A【解析】选A.由已知，球的直径为，表面积为4.（2010安徽文）（9）一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是（A）372 （B）360 （C）292 （D）280【答案】B【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。.【方法技巧】把三视图转化为直观图是解决问题的关键.又三视图很容易知道是两个长方体的组合体，画出直观图，得出各个棱的长度.把几何体的表面积转化为下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。5.（201

3、0重庆文）（9）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点（A）只有1个 （B）恰有3个（C）恰有4个 （D）有无穷多个【答案】 D【解析】放在正方体中研究,显然，线段、EF、FG、GH、HE的中点到两垂直异面直线AB、CD的距离都相等， 所以排除A、B、C，选D亦可在四条侧棱上找到四个点到两垂直异面直线AB、CD的距离相等6.（2010浙江文）（8）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是（A）cm3 （B）cm3（C）cm3 （D）cm3【答案】B【解析】选B，本题主要考察了对三视图所表达示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算，属容易题7.（2010北京文）（8）如图，正方

4、体的棱长为2，动点E、F在棱上。点Q是CD的中点，动点P在棱AD上，若EF=1，DP=x，E=y(x,y大于零)，则三棱锥P-EFQ的体积：（A）与x，y都有关； （B）与x，y都无关；（C）与x有关，与y无关； （D）与y有关，与x无关；【答案】 C8.（2010北京文）（5）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该集合体的俯视图为： 答案：C9.（2010北京理）(8)如图，正方体ABCD-的棱长为2，动点E、F在棱上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF=1，E=x，DQ=y，D（，大于零），则四面体PE的体积（）与，都有关（）与有关，与，

5、无关（）与有关，与，无关（）与有关，与，无关【答案】D10.（2010北京理）（3）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为 【答案】 C11.（2010广东理）6.如图1， ABC为三角形，/, 平面ABC且3= =AB,则多面体ABC -的正视图（也称主视图）是【答案】D12.（2010广东文）13.（2010福建文）3若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积等于 ( )A B2 C D6【答案】D【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为，侧面积为，选D【命题意图】本题考查立体几

6、何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力。14.（2010全国卷1文）（12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为(A) (B) (C) (D) 【答案】B【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.【解析】过CD作平面PCD，使AB平面PCD,交AB与P,设点P到CD的距离为,则有,当直径通过AB与CD的中点时,故二、填空题1.（2010上海文）6.已知四棱椎的底面是边长为6 的正方形，侧棱底面，且，则该四棱椎的体积是 。【答案】96【解

7、析】考查棱锥体积公式2.（2010湖南文）13.图2中的三个直角三角形是一个体积为20cm2的几何体的三视图，则h= cm【答案】4 3.（2010浙江理）（12）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是_.解析：图为一四棱台和长方体的组合体的三视图，由卷中所给公式计算得体积为144，本题主要考察了对三视图所表达示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算，属容易题4.（2010辽宁文）（16）如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为 .解析：填画出直观图：图中四棱锥即是，所以最长的一条棱的长为5.（2010辽宁理）（

8、15）如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为_.【答案】【命题立意】本题考查了三视图视角下多面体棱长的最值问题，考查了同学们的识图能力以及由三视图还原物体的能力。【解析】由三视图可知，此多面体是一个底面边长为2的正方形且有一条长为2的侧棱垂直于底面的四棱锥，所以最长棱长为6.（2010天津文）（12）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 。【答案】3【解析】本题主要考查三视图的基础知识，和主题体积的计算，属于容易题。由俯视图可知该几何体的底面为直角梯形，则正视图和俯视图可知该几何体的高为1，结合三个试图可知该几何体是底面

9、为直角梯形的直四棱柱，所以该几何题的体积为【温馨提示】正视图和侧视图的高是几何体的高，由俯视图可以确定几何体底面的形状，本题也可以将几何体看作是底面是长为3，宽为2，高为1的长方体的一半。7.（2010天津理）（12）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 【答案】【解析】本题主要考查三视图的概念与柱体、椎体体积的计算，属于容易题。由三视图可知，该几何体为一个底面边长为1，高为2的正四棱柱与一个底面边长为2，高为1的正四棱锥组成的组合体，因为正巳灵珠的体积为2，正四棱锥的体积为，所以该几何体的体积V=2+ = 【温馨提示】利用俯视图可以看出几何体底面的形状，结合正视图与侧视图便可得到

10、几何体的形状，求锥体体积时不要丢掉哦。三、解答题1.（2010上海文）20.（本大题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.(1)当圆柱底面半径取何值时，取得最大值？并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）;(2)若要制作一个如图放置的，底面半径为0.3米的灯笼，请作出用于灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）. 解析：(1) 设圆柱形灯笼的母线长为l，则l=1.2-2r(0r0.6)，S=-3p(r-0.4)2+0.48p

11、，所以当r=0.4时，S取得最大值约为1.51平方米；(2) 当r=0.3时，l=0.6，作三视图略2.（2010陕西文）18.(本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形PA平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB,PC的中点.()证明：EF平面PAD；()求三棱锥EABC的体积V.解()在PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，EFBC.又BCAD,EFAD,又AD平面PAD,EF平面PAD,EF平面PAD.()连接AE,AC,EC,过E作EGPA交AB于点G,则BG平面ABCD,且EG=PA.在PAB中，AD=AB,PAB,BP=2,AP=AB=,

12、EG=.SABC=ABBC=2=,VE-ABC=SABCEG=.3.（2010安徽文）19.(本小题满分13分)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EFAB,EFFB,BFC=90，BF=FC,H为BC的中点，()求证：FH平面EDB;（）求证：AC平面EDB; （）求四面体BDEF的体积；【命题意图】本题考查空间线面平行、线面垂直、面面垂直的判断与证明，考查体积的计算等基础知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力.【解题指导】（1）设底面对角线交点为G，则可以通过证明EGFH，得平面；（2）利用线线、线面的平行与垂直关系，证明FH平面ABCD，得

13、FHBC，FHAC，进而得EGAC，平面；（3）证明BF平面CDEF，得BF为四面体B-DEF的高，进而求体积.【规律总结】本题是典型的空间几何问题，图形不是规则的空间几何体，所求的结论是线面平行与垂直以及体积，考查平行关系的判断与性质.解决这类问题，通常利用线线平行证明线面平行，利用线线垂直证明线面垂直，通过求高和底面积求四面体体积. 4.（2010四川理）（18）（本小题满分12分）已知正方体ABCDABCD的棱长为1，点M是棱AA的中点，点O是对角线BD的中点.（）求证：OM为异面直线AA和BD的公垂线；（）求二面角MBCB的大小；（）求三棱锥MOBC的体积. 本小题主要考查异面直线、直

14、线与平面垂直、二面角、正方体、三棱锥体积等基础知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力。解法一：（1）连结AC，取AC中点K，则K为BD的中点，连结OK因为M是棱AA的中点，点O是BD的中点所以AM所以MO由AAAK，得MOAA因为AKBD,AKBB，所以AK平面BDDB所以AKBD所以MOBD又因为OM是异面直线AA和BD都相交故OM为异面直线AA和BD的公垂线（2）取BB中点N，连结MN，则MN平面BCCB过点N作NHBC于H，连结MH则由三垂线定理得BCMH从而,MHN为二面角M-BC-B的平面角MN=1,NH=Bnsin45=在RtMNH中，tanMH

15、N=故二面角M-BC-B的大小为arctan2(3)易知，SOBC=SOAD，且OBC和OAD都在平面BCDA内点O到平面MAD距离hVM-OBC=VM-OAD=VO-MAD=SMADh=解法二：以点D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D-xyz则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A(1,0,1),C(0,1,1),D(0,0,1)(1)因为点M是棱AA的中点,点O是BD的中点所以M(1,0, ),O(,),=(0,0,1),=(-1,-1,1) =0, +0=0所以OMAA,OMBD又因为OM与异面直线AA和BD都相交故OM为异面直线AA和BD的公垂线.4分(2)设平

16、面BMC的一个法向量为=(x,y,z)=(0,-1,), (1,0,1) 即取z2,则x2,y1，从而=(2,1,2) 取平面BCB的一个法向量为(0,1,0)cos由图可知，二面角M-BC-B的平面角为锐角故二面角M-BC-B的大小为arccos9分(3)易知，SOBCSBCDA设平面OBC的一个法向量为(x1,y1,z1) (1,1,1), (1,0,0) 即取z11,得y11，从而(0,1,1)点M到平面OBC的距离dVMOBC12分2009年高考题一、选择题1. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).2 2 侧(左)视图 2 2 2 正(主)视图 A. B. C. D

17、. 【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,俯视图 圆柱的底面半径为1,高为2,体积为,四棱锥的底面边长为，高为，所以体积为所以该几何体的体积为.答案:C【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力,由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地计算出.几何体的体积.2.一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：c）为（A）48+12 （B）48+24 （C）36+12 （D）36+243.正六棱锥P-ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D-GAC与三棱锥P-GAC体积之比为（A）1：1 (B) 1：2 (C) 2：1 (D) 3：24.在区间-1，1上随机取一个数x，的值介

18、于0到之间的概率为( ).A. B. C. D. 【解析】:在区间-1，1上随机取一个数x,即时, 区间长度为1, 而的值介于0到之间的区间长度为,所以概率为.故选C答案 C【命题立意】:本题考查了三角函数的值域和几何概型问题,由自变量x的取值范围,得到函数值的范围,再由长度型几何概型求得.5. 如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为。则该集合体的俯视图可以是答案: C6.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现有沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“”的面的方位是A. 南 B. 北 C. 西 D. 下解：展、

19、折问题。易判断选B7.如图，在半径为3的球面上有三点， 球心到平面的距离是，则两点的球面距离是A. B. C. D. 答案 B8若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为 A. B. C. D. 答案 C9，如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是（ ）答案 B二、填空题10.图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则a=_答案 11.如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则_12若某几何体的三视图（单位：）如图所示，则此几何体的体积是 答案 18【解析】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为，上

20、面的长方体体积为，因此其几何体的体积为1813.设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）。 则该几何体的体积为 答案答案 414. 直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于 。 解:在中,可得,由正弦定理,可得外接圆半径r=2,设此圆圆心为，球心为，在中，易得球半径，故此球的表面积为. 15正三棱柱内接于半径为的球，若两点的球面距离为，则正三棱柱的体积为 答案 816体积为的一个正方体，其全面积与球的表面积相等，则球的体积等于 答案 17如图球O的半径为2，圆是一小圆，A、B 是圆上两点，若A，B两点间的球面距离为，则= .答案 18.已知三个球的半径，满足，则它们的表面积

21、，满足的等量关系是_. 答案 19.若球O1、O2表示面积之比，则它们的半径之比=_.答案 2三、解答题20（本小题满分13分） 某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示。墩的上半部分是正四棱锥，下半部分是长方体。图5、图6分别是该标识墩的正（主）视图和俯视图。（1）请画出该安全标识墩的侧（左）视图； （2）求该安全标识墩的体积；（3）证明：直线平面. 【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.（）该安全标识墩的体积为： （）如图,连结EG,HF及 BD，EG与HF相交于O,连结PO. 由正四棱锥的性质可知,平面EFGH , 又 平面PEG 又 平面PEG； 20052008年高考题一、选

22、择题1.(2008广东）将正三棱柱截去三个角（如图1所示分别是三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）EFDIAHGBCEFDABC侧视图1图2BEABEBBECBED答案 A2.（2008海南、宁夏理）某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为（ ）A B C D答案 C【解析】结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算。如图设长方体的高宽高分别为，由题意得，所以，当且仅当时取等号。3.（2008山东）下图是一个几何体的三视图，根据图中数

23、据，可得该几何体的表面积是A.9 B.10C.11 D12答案 D【解析】考查三视图与几何体的表面积。从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面及为3. (2007宁夏理8) 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（ ）102010202020俯视图侧视图正视图 答案B4. （2007陕西理6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）A B C D 答案B5.（2006安徽）表面积为 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为A B C D答案 A【解

24、析】此正八面体是每个面的边长均为的正三角形，所以由知，则此球的直径为，故选A。6.（2006福建）已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于（ ）A.2 B. C. D.答案 D【解析】正方体外接球的体积是，则外接球的半径R=2，正方体的对角线的长为4，棱长等于，选D.7.（ 2006湖南卷）过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60则该截面的面积是 ( ) A B.2 C.3 D.答案 A【解析】过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60，则截面圆的半径是R=1，该截面的面积是，选A.8.（2006山东卷）正方体的内切球与其外接球的

25、体积之比为 ( )A. 1 B. 13 C. 13 D. 19答案 C【解析】设正方体的棱长为a，则它的内切球的半径为，它的外接球的半径为，故所求的比为13，选C.9.（2005全国卷）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为，则球的表面积为 ( )A. B. C. D.答案B10.（2005全国卷）如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且均为正三角形，EFAB，EF=2，则该多面体的体积为 ( ) A. B.C. D.二、填空题11.（2008海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边 形，其侧棱垂直底面已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周

26、长为3，则这个球的体积为答案 【解析】令球的半径为，六棱柱的底面边长为，高为，显然有，且.12.（2008海南、宁夏文）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3，那么这个球的体积为_答案 【解析】正六边形周长为，得边长为，故其主对角线为，从而球的直径 球的体积.13. （2007天津理12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为答案 14.（2007全国理15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm的球面上。如果正四棱柱的底面边长为1 cm，那么该棱柱的表面积为

27、cm2.答案 ABCPDEF15.（2006辽宁）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥，则此正六棱锥的侧面积是_答案 【解析】显然正六棱锥的底面的外接圆是球的一个大圆，于是可求得底面边长为2，又正六棱锥的高依题意可得为2，依此可求得.第二部分 四年联考汇编2010年联考题题组二（5月份更新）1（池州市七校元旦调研）在三棱柱中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是 ( )A B C D答案 C解析：取BC的中点E，则面，因此与平面所成角即为，设，即有2. (安徽六校联考)如图是一个简单的组合体的直观图与三视图.下面是一个棱长为4的正方体，正上面放一个球，且球的一部

28、分嵌入正方体中，则球的半径是( )A. B. C. D.答案B3如图，动点在正方体的对角线上过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于设，则函数的图象大致是（ ）ABCDMNPA1B1C1D1yxAOyxBOyxCOyxDO 答案：B4. （三明市三校联考）已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 答案2/35.（昆明一中三次月考理）四面体ABCD中，共顶点A的三条棱两两相互垂直，且其长分别为，若四面体的四个顶点同在一个球面上，则这个球的表面积为。答案：6（池州市七校元旦调研）若某几何体的三视图（单位：）如图所示，则此几何体的体积是 答案 18【解析】该几何体是由二个长方体组成，下面

29、体积为，上面的长方体体积为，因此其几何体的体积为18俯视图正视图侧视图7.（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）一个几何体的三视图如图所示：其中，主视图中大三角形的边长是2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体几的体积为 .答案主视图俯视图左视图8（安庆市四校元旦联考）（本题满分14分） 如图，在四棱锥中，ABCD是矩形，点是的中点，点在上移动。求三棱锥体积；当点为的中点时，试判断与平面的关系，并说明理由；求证：。解：（1）， （2）当点为的中点时，。理由如下：点分别为、PD的中点，。， （3）， ， ， ，点是的中点 又 9. （哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）如图，在三

30、棱柱中，已知学，网，侧面，（1）求直线C1B与底面ABC所成角正切值；（2）在棱（不包含端点上确定一点的位置,使得(要求说明理由).（3）在（2）的条件下,若，求二面角的大小.解：（1）在直三棱柱中， 在平面上的射影为. 为直线与底面所成角. ， 即直线与底面所成角正切值为2. （2）当E为中点时，. ，即 又， ， （3）取的中点，的中点，则，且，连结，设，连结，则，且为二面角的平面角. ， 二面角的大小为45 题组一（1月份更新）一、选择题1.（2009滨州一模）设、是两个不同的平面，为两条不同的直线，命题p：若平面，则；命题q：，则，则下列命题为真命题的是 （ ）Ap或qBp且qCp或q

31、Dp且q答案C2.（2009玉溪市民族中学第四次月考）若球O的半径为1，点A、B、C在球面上，它们任意两点的球面距离都等于则过A、B、C的小圆面积与球表面积之比为 （ ）A B C D答案 C3.（2009聊城一模）某个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）ABCD答案B4.（2009临沂一模）一个几何体的三视图及长度数据如图， 则该几何体的表面积与体积分别为A、 B、 C、 D、答案C5.（2009青岛一模）如右图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为的正三角形,其俯视图轮廓为正方形，则其体积是A B. C D. 答案C俯视图正(主)视图侧(左)视图23226.（2

32、009上海闸北区）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）A BC D答案C7.（2009泰安一模）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的 体积等于 (A) 4 (B) 6 (C) 8 (D)12答案A8.（2009枣庄一模）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）ABCD以上都不对答案C9.（2009番禺一模）一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图中ABC是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为（ ）A12 B C D6答案 C二、填空题理第11题1.（2009上海八校联考）已知一个球的球心到过球面上A、B、

33、C三点的截面的距离等于此球半径的一半，若，则球的体积为_。答案 2.（2009上海青浦区）如图，用一平面去截球所得截面的面积为cm2，已知球心到该截面的距离为1 cm，则该球的体积是 cm3.答案 AOCB第19题图三、解答题1.（2009上海普陀区）已知复数，（是虚数单位），且.当实数时，试用列举法表示满足条件的的取值集合.解：如图，设中点为，联结、.由题意，,所以为等边三角形，故，且.AOCB第19题图D又，所以.而圆锥体的底面圆面积为,所以圆锥体体积.2.（2009上海奉贤区模拟考）在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC=90, AB=BC=1. (1)求异面直线B1C1与AC所成角的

34、大小；(2)若直线A1C与平面ABC所成角为45, 求三棱锥A1-ABC的体积. （1）因为，所以BCA（或其补角）即为异面直线与所成角 -(3分)ABC=90, AB=BC=1，所以， -(2分)即异面直线与所成角大小为。 -(1分)（2）直三棱柱ABC-A1B1C1中，所以即为直线A1C与平面ABC所成角，所以。 -(2分)中，AB=BC=1得到，中，得到， -(2分)所以 -(2分)3.（2009冠龙高级中学3月月考）在棱长为2的正方体中，（如图）ABCDA1B1C1FED1是棱的中点，是侧面的中心（1） 求三棱锥的体积；求与底面所成的角的大小（结果用反三角函数表示）（1） （2）取的中

35、点，所求的角的大小等于的大小， 中，所以与底面所成的角的大小是4. (2009闸北区) 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为的中点（）求四棱锥的体积；（）求异面直线OB与MD所成角的大小解：（）由已知可求得，正方形的面积，2分所以，求棱锥的体积 4分（）方法一（综合法）设线段的中点为，连接，则为异面直线OC与所成的角（或其补角） .1分由已知，可得，为直角三角形 .2分， .4分所以，异面直线OC与MD所成角的大小 .1分方法二(向量法)以AB,AD,AO所在直线为轴建立坐标系，则, 2分， .2分 设异面直线OC与MD所成角为，3分 OC与MD所成角的大小为1分5、（2009东莞一模

36、）如图，在长方体，点E在棱AB上移动，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1，所爬的最短路程为. （1）求证：D1EA1D； （2）求AB的长度； （3）在线段AB上是否存在点E，使得二面角。若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由.解一：（1）证明：连结AD1，由长方体的性质可知：AE平面AD1，AD1是ED1在平面AD1内的射影。又AD=AA1=1， AD1A1D D1EA1D1（三垂线定理） 4分（2）设AB=x，四边形ADD1A是正方形，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1可能有两种途径，如图甲的最短路程为如图乙的最短路程为 9分（3）假设存在，平面DEC的法向量，设平面D1EC的法向量，则 12分由题意得：解得：（舍去）14分2009年联考题一、 选择题1.（2009