函数及其图象综合题选讲（二）.doc

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1、第十三章 函数及其图象综合题选讲（二）一、选择题：（共3题，每题3分） y o x y o x y o x y o x1、二次函数中，p0，q0，q0，可以推得方程=0有实数根，且为两异号实根，其中负根的绝对值较大。这些信息反映到图象上的条件就是：图象开口向上；图象与x有两个交点，且两个交点在原点异侧，左边的交点离原点较远。仅B符合。 思路2：用排除法，D首先排除；由图象C得到的信息是：判别式的值小于零，与题设矛盾，C可以排除；由图象A得到的信息是：与x轴相交的两个点的横坐标的和为正数，这与-p0，c0答案：A相关题2：已知h关于t的函数关系式为，（g为正常数，t为时间），则函数图象为 A、

2、B、 C、 D、 答案：A相关题3：已知反比例函数y的图象如右图所示，则二次函数y的图象大致为 A B C D 提示：由反比例函数图象得k0，故函数式的二次项系数为负数，常数项为负数，一次项系数为负数。设二次方程=0的两根分别为x1，x2，则x1x2=0，x1+x2=0。所以函数图象特征为，开口向下，与x轴有两个交点，分别在原点异侧，且左边的点离原点较远。 答案：D相关题4：下列各图是在同一直角坐标系内，二次函数与一次函数yaxc的大致图像，有且只有一个是正确的，正确的是 A B C D提示：用排除法如选A，则二次函数图象信息是，抛物线开口向下，a0，矛盾；如选B，则二次函数图象信息是，抛物线

3、开口向上，a0；而一次函数图象信息是a0，矛盾；如选C，抛物线与直线只有一个交点。但从解析式解得它们有两个交点，且分别在两坐标轴上，矛盾。答案：D2、二次函数的图象如图所示，那么下列四个结论：0；0；0，即0，c0 B、b0，c0 C、b0 D、b0，c0，c0，0，b0，所以bc0答案：B相关题4：如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，则下列各式成立的是A、b-c-1=0 B、b+c-1=0C、b-c+1=0 D、b+c+1=0提示：由，得OB=OC=c，所以点B的坐标为（c，0），将点B坐标代入，得c+b+1=0答案：D相关题5：二次函数的图象如图所示，则点P（，）在 A、第一象限 B、

4、第二象限 C、第三象限 D、第四象限提示：由图象信息得a0，c0答案：B3、已知二次函数yx2bxc与x轴相交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，其顶点坐标为P（，），点A、B之间的距离为，若SAPB1，则b与c的关系是A、b24c10 B、b24c10 C、b24c40 D、b24c40分析：此题综合性较强，需要将一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，二次根式的性质和二次函数的相关性质综合运用。将这些知识串起来的媒介是三角形的面积公式。思路：b2-4c0；|x1-x2|=；SAPB=1答案：C相关题1：已知 a 1，点（a1，）、（a，y2）（a1，）都在函数的图象上，则A、 B、 C、

5、 D、 提示：用图示法，将三点在示意图上表示出来，三个函数值的大小关系就一目了然。 答案：C相关题2：把抛物线的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是，则有A、， B、， C、， D、， 提示：用特殊值法，将b、c的值代入抛物线，然后按要求移动，验证能否得到第二个解析式。 答案：A相关题3：已知以（1，0）为圆心，1为半径的M和抛物线，现有两个命题：（1）抛物线与M没有交点（2）将抛物线向下平移3个单位，则此抛物线与M相交则以下结论正确的是A、只有命题（1）正确 B、只有命题（2）正确C、命题（1）、（2）都正确 D、命题（1）、（2）都不正确提示：将整理为y= (x+3

6、)2 +2，向下平移3个单位得y= (x+3)2 -1，求出顶点坐标和抛物线与x轴交点坐标。答案：C二、填空题：（共3题，每题3分）4、已知二次函数与x轴交点的横坐标为，则对于下列结论当时，；当时，；方程有两个不相等的实数根；，其中所有正确的结论是_（只需填写序号）分析：这种题型其实是多选题，研究的方法往往具有综合性，可以用代入法，特殊值法，分析法和综合法等，可以根据选项灵活运用。思路：用代入法可验证是正确的；由于k是否为正值，从条件无法确定，故的正确性不能判断；计算根的判别式得4k2+10，显然正确；x2-x10，而因k不能确定正负值，所以错误。答案：相关题1：若反比例函数的图象位于一、三象

7、限内，正比例函数的图象过二、四象限，则的整数值是 。提示：由条件1得k-30，即k3；由条件2得2k-90，得k0) II、当D在线段BO上的时（D不能与B重合），即 -2k0，DBC的高=OC-|k|=OC+k = 2+k S=2(2+k)=k+2 (-2k0，或-2k0，与I要对应) III、当D在线段OB的延长线上时，k-2，DBC的高= |k|-OC=-k-OC= -k-2 S=2-(2+k)= -k -2 (k -2) 注：如设D的纵坐标为yD，C的纵坐标为yC，则|yD-yC|=|k+2|就为点D到直线BC的距离I、II、III也可合并为S = 2|k +2|=|k +2|（k -

8、2）yBPxAOl相关题1：如图，已知直线l经过A（4，0）和B（0，4）两点，它与抛物线在第一象限内交于点P，又知= 6，则：直线l的函数解析式为_；a的值为_. 提示：用代定系数法求直线l的解析式，再由= 6，OA=4，可求点P的纵坐标，而点P在直线上，进一步可求它的横坐标，再用待定系数法求a。答案：设直线l的函数解析式为 y=kx+b，解得b=4，k=-1 直线l的函数解析式为y= -x+4 由OA=4，= 6，点P在直线l上，得点P的坐标为（1，3）代入得a=3 相关题2：抛物线的图象的最低点的纵坐标是2，它与直线的两个交点的横坐标之差的绝对值是2。则这条抛物线的解析式为_。提示：设这

9、两个函数图象两个交点的横坐标分别为、，在方程组中消去得：，又2，化简得又由题意知抛物线顶点的纵坐标是2，化简得由解得，又抛物线有最低点，0，故不符题意，应舍去。这条抛物线的解析式为。相关题3：已知抛物线C1的解析式是，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，则抛物线C2的解析式为_提示：本题可采用特殊值法，在C1上设几个特殊点，例如，点A（0,5）、B（1,3）、C（1,11）都在抛物线C1上点A、B、C关于x轴的对称点分别为A（0,5）、B（1,3）、C（1,11），它们都在抛物线C2上然后应用待定系数法求解析式。答案：抛物线的解析式是相关题4：如图，抛物线和直线与轴、轴都相交于A、B两点，已知

10、抛物线的对称轴与轴相交于C点，且ABC90.则抛物线的解析式为_。 提示：先求点A的坐标（4，0），再利用OBCOAB计算出OB=2。设二次函数的解析式为y=a(x+1)2+h，应用待定系数法求得函数式。 答案：6、如图，AB为半圆的直径，O为圆心，AB6，延长BA到F，使FAAB，若P为线段AF上的一个动点（不与A重合），过P点作半圆的切线，切点为C，过B点作 BEPC交PC的延长线于E设ACx，ACBEy，则y与 x的函数关系式为_（要求写出x的取值范围） 分析：几何图形中的量与量之间的函数关系式的问题，一般解决方法是：利用几何性质，构造包含函数和自变量的等量关系。 思路：连结BC，构造R

11、tABC与RtCBE的相似问题。 解：连结BC，AB是O的直径，ACB=90 又PC切O于C，BAC=BCE，RtABCRtCBE 即，BE=6-=y-AC=y-x，y= -x2+x+6 00，当P与F重合时，AC=x最大，由切割线定理得：PC2=PAPB=612 再由PCAPBC得，BC=AC，由勾股定理得AC2+BC2=AB2，得AC=2 自变量x的取值范围是0x2相关题1：巳知：如图，在RtABC中，C90，BC4，AC8点D在斜边AB上，分别作DEAC，DFBC，垂足分别为E、F，得四边形DECF设DEx，DFy AE用含y的代数式表示为：AE ； y与x之间的函数关系式为_（要求写出

12、x的取值范围）； 设四边形DECF的面积为s，则S与x之间的函数关系式为_提示：由RtADERtABC，得DE：BC=AE：AC，即x：4=（8-y）：8；S=xy，将y=8-2x代入即得S关于x的函数式。答案：（1）8-y；（2）y=8-2x（0x4）；（3）S= -2(x-2)2+8相关题2：如图，在矩形ABCD中，BD20，ADAB，设ADB，已知sin是方程的一个实根，点E，F分别是BC，DC上的点，ECCF8，设BE x，AEF的面积等于y。（1） y与x之间的函数关系式为_；（2） 当E，F两点在_时，y有最小值为_。 提示：用代数式表示出AEF的面积即得。（2）求y的最小值，以B

13、E、CF的值是否存在为检验标准。 答案：（1）y=x2-10x+96（8x16）；（2）当BE=10，CF=2时，y有最小值为46.三、解答题：（共5题，每题8分）yxO7、已知二次函数y= （1）求证：无任k为何值，该二次函数的图象与x轴必有两个交点； （2）该二次函数图象如图所示，求k的取值范围。分析：二次函数式与二次方程之间存在着密切的联系，联系两者之间的桥梁就是二次函数图象与x轴交点的问题。思路：将二次函数的图象与x轴必有两个交点的问题，转化为二次方程有两个不等的实数根问题。而二次函数式的系数也正是相关方程的系数，可以转化为方程的根与系数的关系问题来研究。（1）证明： 故无论k为何值，

14、二次函数的图象与x轴必有两个交点。 （2）解法一：由图上看出，设抛物线与x轴负半轴和正半轴的交点分别为(， 由一元二次方程的知识，结合图形得，且 得，解之得： 所以k的取值范围是： 解法二：由抛物线对称轴的位置在第二、三象限，可以推出：，得 由抛物线与y轴的交点在它的下半轴，可推出：c=k-10，又对称轴在y轴左侧0；抛物线与y轴交点在下半轴，c0，b0，c0；（2）相关题2：设直线与抛物线的两个交点的横坐标分别为和，且直线与轴的交点的横坐标为，求证：。提示与证明：由方程组中消去得：， 在中，令0得， ，相关题3：二次函数的图象与轴交于P、Q两点，交点的横坐标是方程的两个根，且两根的立方和等于

15、，求：（1）函数的解析式；（2）图象与轴交于P、Q两点的坐标及顶点M的坐标。提示与答案：（1）设P、Q两点的坐标为P（，0），Q（，0），则1，即，解得3，这个二次函数的解析式为 （2），P、Q两点的坐标为（，0）、（，0），顶点M的坐标为（，4）相关题4：已知抛物线（1）求证：此抛物线与x轴总有两个不同的交点；（2）设x1、x2是此抛物线与x轴两个交点的横坐标，且满足 求抛物线的解析式； 设点P（m1，n1）、Q（m2，n2）是抛物线上两个不同的点，且关于此抛物线的对称轴对称，求m1m2的值 提示与答案：相关题5：已知一条抛物线的对称轴是直线x=1；它与x轴相交于A，B两点（A在B的左边），

16、且线段AB的长是4；它还与过点（1，-2）的直线有一个交点是（2，-3）。（1）求这条直线的函数解析式；（2）求这条抛物线的函数解析式；（3）若这条直线上有P点，使，求点P的坐标。提示与答案：（1）由直线经过点：（1，-2）、（2，-3），由待定系数法得：；（2）由抛物线的对称轴是：x=1，与x轴两交点A、B之间的距离是4，可推出：A（-1，0），B（3，0） 由待定系数法得：，解之得：，所以抛物线的解析式为： （3）设点P的坐标为（x，y），它到x轴的距离为。，解之得：由点P在直线上，得P点坐标为（-7，6）和（5，-6） 相关题6：已知关于x的二次函数 的图象与x轴从左至右交于A、B两点，

17、且这两点关于原点对称。（1）求k的值和二次函数的解析式；（2）一正比例函数的图象与这个二次函数的图象有一交点C（-1，-2），求这个正比例函数的解析式，并求它们的另一交点的坐标；（3）过A、B、C三点的圆是否与抛物线还有第四个交点，若有，求此点坐标。提示与答案：（1）由A、B关于原点对称，所以它的对称轴为x = 0，设A、B两点的横坐标分别为x1、x2，则x1+x2=0即得， 解之得：，又得，故 二次函数的解析式为： （2）由待定系数法得： 得另一交点坐标为（3，6） （3）有第四个交点，因为抛物线和圆都关于y轴对称，所以在圆和抛物线上存在点C关于y轴的对称点D（1，-2） 相关题7：如图，已

18、知抛物线与x轴的两个交点分别为A（，0），B（，0），且4，。（1）求此抛物线的解析式；（2）设此抛物线与y轴的交点为C，过点B、C作直线，求此直线的解析式；（3）求ABC的面积提示与答案：（1），（2）解得k=1，b= -3，（3），|AB|=2，|OC|=3相关题8：抛物线的解析式 满足四个条件：abc0；abc3；abbcca4；abc 求这条抛物线的解析式； 设该抛物线与x轴的两交点分别为A、B（A在B的左边），与y轴的交点为C，P是抛物线上第一象限内的点，AP交y轴于点D，OD15，试比较SAOD与SDPC的大小。提示与答案：相关题9：已知抛物线（a0）与x轴交于两点A（x1 ，0）

19、、B（x2 ，0）（x1x2）（1）求a的取值范围，并证明A、B两点都在原点O的左侧；（2）若抛物线与y轴交于点C；且 OAOBOC2，求a的值提示与答案：0），B（x2，0）两点，且x1x2,a08、某高科技发展公司成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品，已知生产每件产品的成本为40元，在销售过程中发现：当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；销售单价每增加10元，年销售量将减少1万件，设销售单价为元，年销售量为万件，年获利（年获利年销售额生产成本）万元。（1）试写出与之间的函数关系式；（不必写出的取值范围）（2）试写出与之间的函数关系式；（不必写出的取值范围）（3）计算销售单价

20、为160元时的年获利，并说明同样的年获利，销售单价还可以定为多少元？相应的年销售量分别为多少万件？ 分析：这是函数的综合应用问题，涉及一次函数和二次函数，但函数的关系式需要根据实际问题中所隐含的等量关系来构造。这与列方程解应用题有相似之处。 思路：第（1）和（2）题是列函数式问题，依据分别是：当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；销售单价每增加10元，年销售量将减少1万件；年获利年销售额生产成本。第（3）题是在（2）的基础上，已知自变量的值求函数值，已知函数值求自变量值，发现同一函数值对应两个自变量，反映了二次函数图象是一个轴对称图形。解：（1）依题意知，当销售单价定为x元时，年销售量

21、减少(x-100)万件. y=20-(x-100) = - x+30. 即y与x之间的函数关系式是: y = - x+30.（2）由题意，得：z = (30- x)(x-40) = - x2+34x-1200.即z与x之间的函数关系式是: z = - x2+34x-1200.（3）当x取160时，z= - 1602+34160-1200 = 1680（万元）当1680= - x2+34x-1200，整理，得x2-340x+28800=0.由根与系数的关系，得 160+x=340. x=180. 即同样的年获利，销售单价还可以定为180元. 当x=160时，y= - 160+30=14; 当x=

22、180时，y= - 180+30=12.即相应的年销售量分别为14万件和12万件. 相关题1：某商人将进货单价为8元的商品，按每件10元售出时，每天可销售100件，现在他想采取提高售出价的办法来增加利润。已知这种商品每提价1元（每件）日销售量就要减少10件。请问：他的这种想法能否实现？如果能，他把价格定为多少元时，才能使每天的获利量最大？每天的最大利润是多少？如果不能，请说明理由。提示：设他将单价定为（10）元，日均获利元，则题意得：即 抛物线的开口向下，这个二次函数当14时，有最大值360。 答案：他的这种想法能实现。把单价定为14元时，每天获利最大，每天的最大利润是360元。相关题2：启明

23、公司生产某种产品，每件产品的成本是3元，售价是4元，年销售量为10万件。为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告。根据经验，每年投入的广告费是x（万元），产品的年销售量将是原销售量的y倍，且，如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费： （1）写出利润S（万元）与广告费x（万元）的函数关系式。并计算广告是多少万元时，公司获得的利润最大，最大年利润是多少万元？（2）把（1）中的最大利润留出3万元作广告，现有6个项目可供选择，各项目每股投资金额和预计年收益如下表：项目ABCDEF每股（万元）526468收益（万元）0.550.40.60.50.91如果每个项目只能投一股，且要求所有投资项目

24、的收益总额不得低于1.6万元，问的几种符合要求的投资方式？定出每种投资方式所选的项目。提示与答案：=1613（万元），只投入两个项目要么投资金额不足，要么收益达不到要求。所以需考虑同时投资三个项目。（万元） 3 4 5 6-1-2-3s(万元)t(月)O432112相关题3：某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；

25、（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？提示：（1）设s与t的函数关系式为s=at2+bt+c由题意得或 （2）把s=30代入s=求t的值；（3）把t=7 和t=8分别代入函数式，求它们的差答案：（1）s=；（2）截止到10月末公司累积利润可达到30万元；（3）第8个月公司获利润5.5万元相关题4：如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面请观察下列图形并解答有关问题： 在第n个图中，每一横行共有 块瓷砖，每一坚列共有 块瓷砖（均用含n的代数式表示）； 设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出y与（1）中的n的函数关系式（不要求写自变量n的取

26、值范围）； 按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值； 若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题中，共需花多少元钱购买瓷砖？ 是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形？请通过计算说明为什么？ 提示与答案：相关题5：如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m 建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式； 现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km（桥长忽略不计）。货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1小时时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m的

27、速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行）试问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？ 提示：本题需要自行建立坐标系，可选点O为原点，在得到函数解析式后，求点O到CD的距离，便可求得水位上升到点D所需时间。 答案：相关题6：一大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分，在大桥截面111000的比例图上，跨度AB5cm，拱高OC0.9cm，线段DE表示大桥拱内桥长，DEAB。如图，在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图： （

28、1）求出图上以这一部分抛物线为图像的函数解析式，写出函数定义域；（2）如果DE与AB的距离OM0.45cm，求该桥拱内实际桥长（备用数据：1.4，计算结果精确到1米） 提示与答案：数解析式为9、如图，已知一次函数y= -2x +6的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C；二次函数y = ax2 +bx +c的图象过A、C两点，并与x轴交于另一点B. 点D在直线AC上，且SAOD= 3SBOD. （1）求此二次函数的解析式；yCBOAxD（2）线段AC上是否存在点D，使AOD与ABD相似？若存在，求出符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由. 分析：求证一动点是否具有某种几何性质，通常方法是先默认

29、性质成立，然后在确定动点的特定位置，如果位置符合条件，该点即为所求。思路：（1）由于一次函数与二次函数图象有两个特殊的交点，另外条件SAOD= 3SBOD可转化为AO=3BO，可求出点B的坐标，故可用待定系数法求出抛物线的解析式。解：（1）解得A（3，0），C（0，6）由SAOD= 3SBOD，得OA=3OB，解得B（-1，0） 又待定系数法解得a= -2，b=4，c=6得二次函数的解析式为y= -2x2+4x+6 （2）若线段AC上存在点D，使AOD与ABD相似 由DAB为公共角，线段AD必须满足下列等式：AD：AB=AO：AD 解得AD=23=AC，线段AC上存在满足条件的点D 设D（x，

30、y），由AD：AC= y：OC，解得y=，代入y= -2x +6得x= 符合条件的点D的坐标为（，）相关题1：已知二次函数的图象过点A（2，0），且与直线y=-2x+6相交于B、 C两点，点B在x轴上，点C在y轴上。（1）求二次函数的解析式；（2）如果P（x，y）是线段BC上的动点，O为坐标原点，试求POA的面积S与x之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围；（3）线段BC上（不包括点B、C）是否存在这样的点P，使PO=BO？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。提示：（1）由条件得二次函数图象经过的三点坐标，由待定系数法求函数的解析式；（2）SPOA=OA；（3）设P（x，y），PO

31、=BO=2，作PD垂直x轴于D，解RtPOD。答案：（1）y=x2-5x+6；（2）SPOA= -2x+6，自变量x的取值范围是：0x0，答案：（1）函数的解析式为y=x2-2x-3；（2）当k= -2，b-3时，直线ykxb与抛物线交于点P、Q，使y轴平分CPQ的面积.10、如图，抛物线的对称轴是直线,它与轴交于、两点，与轴交于点.点、的坐标分别是、.(1) 求此抛物线对应的函数解析式；(2) 若点是抛物线上位于轴上方的一个动点，求面积的最大值.分析：用待定系数法求二次函数解析式，一般采用的方法是先找到图象上三个确定的点，然后利用它们的坐标构造三个方程。但如果给出对称轴方程，那么还可以利用二次函数的对称性求解析式。 思路1：利用二次函数图象上的三个特殊点。解法1：设所求的函数解析式为，则解得，所求函数解析式为；思路2：利用二次函数图象的对称性，求点A的对称点B，再利用已知的三点求解析式。解法2：抛物线的对称轴是直线,它与轴交于，点的坐标为，可设所求的函数解析式是将点代入上式，解得，所求的函数解析式为；思路3：利用二次函数式的另一形式，y=a(x+h)2+k，由于对称轴方程已知，所以只需确定两点可以用待定系数法求解。解法3：抛物线的对称轴是直线,可设所求的函数解析式为，将点、代入上式，得，解得，所求的函数解析式为；（2）当点是抛物线的顶点时，面