“函数的单调性”教学设计.doc

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1、“函数的单调性”教学设计一教学目标本节课要求学生理解函数在某区间上单调的意义，掌握用函数单调性的定义证明简单函数在某区间上具有某种单调性的方法（步骤）1能够以具体的例子说明某函数在某区间上是增函数还是减函数；2能够举例，并通过绘制图形说明函数在定义域的子集（区间）上具有单调性，而在整个定义域上未必具有单调性，说明函数的单调性是函数的局部性质；3对于一个具体的函数，能够用单调性的定义，证明它是增函数还是减函数：在区间上任意取x1，x2，设x1x2，作差f（x2） f（x1），然后判断这个差的正、负，从而证明函数在该区间上是增函数还是减函数二教学基本流程三教学过程设计1用好节前语，引出课题函数是描

2、述事物运动变化规律的数学模型如果了解了函数的变化规律，那么也就掌握了相应事物的变化规律，因此研究函数的性质十分必要在事物变化过程，保持不变的特征就是这个事物的性质问题1 观察图1中各个函数的图象，你能说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律吗？ 图1设计意图：从形到数，借助对函数图象的观察，想象相应的函数的性质引导单调函数的“直观定义”可能的回答是，第一个图中的函数图象，自左而右是上升的；第二个图中的函数图象，自左而右，有时是上升的有时是下降的；第三个图中的函数图象，自左而右也是有时上升有时下降的，而且是关于y轴对称的师：对于运动变化问题，最基本的就是描述变化的快与慢、增与减相应的，函数的特征

3、就包含：函数的增与减，我们把函数的这种性质称为“单调性”教师结合上述直观认识，写出课题：函数的单调性2函数单调性的“直观定义”结合上述直观认识，给出单调函数的“直观定义”：设函数的定义域为I，区间DI在区间D上，若函数的图像（从左至右看）总是上升的，则称函数在区间D上是增函数，区间D称为函数的单调增区间；在区间D上，若函数的图像（从左至右看）总是下降的，则称函数在区间D上是减函数，区间D称为函数的单调减区间例1 （教科书第29页例1）图2是定义在区间5，5上的函数yf（x）的图象，根据函数图象说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上，它是增函数还是减函数？设计意图：用“直观定义”判断单调性，

4、并强调单调性的“局部性” 图23函数单调性的“描述性定义”仅从图象上观察出函数的性质，只是得到了“定性刻画”，对函数的变化情况只是“大致了解”，显然不够，我们希望“量化”，这样才能准确教师借助几何画板作出函数yx2的图像，并在函数yx2的图像上任画一点P，测量出其横坐标与纵坐标，制作表格拖动点P，表格自动增行问题2 根据函数的定义，对于自变量x的每一个确定的值，变量y有唯一确定的值与它对应那么，当一个函数在某一区间上是单调增（或单调减）的时候，相应的，自变量的值与对应的函数值的变化规律是怎样的呢？设计意图：对函数的单调性的刻画，从图形的刻画过渡到数量关系，即从图形语言的表述过渡到自然语言的表述

5、由上面的表格可见，点P的纵坐标（即函数值）y的变化规律：在区间（，0上，随着自变量x增大，函数值y减少；在区间0，）上，随着自变量x增大，函数值y也增大由此得到单调函数的“描述性定义”：设函数的定义域为I，区间DI在区间D上，若随着自变量x增大，函数值y也增大，则称函数在区间D上是增函数；在区间D上，若随着自变量x增大，函数值y反而减小，则称函数在区间D上是减函数4从“定性定义”过渡到“定量定义”虽然完成了对函数单调性的从图形语言表述到自然语言的表述，但这样的描述还不是“量化”的，所以，要把定性的数量变化关系转化为定量的数量变化关系这是本课的重点，也是难点所在 从上面的结论，可以看到，函数在区

6、间D上是增函数，那么随着自变量x增大，函数值y也增大问题3 如果对于区间（a，b）上的任意x有f（x）f（a），则函数f（x）在区间（a，b）上单调增这个说法对吗？请你说明理由（举例或者画图）设计意图：继续企图通过对描述性定义的辨析，逐渐引出定量定义必须是两个变化的量的比较问题4 函数f（x）在区间（a，b）上有无数个自变量x，使得当ax1x2b时，有f（a）f（x1）f（x2）f（b），能不能说明它在（a，b）单调增？请你说明理由（举例或者画图）设计意图：本问题较为贴近描述性定义，但这是对描述性定义的误解通过对函数描述性定义的辨析，逐渐使得同学们认识到要使函数f（x）在区间（a，b）上具有单

7、调增的特征，必须允许自变量x 在区间（a，b）上“任意取”，且只要“取两个”就够了也给学生使用符号说明单调性以示范或提示从上面的讨论可以看到，函数f（x）在区间（a，b）对任意x有f（x）f（a），也不能说明它在（a，b）单调增；在区间（a，b）上有无数个自变量x，使得当ax1x2b时，有f（a）f（x1）f（x2）f（b）也不能说明它在（a，b）单调增那么自变量x在区间（a，b）上到底该怎样取值好呢？我们再来看一看具体的函数f（x）x2教师利用几何画板演示：在函数f（x）x2的图象上，位于区间0，）任选两个点，自变量大的函数值也一定大并提出问题5 在函数f（x）x2，x0，）的图象上任意取两

8、点，自变量大的函数值也一定大，能否说明函数f（x）x2在0，）上单调增？设计意图：由问题4可见，刻画函数单调性不在于所取自变量个数的多少，关键在于是否能够任意取值，而且必须任意取两个这个问题的答案是显然的教师立即提出“怎样用符号来表示？”的问题引导学生获得“只要任意x1x2，有f（x1）f（x2）”即可经过议论，获得共识函数单调性的定义一般地，设函数f（x）的定义域为I如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f（x1）f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f（x

9、1）f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数这个定义中的关键词是什么呢？是“任意”二字5单调性定义的应用（课堂练习）练习1 画出反比例函数f（x）的图象，并回答下列问题：（1）指出这个函数的单调性；（2）是否可以说“这个函数在定义域I上是单调减？”为什么？设计意图：通过具体问题，使学生认识函数的单调性是函数在定义域的某个区间上的性质，是函数的局部性质（在整体上未必有）进一步认识“任意”二字的意义，加深对函数单调性的认识答：（1）函数f（x）在区间（，0）上单调减，在区间（0，）上也单调减（图象略）（2）这个函数的定义域I（，0）（0，）不能说“这个函数在定义域I上是单调减”事实上，取

10、x11，x21，而f（1）1，f（1）1，f（1）f（1）练习2 物理学中的波利尔定律p（k是正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当体积V减小，压强p将增大试用函数的单调性证明之（教科书第29页例2）设计意图：函数单调性概念的应用逐步掌握利用单调性定义证明一个函数在某区间上具有某种单调性的步骤加深对函数单调性的理解分析 怎样来证明“体积V减小，压强p将增大”呢，根据函数单调性的定义，只要证明函数p（k是正常数）是减函数怎样证明函数p（k是正常数）是减函数呢，只要在区间（0，）（因为体积V0）任意取两个大小不相等的值，证明较小的值对应的函数值较大，即设V1V2，去证明p1p2也就是只要证明p1p

11、20证明：设V1V2，V1，V2（0，+）p1p2因为k是正常数，V1V2，所以0，p1p2所以，体积V减小，压强p将增大6课堂小结这节课，我们学习了“函数的单调性”，“如果函数在区间（a，b）单调减，那么这个函数有什么特征？”设计意图：企图明确，f（x）在区间D上是减函数 f（x）的图像在区间D上是下降的在区间D上自变量增大函数值减小类似地，f（x）在区间D上是增函数 f（x）的图像在区间D上是上升的在区间D上自变量增大函数值也增大 教师总结研究问题的过程（突出思想方法）“图形直观定性刻画定量刻画”，最后用不等式，即“大小比较”的方法刻画一种变化规律，描述一个变化过程7布置课后作业教科书第39页，习题1.3，第1，2，3题