椭圆与双曲线专题复习.doc

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1、圆锥曲线综合复习圆锥曲线知识总结一、椭圆和双曲线知识点总结椭圆双曲线定义第一定义：;第二定义：. 第一定义：；第二定义：. 标准方程 焦点在轴上： 焦点在轴上 ： 焦点在轴上：焦点在轴上： 焦点 顶点焦点在轴上：， 焦点在轴上：，焦点在轴上： 焦点在轴上：范围，或；关系的关系:的关系：离心率准线 焦点在轴上： 焦点在轴上： 焦点在轴上： 焦点在轴上：渐近线无 焦点在轴上： 焦点在轴上：二、有关椭圆和双曲线解题的一些常见技巧1. 求椭圆方程和双曲线的标准方程的常见技巧（1）当焦点位置不确定时：椭圆的标准方程可以统一设为：；双曲线的标准方程可以统一设为：；（2）具有相同焦点的椭圆和双曲线的方程：与

2、椭圆具有相同焦点的椭圆的方程可设为；与双曲线具有相同焦点的双曲线的方程可设为；（3）具有相同渐近线的双曲线方程可设为：()；2. 求离心率的常见技巧在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出和的值去计算，而是根椐题目给出的椭圆与双曲线的几何特征，建立关于参数、的方程（求离心率）或不等式（求离心率的范围）求解.椭圆的离心率与的关系：；双曲线的离心率与的关系：.3焦点三角形面积公式：若是椭圆上一点，、是其两个焦点，且，则的面积；若是双曲线上一点，、是其两个焦点，且，则的面积.（焦点三角形的面积公式由余弦定理和椭圆（或双曲线）的定义推导可得.）4韦达法与点差法：韦达法：联立直线和圆锥曲线方程，消去

3、，得到关于的一元二次方程，设交点坐标为，则有，以及，还可进一步求出.在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法.点差法：设交点坐标为代入圆锥曲线方程，并将两式相减，可得，在涉及斜率、中点、范围等问题时，常用此法.三、抛物线知识总结定义平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）距离相等的点的轨迹叫做抛物线.其中点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线.图形标准方程对称轴轴轴顶点原点离心率焦点坐标准线方程的意义表示焦点到准线的距离.焦点弦长公式备注1. 标准方程中，一次项表示焦点所在的轴；一次项系数为正，则焦点在正半轴；一次项为负，则焦点在负半轴.同时焦点坐标中，非零坐标为一次项系数的.例如：抛

4、物线，表示焦点坐标在轴的负半轴上，并且焦点坐标为，即.2. 在解题之前需要把非标准形式的方程化为标准方程，防止出错,四、典型例题分析例1. 求满足下列条件的椭圆或双曲线的标准方程（1）已知ABC的周长为16，其中A(3, 0), B(3, 0), 求顶点C的轨迹方程.（2）求经过点与双曲线具有相同的渐近线.解：（1）由题知,即点C到A、B两点的距离的和等于常数10，点的轨迹是以两点为焦点的椭圆，在椭圆中，, 点C的轨迹方程是：.（2）由题知，设双曲线的方程为，因为双曲线经过点，所以，所以所求的双曲线的方程为，即.例2.若P是椭圆上的一点，、是其焦点，且，求的面积.解法一：在椭圆中，而记点P在椭

5、圆上，由椭圆的第一定义得：在中，由余弦定理得：配方，得：从而解法二：在椭圆中，而例3. 若椭圆上存在一点，使得点到两焦点的连线互相垂直，求的取值范围.解：题可知，所以.又知，所以椭圆的离心率的取值范围为.例4. 已知是椭圆的左，右焦点以及两定点（1）设为椭圆上一个动点求的最大值与最小值； 求的最大值与最小值.（2）过点作直线与椭圆交于两点，若为锐角（为原点），求直线的斜率的取值范围.解：（1）由已知：点在椭圆内部.易知所以，. 依定义有：， 所以，由三角不等式可得： ，即 .当且仅当三点依次共线以及三点依次共线时，左右等号分别成立.所以；（此时三点依次共线）.（此时三点依次共线）解法1：易知所

6、以，设，则. 因为，故当，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值当，即点P为椭圆长轴端点时，有最大1. 解法2：易知，所以，设，由向量的数量积定义及余弦定理可得： （以下同解法一）（2）显然直线不满足题设条件，设，设直线的方程为：，联立，消去，整理得： 由 得： 或 又 所以 又 所以 ，即 所以 . 故由、得： 或 例5已知椭圆的方程为.过点作一弦，使弦被点被平分，求此弦所在直线的方程.解法一：（韦达法）由题知，显然当直线与轴垂直时，不合题意，所以此线所在的直线的斜率存在.设直线的方程为，即直线的方程为解可得因为点为中点，所以.解得所以所求直线的方程为. 此时直线与椭圆相交，符合题意.解法二：（点差法）：设此线所在的直线与椭圆的交点分别为，则有可得：，即（3）因为为的中点，所以，即（4）把（4）代入（3）可得.所以直线的斜率为，所以所求的直线方程为，即.例6. 如图, 椭圆的右顶点是，上、下两个顶点分别为，四边形是矩形（为坐标原点），点分别是线段的中点。（1） 求证：直线与直线的交点在椭圆上.（2） 过点的直线与椭圆分别交于（不同于点），且它们的斜率满足，求证：直线过定点，并求出此定点的坐标.第4页，共4页