第16讲圆锥曲线与方程.doc

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1、课题 圆锥曲线与方程考点透析选修2圆锥曲线与方程（必修）中心在坐标原点的椭圆标准方程与几何性质B中心在坐标原点的双曲线标准方程与几何性质A中心在坐标原点的抛物线标准方程与几何性质A曲线与方程A中心在坐标原点的抛物线标准方程与几何性质B知识整合 1对于与圆锥曲线有关的问题时，要善于应用圆锥曲线的有关定义解题。一般的，若椭圆、双曲线上一点与两个焦点有关，应联想到它们的第一定义，若圆锥曲线上一点与一个焦点或准线有关，应联想到它们的统一定义。2求圆锥曲线的方程时，“先定型，后计算”，所谓“定型”是指曲线的类型，焦点所在的坐标轴，然后根据条件应用待定系数法求解。3利用圆锥曲线的标准方程及其几何性质解题，

2、一是要熟悉掌握圆锥曲线标准方程的形式，掌握基本量a，b，c，P的几何意义与基本关系；二是根据圆锥曲线的标准方程及其几何性质解决相关问题。4求动点轨迹，要熟悉求轨迹的几个基本步骤以及求轨迹的基本方法，比如直接法、定义法、几何法、参数法等。考点自测 1.（2010 安徽）双曲线方程为，则它的右焦点坐标为 2. (2010 南京一模) 以椭圆 （ab0）的右焦点为圆心的圆经过原点O，且与该椭圆的右准线交与A，B两点，已知OAB是正三角形，则该椭圆的离心率是 。3.（2010 重庆）已知以F为焦点的抛物线上的两点A、B满足,则弦AB的中点到准线的距离为_.4.（2010扬州四模）已知椭圆与抛物线有相同

3、的焦点，是椭圆与抛物线的的交点，若经过焦点，则椭圆的离心率为 . 典型例题 高考热点一：求动点的轨迹方程例1.(2010江苏)在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T（）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、，其中m0,。（1）设动点P满足,求点P的轨迹；（2）设，求点T的坐标；（3）设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。【分析】 本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。高考热点二：圆锥曲线的定义及其应用例2.(2010江西) 已知抛物线：经过椭圆：的两个焦点.(1) 求椭圆的离心率

4、；(2) 设，又为与不在轴上的两个交点，若的重心在抛物线上，求和的方程. 【分析】考查椭圆和抛物线的定义、基本量，通过交点三角形来确认方程。高考热点三：圆锥曲线的标准方程及其应用例3. （2010 南通）已知F1、F2为椭圆的焦点，P为椭圆上的 任意一点，椭圆的离心率为以P为圆心PF2长为半径作圆P， 当圆P与x轴相切时，截y轴所得弦长为（1）求圆P方程和椭圆方程；（2）求证：无论点P在椭圆上如何运动，一定存在一个定圆与圆P相切，试求出这个定圆方程高考热点四：圆锥曲线的几何性质及其应用例4(2010 天津）已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。（1） 求椭圆的方程；（2）

5、设直线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为（），点在线段的垂直平分线上，且，求的值【分析】本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质，直线的方程，平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算和推理能力。高考热点五：与圆锥曲线有关的综合性问题例5. （2010 山东）如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.（）求椭圆和双曲线的标准方程；（）设直线、的斜率分别为、，证明；（）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明

6、理由.【分析】本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力。其中问题（3）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力， 误区分析 F1、F2是双曲线的焦点，点P在双曲线上，若点P到焦点F1的距离为7，求P到焦点F2的距离试分析下面的解答错在哪里？解：双曲线的实轴长为6，由|PF1|-|PF2|=6，即|7-|PF2|=6，|PF2|=13或|PF2|=1随堂练习 1（2010 湖南）设抛物线上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是_ 2（2010 江苏）在

7、平面直角坐标系xOy中，双曲线上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是 3.（2010 泰州）以为焦点且与直线有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是 。4（2010 全国）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为 . 5已知定点M（3，2），F是抛物线的焦点，在此抛物线上求一点P，使|PM|+|PF|取得最小值，求点P的坐标6一动点在椭圆上移动，求它与定点连线中点的轨迹方程学力测评 1(2010 苏北四市二模)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为 2（2010 南京）抛物线y2 = 8x的焦点到双曲线 =

8、 1的渐近线的距离为 3如图，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且过C，D两顶点若AB=4，BC=3，则此双曲线的标准方程为 . ABCDxyO第四题第三题4（2010扬州三模）如图，已知是椭圆 的左、右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且点为线段的中点，则椭圆的离心率为 . 5（2010 北京）已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 。6（2010 福建）若点O和点分别是双曲线的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为_ . 7设P是抛物线上的动点F是焦点，则点P到点的距离与点P到直线的距离之和的最小值 .8

9、（2010 广东）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 9已知动圆A和圆B：(x+3) +y=81内切，并和圆C：(x-3) +y=1外切，求动圆圆心A的轨迹方程。10设椭圆的左焦点为F，上顶点为A，过点A且与AF垂直的光线经椭圆的右准线反射，反射光线与直线AF平行.(1)求椭圆的离心率；(2)设入射光线与右准线的交点为B，过A，B，F三点的圆恰好与直线3x一y+3=0相切，求椭圆的方程.11（2010 南通三模）在平面直角坐标系xOy中，已知对于任意实数，直线恒过定点F. 设椭圆C的中心在原点，一个焦点为F，且椭圆C上的点到F的最大距离为. （1）求椭圆C的方

10、程；（2）设（m，n）是椭圆C上的任意一点，圆O：与椭圆C有4个相异公共点，试分别判断圆O与直线l1：mx+ny=1和l2：mx+ny=4的位置关系. 12（2010 宿迁）如图， 已知椭圆的长轴为，过点的直线与轴垂直直线所经过的定点恰好是椭圆的一个顶点,且椭圆的离心率.（1）求椭圆的标准方程； B（2）设是椭圆上异于、的任意一点，轴，为垂足，延长到点使得，连结延长交直线于点，为的中点试判断直线与以为直径的圆的位置关系参考答案圆锥曲线与方程考点自测 1、 2、3、 4、典型例题例1解：（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。由，得 化简得。故所求点P的轨迹为直线

11、。（2）将分别代入椭圆方程，以及得：M（2，）、N（，）直线MTA方程为：，即，直线NTB 方程为：，即。联立方程组，解得：，所以点T的坐标为。（3）点T的坐标为直线MTA方程为：，即，直线NTB 方程为：，即。分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，解得：、。（方法一）当时，直线MN方程为： 令，解得：。此时必过点D（1，0）；当时，直线MN方程为：，与x轴交点为D（1，0）。所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）。（方法二）若，则由及，得，此时直线MN的方程为，过点D（1，0）。若，则，直线MD的斜率，直线ND的斜率，得，所以直线MN过D点。因此，直线MN必过轴上的点（1，0）。例2解：（1

12、）因为抛物线经过椭圆的两个焦点， 所以，即，由得椭圆的离心率.（2）由（1）可知，椭圆的方程为： 联立抛物线的方程得：，解得：或（舍去），所以 ，即，所以的重心坐标为.因为重心在上，所以，得.所以.所以抛物线的方程为：，椭圆的方程为：.例3解：（1），a=3c，b=，椭圆方程设为， 2分当圆P与x轴相切时，PF2x轴，故求得P（c，），圆半径r=，由得c=2， 6分椭圆方程为， 8分此时圆P方程为 10分（2）以F1为圆心，作圆M，使得圆P内切于圆M，公切点设为Q，则点F1、P、Q在一直线上，从而F1Q=F1P+PQ=F1P+PF2=2a=6，存在圆M：满足题设要求 15分例4.（1）解：由，

13、得，再由，得由题意可知， 解方程组 得 a=2,b=1所以椭圆的方程为(2)解：由（1）可知A（-2,0）。设B点的坐标为（x1,y1）,直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k(x+2),于是A,B两点的坐标满足方程组由方程组消去Y并整理，得由得设线段AB是中点为M，则M的坐标为以下分两种情况：（1）当k=0时，点B的坐标为（2,0）。线段AB的垂直平分线为y轴，于是（2）当K时，线段AB的垂直平分线方程为令x=0，解得由整理得综上例5.解：（）由题意知，椭圆离心率为，得，又，所以可解得，所以，所以椭圆的标准方程为；所以椭圆的焦点坐标为（，0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，

14、所以该双曲线的标准方程为。误区分析分析：本解答错了，错在哪里？这个错误非常隐蔽，不容易发现以上出现两解的原因是考虑到P可能在不同的两支上，而实际上呢？根据双曲线定义可知：点P到两焦点距离之差的绝对值为常数且这个常数小于两焦点距离，即|PF1|-|PF2|= 2a|F1F2|，由已知得：a=3，b=2，c=5，双曲线上的点到右焦点距离的最小值为c-a=21，P与F1在y轴的同一侧，故|PF2|-|PF1|=2a，|PF2|=13一般地，若|PF1| a+c,则P可能在两支上，若|PF1| a+c,则P只能在一支上正解：显然双曲线关于y轴对称，不妨设F1为左焦点，则| PF1|= |a+exP|=

15、7，xP=6或，将xP=6或代入|PF2|= |a-exP|得：|PF2|=13或|PF2|=1，而|PF2|= |a-exP|exP|-ae|-a|-a=c-a=2，|PF2|=13随堂练习 16 24 3 45由抛物线的定义：抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等。 即|PF| = |PN| |PM|+|PF|= |PM|+|PN|当 M、P、N三点共线时距离之和最小。6解：设中点，动点，由题意知即在椭圆上，所求的轨迹方程为学力测评 1或； 21345，6789解：设动圆的半径为，则_y_x_P_o_A_B_C_Q动圆A和圆B内切，所以AB=PBR,动圆A和圆C外切,所以 AC=CQ+

16、R，所以AB AC PBCQ=9+1=10由椭圆定义知，动圆圆心A的轨迹为，为焦点的椭圆，方程为10【解】因为入射光线与反射光线垂直，所以入射光线与准线所成的角为， 即，所以，所以椭圆的离心率为 由知，可得，又，所以过三点的圆的圆心坐标为，半径， 因为过三点的圆恰好与直线相切， 所以圆心到直线的距离等于半径，即，得，所以，所以椭圆的方程为11解：（1）, 解得. 3分设椭圆C的长轴长、短轴长、焦距分别为2a，2b，2c，则由题设，知 于是a=2，b2=1. 5分所以椭圆C的方程为 6分（2）因为圆O：与椭圆C有4个相异公共点，所以，即 8分因为点（m，n）是椭圆上的点，所以.所以. 10分于是圆心O到直线l1的距离，12分圆心O到直线l2的距离. 14分故直线l1与圆O相交，直线l2与圆O相离.15分 12（1）将整理得 解方程组得直线所经过的定点（0，1），所以 由离心率得所以椭圆的标准方程为-6分（2）设，则，点在以为圆心，2为半径的的圆上即点在以为直径的圆上又，直线的方程为令，得又，为的中点，直线与圆相切-14分16