第6讲　幂函数与二次函数.doc

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1、第6讲幂函数与二次函数【2013年高考会这样考】1求二次函数的解析式2求二次函数的值域与最值3利用幂函数的图象和性质分析解决有关问题【复习指导】本讲复习时，应从“数”与“形”两个角度来把握二次函数和幂函数的图象和性质，重点解决二次函数在闭区间上的最值问题，掌握求函数最值的常用方法：配方法、判别式法、不等式法、换元法、导数法等，注重分类讨论思想与数形结合思想的综合应用基础梳理1幂函数的定义一般地，形如yx(R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，为常数2幂函数的图象在同一平面直角坐标系下，幂函数yx，yx2，yx3，yx，yx1的图象分别如右图3幂函数的性质yxyx2yx3yxyx1定义域RR

2、R0，)x|xR且x0值域R0，)R0，)y|yR且y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x0，)时，增x(，0时，减增增x(0，)时，减x(，0)时，减定点(0,0)，(1,1)(1,1)4.二次函数的图象和性质解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0)图象定义域(，)(，)值域单调性在x上单调递增在x上单调递增在x上单调递减在x上单调递减奇偶性当b0时为偶函数，b0时为非奇非偶函数顶点对称性图象关于直线x成轴对称图形 5.二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)ax2bxc(a0)(2)顶点式：f(x)a(xh)2k(a0)(3)两根式：f(x)a(xx1)(xx2)

3、(a0) 五个代表函数yx，yx2，yx3，yx，yx1可做为研究和学习幂函数图象和性质的代表两种方法函数yf(x)对称轴的判断方法(1)对于二次函数yf(x)对定义域内所有x，都有f(x1)f(x2)，那么函数yf(x)的图象关于x对称(2)对于二次函数yf(x)对定义域内所有x，都有f(ax)f(ax)成立的充要条件是函数yf(x)的图象关于直线xa对称(a为常数)双基自测1(2011安徽)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2x2x，则f(1)()A3 B1 C1 D3解析f(x)为奇函数，f(1)f(1)3.答案A2.(人教A版教材例题改编)如图中曲线是幂函数yxn在第一

4、象限的图象已知n取2，四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为()A2，2 B2，2C，2,2， D2，2，答案B3(2011浙江)设函数f(x)若f()4，则实数等于()A4或2 B4或2C2或4 D2或2解析由或得4或2，故选B.答案B4已知函数f(x)x22x2的定义域和值域均为1，b，则b等于()A3 B2或3 C2 D1或2解析函数f(x)x22x2在1，b上递增，由已知条件即解得b2.答案C5(2012武汉模拟)若函数f(x)(xa)(bx2a)(常数a、bR)是偶函数，且它的值域为(，4，则该函数的解析式f(x)_.解析f(x)bx2(ab2a)x2a2由已知条件a

5、b2a0，又f(x)的值域为(，4，则因此f(x)2x24.答案2x24考向一二次函数的图象【例1】(2010安徽)设abc0，二次函数f(x)ax2bxc的图象可能是()审题视点 分类讨论a0，a0.解析若a0，则bc0，根据选项C、D，c0，此时只有b0，二次函数的对称轴方程x0，选项D有可能；若a0，根据选项A，c0，此时只能b0，二次函数的对称轴方程x0，与选项A不符合；根据选项B，c0，此时只能b0，此时二次函数的对称轴方程x0，与选项B不符合综合知只能是选项D.答案D 分析二次函数的图象，主要有两个要点：一个是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向；二是看对称轴和最值，它

6、确定二次函数的具体位置对于函数图象判断类似题要会根据图象上的一些特殊点进行判断，如函数图象与正半轴的交点、函数图象的最高点与最低点等【训练1】 已知二次函数f(x)的图象如图所示，则其导函数f(x)的图象的大致形状是()解析由函数f(x)的图象知：当x(，1时，f(x)为减函数，f(x)0；当x1，)时，f(x)为增函数，f(x)0.结合选项知选C.答案C考向二二次函数的性质【例2】函数f(x)x22x2在闭区间t，t1(tR)上的最小值记为g(t)(1)试写出g(t)的函数表达式；(2)作g(t)的图象并写出g(t)的最小值审题视点 分类讨论t的范围分别确定g(t)解析式解(1)f(x)(x

7、1)21.当t11，即t0时，g(t)t21.当t1t1，即0t1时，g(t)f(1)1当t1时，g(t)f(t)(t1)21综上可知g(t)(2)g(t)的图象如图所示，可知g(t)在(，0上递减，在1，)上递增，因此g(t)在0,1上取到最小值1. (1)二次函数yax2bxc，在(，)上的最值可由二次函数图象的顶点坐标公式求出；(2)二次函数yax2bxc，在m，n上的最值需要根据二次函数yax2bxc图象对称轴的位置，通过讨论进行求解【训练2】 已知函数f(x)x22ax2，x5,5(1)当a1时，求函数f(x)的最大值和最小值(2)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间5,5上是单调

8、函数解(1)当a1时，f(x)x22x2(x1)21，x5,5，x1时，f(x)取得最小值1；x5时，f(x)取得最大值37.(2)函数f(x)(xa)22a2的图象的对称轴为直线xa，yf(x)在区间5,5上是单调函数，a5或a5，故a的取值范围是a5或a5.考向三幂函数的图象和性质【例3】已知幂函数f(x)xm22m3(mN*)的图象关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，求满足(a1)(32a)的a的取值范围审题视点 由幂函数的性质可得到幂指数m22m30，再结合m是整数，及幂函数是偶数可得m的值解函数在(0，)上递减，m22m30，解得1m3.mN*，m1,2.又函数的图象关于y轴对称，

9、m22m3是偶数，而222233为奇数，122134为偶数，m1.而f(x)x在(，0)，(0，)上均为减函数，(a1)(32a)等价于a132a0或0a132a或a1032a.解得a1或a.故a的取值范围为. 本题集幂函数的概念、图象及单调性、奇偶性于一体，综合性较强，解此题的关键是弄清幂函数的概念及性质解答此类问题可分为两大步：第一步，利用单调性和奇偶性(图象对称性)求出m的值或范围；第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图象求出参数a的取值范围【训练3】 幂函数yxa，当a取不同的正数时，在区间0,1上它们的图象是一族美丽的曲线(如图)设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰

10、好被其中的两个幂函数yx，yx的图象三等分，即有|BM|MN|NA|.那么，()A1 B2 C3 D无法确定解析法一由条件得M，N，由一般性，可得，即log，log.所以loglog1.法二由解法一，得，则a，即1.答案A规范解答4如何求解二次函数在某个闭区间上的最值【问题研究】 二次函数在闭区间上的最值问题，一定要根据对称轴与区间的相对位置关系确定最值，当函数解析式中含有参数时，要根据参数的取值情况进行分类讨论，避免漏解【解决方案】 对于二次函数f(x)ax2bxc(a0)而言，首先确定对称轴，然后与所给区间的位置关系分三类进行讨论【示例】(本题满分12分)(2011济南模拟)已知f(x)4

11、x24ax4aa2在区间0,1内有最大值5，求a的值及函数表达式f(x) 求二次函数f(x)的对称轴，分对称轴在区间的左侧、中间、右侧讨论解答示范 f(x)424a，抛物线顶点坐标为.(1分)当1，即a2时，f(x)取最大值4a2.令4a25，得a21，a12(舍去)；(4分)当01，即0a2时，x时，f(x)取最大值为4a.令4a5，得a(0,2)；(7分)当0，即a0时，f(x)在0,1内递减，x0时，f(x)取最大值为4aa2，令4aa25，得a24a50，解得a5或a1，其中5(，0(10分)综上所述，a或a5时，f(x)在0,1内有最大值5.f(x)4x25x或f(x)4x220x5.(12分) 求解本题易出现的问题是直接利用二次函数的性质最值在对称轴处取得，忽视对称轴与闭区间的位置关系，不进行分类讨论【试一试】 设函数yx22x，x2，a，求函数的最小值g(a)尝试解答函数yx22x(x1)21，对称轴为直线x1，而x1不一定在区间2，a内，应进行讨论当2a1时，函数在2，a上单调递减，则当xa时，ymina22a；当a1时，函数在2,1上单调递减，在1，a上单调递增，则当x1时，ymin1.综上，g(a)