解三角形 (4).doc

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1、第一课时 正弦定理【知识网络】正 弦 定 理正弦定理的内容及其推理过程能运用正弦定理解决一些简单的三角形问题【学习目标】1.理解正弦定理的推理过程；2.掌握正弦定理的内容；3.能运用正弦定理解决一些简单的三角形问题。CBabAc【预学评价】1.我们前面学习过直角三角形中的边角关系，在中，设，则sinA=_, sinB=_, sinC=_即： 2.对于任意三角形，这个结论还成立吗？（课堂探究）：这个结论对于任意三角形可以证明是成立的不妨设为最大角，若为直角，我们已经证得结论成立，如何证明为锐角、钝角时结论也成立？证法1(构造直角三角形)证法2(利用三角形的面积转换)证法3充分挖掘三角形中的等量关

2、系，可以探索出不同的证明方法我们知道向量也是解决问题的重要工具，因此能否从向量的角度来证明这个结论呢？在中，有设为最大角，过点作于（图（3），于是设与的夹角为，则，其中，当为锐角或直角时，；当为钝角时，故可得，即同理可得因此得证。思考:有无其他证法(参照9探究拓展)小结1 正弦定理内容及变式 2 可以解决哪些解斜三角形问题【经典范例一】例1 a和B解 点评:利用正弦定理可以解决三角形中已知两角与任意一边，求其他两边和一角。例2 求a,A和C解 点评:利用正弦定理可以解决三角形中已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角。（注意三角形的解可能有两解）【随堂练习一】1.在中，,则此三角形的最大边为_

3、 答案：2. 答案 ： 3.已知，则. 答案：【经典范例二】例3 已知在ABC中，求b，B和C. 解 例4 在，求的面积S 解 由正弦定理得 【随堂练习二】4. 答案：3 5. 答案：或【分层训练】1. 答案：2. 答案：3. 答案： 4. 答案：5. 答案：6. 若一个三角形三个内角的大小之比为1：2：3，则它们所对边的边长之比为 答案：7. 解 由8.已知中，试判断的形状 解 由正弦定理 所以 即又从而又所以则所以即 因此三角形为等腰直角三角形9.设的外接圆半径为R，角A,B,C所对的边分别是a,b,c, 的面积是s，求证：证明 略10.已知，满足，试判断 解 可化为 整理得由正弦定理得则

4、可化为又所以A=B或 因此三角形为等腰或直角三角形【师生互动】学生质疑老师释疑第2课 正弦定理【知识网络】正 弦 定 理正弦定理及其变式的结构特征和作用根据条件判断三角形的形状及三角形解的个数三角形的面积公式【学习目标】1.熟练掌握正弦定理及其变式的结构特征和作用2.探究三角形的面积公式3.能根据条件判断三角形的形状4.能根据条件判断某些三角形解的个数 【预学评价】 CBabAc1.正弦定理=2R2.正弦定理的几个变形 (1)a = ,b= ,c= (2)sinA=, sinB= , sinC= (3)a:b:c =_.3.在解三角形时，常用的结论（1）在中，AB ( 2 ) sin(A+B)

5、=sinC ( 3 ) 三角形的面积公式：课堂探究：利用正弦定理和三角形内角和定理，可解决以下两类斜三角形问题： 1）已知两角与任一边，求其他两边和2）已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角一般地，已知两边和其中一边的对角解斜三角形，有两解、一解或无解（见图示）条件： 解的个数： 1 条件： 解的个数： 2 条件: ab 解的个数： 1 条件： 解的个数： 0 【经典范例一】例1（材例4）中，已知，试判断三角形的形状.解点评：判断三角形形状通常是通过三角形边或角的关系结合正弦或余弦定理。例2 （教材例5）在中，是的内角平分线，用正弦定理证明：证明点评：互为补角的角正弦值相等。【随堂练习一】1

6、.在中，若那么的外接圆的周长为_ 答案：2.在中, 答案： 3.在中，则 答案：2【经典范例二】例3 （教材例3）某登山队在山脚处测得山顶的仰角为，沿倾斜角为 的斜坡前进米后到达处，又测得山顶的仰角为，求山的高度。分析 要求BC，只要求AB，为此考虑解 过点D作DE/AC交BC于E,因为,所以, 于是 又 在中，由正弦定理，得 在答 山的高度约为811m.例4 判断下列三角形解的情况：（1）已知;（2）已知;（3）已知。【答案】（1）两解 （2）一解 （3）两解点评：可通过数形结合帮助判断。【随堂练习二】4. 中，那么一定是_ 答案：等腰或直角三角形5.中，为锐角，则形状为_ _ 答案：等腰直

7、角三角形【分层训练】1.形状是 答案：直角三角形2. 答案：等腰三角形3. 答案：等腰三角形 4.，试判断的形状 答案 ：等腰直角三角形 5.在，则这个三角形的内切圆半径与外接圆半径的比为 答案：4：13 6.中，已知，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x的取值范围是_ 答案：CBAD7.解 8.的外角平分线交BC的延长线于D，用正弦定理证明：证明 略9.,试判断的形状【答案】等腰或直角三角形BAC10.如图，一船在A处由西向东航行，测得某岛B在北偏东方向上，船前进5km后至C处，测得此岛在北偏东方向，已知该岛周围3km内有暗礁，如果继续东行，有无触礁危险？解 如图，船原在A处，向东行5km后

8、至C处，B处为岛。作,交AC延长线于D。所以有触礁危险【师生互动】学生质疑老师释疑第3课时 余弦定理（1）【知识结构】三角形中的向量关系余弦定理【学习目标】 1 掌握余弦定理及其证明；2 体会向量的工具性；3 能初步运用余弦定理解斜三角形【预学评价】1余弦定理：(1)，.(2) 变形：， 2利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：（）已知三边，求三个角；（）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角【经典范例一】例1 在中，（1）已知，求；（2）已知，求（精确到）解（1）由余弦定理，得，所以 （2）由余弦定理，得，所以，点评: 利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：（）已知三

9、边，求三个角；（）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角例2 两地之间隔着一个水塘，现选择另一点，测得，求两地之间的距离（精确到）解 由余弦定理，得所以，答 两地之间的距离约为例3 用余弦定理证明：在中，当为锐角时，；当为钝角时，证 当为锐角时，由余弦定理，得，即 同理可证，当为钝角时，点评:余弦定理可以看做是勾股定理的推广【随堂练习一】在中，（）已知，求a；（）已知a，求答案：（1）a答案：（2）若三条线段的长为，则用这三条线段能组成 三角形。答案：锐角在中，已知，试求的大小答案：两游艇自某地同时出发，一艇以的速度向正北行驶，另一艇以的速度向北偏东的方向行驶，问：经过，两艇相距多远？答案

10、：两艇相距4.71km【经典范例二】例4 在ABC中，=，=，且，是方程的两根，。（1） 求角C的度数；（2） 求的长；（3）求ABC的面积。解 (1) （2）因为，是方程的两根，所以 （3）例5 在ABC中，角A、B、C所对的边分别为，证明：。证明 由余弦定理知：，则，整理得: ，又由正弦定理得:， ， 【随堂练习二】1在ABC中，若，C=，则此三角形有 解。提示：由余弦定理得：负值不合题意，舍去。2ABC中，若，则A= 。答案：【分层训练】1在ABC中，已知，B=，则 。答案： 2在ABC中，已知AB=5，AC=6，BC=，则A= 。答案： 3在ABC中， 若a=,b=,A=300,则边c

11、= 。答案：2或。提示：由余弦定理，得a2=c2+b2-2cbcosA,代入整理得c2-3c+10=0,c=2或。4在ABC中，已知A=45，B=60，c =1，则a= .答案：。提示：由A+B+C=180，得 C=180-45-60=75。由正弦定理，得=， a=。5在ABC中， 已知a=5,b=12,c=13.最大内角为 度。答案：90.提示：= =0,C=900.6在ABC中，已知b=4,c=8,B=30.则a= 。答案：2。提示：（1）由正弦定理，得sin C=1。所以 C=90，A=180-90-30=60。又由正弦定理，得 a=2。7在ABC中，a=3，c=3，A=300，则角C及

12、b.解：由正弦定理得，sinC=.C=120或C=60。当C=120时，B=1800-1200-300=300，b2=32+（3）2-233cos120=9，b=3.同理当C=60，b=6.故C=120 b=3。或C=60 b=6。8在中， 已知： acosB=bcosA ,试判断形状;求证：。解:(1)由正弦定理,得 a=2RsinA,b=2RsinB ，即 acosB =bcosA。sinA cosB=sinB cosA，即 sinA cosB- cosA sinB=0， sin(A-B)=0。 A-B=0 ,A=B，为等腰三角形.(2) 证明：左边=-。由正弦定理，得，故成立。已知： =

13、 ,试判断形状。9在锐角三角形中，边a、b是方程x22x+2=0的两根，角A、B满足2sin(A+B)=0，求角C的度数，边c的长度.解：由2sin(A+B)=0，得sin(A+B)=, ABC为锐角三角形， A+B=120, C=60, 又a、b是方程x22x+2=0的两根，a+b=2, ab=2, c2=a2+b22abcosC=(a+b)23ab=126=6, c=。 10在ABC中，已知角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且 C=2Acos A=(1)求cosC和cosB的值；(2)当时，求a、b、c的值 解：(1)cosC=cos2A=2cos2A-1=； sinA=, cosC=

14、。 cosB=-cos(A+C)=sinAsinC-cosAcosC=。（2）由正弦定理得.解得a=4,c=6.再由余弦定理知b2=a2+c2-2accosB= 42+62-48=25，b=5.【师生互动】学生质疑老师释疑第4课时 余弦定理（2）【知识结构】 余弦定理航运问题中的应用判断三角形的形状【学习目标】 1能把一些简单的实际问题转化为数学问题；2余弦定理的教学要达到“记熟公式”和“运算正确”这两个目标；3初步利用定理判断三角形的形状。【预学评价】1余弦定理：(1)，.(2) 变形：， 2在ABC中，（1）已知，求c , B（2）已知，求a ,B ,C (3 ) 已知，求最小内角【经典范

15、例一】例1 .在长江某渡口处，江水以的速度向东流，一渡船在江南岸的码头出发，预定要在后到达江北岸码头，设为正北方向，已知码头在码头的北偏东，并与码头相距该渡船应按什么方向航行？速度是多少（角度精确到，速度精确到）？【解】如图，船按方向开出，方向为水流方向，以为一边、为对角线作平行四边形，其中在中，由余弦定理，得所以 因此，船的航行速度为在中，由正弦定理，得 所以 所以 答：渡船应按北偏西的方向，并以的速度航行例2 在中，已知，试判断该三角形的形状【解】由正弦定理及余弦定理，得，所以 ，整理得 因为，所以因此，为等腰三角形例3 如图，是中边上的中线，求证：证明 设，则在中，由余弦定理，得在中，由

16、余弦定理，得因为，所以，因此， 【随堂练习一】1ABC中，已知(abc)(bca)3bc，且sinA2sinBcosC，判断ABC的形状2ABC中，已知2abc，且sin2AsinBcosC，判断ABC的形状3在中，如果，那么cos等于 答案：【经典范例二】例4 在ABC中，设，且，请判断三角形的形状。解 由,即而，得而由得而，三角形为等边三角形。【随堂练习二】1.如图，长的梯子靠在斜壁上，梯脚与壁基相距1.5，梯顶在沿着壁向上6的地方，求壁面和地面所成的角（精确到.）答案：2. 在ABC中，已知a，试证明此三角形为锐角三角形【分层训练】1在ABC中，A60，b1，其面积为，则等于 。 答案：

17、 2. a,b,c是ABC的三边，且B=1200,则a2+ac+c2-b2的值为 .答案：0.提示：由余弦定理，得b2=a2+c2-2accosB= a2+ac+c2.3在ABC中，若a=50，b=25, A=45则B= .答案： 60或120。提示：由正弦定理得，sinB=,故B=60或120。4.在ABC中，有等式：asinA=bsinB；asinB=bsinA；acosB=bcosA；. 其中恒成立的等式序号为_.答案：。提示：不符合正弦定理；两边同除以sinAsinB即为正弦定理；取A=900,便知等式不成立；正弦定理结合等比定理可得。5.在中，分别为三个内角A、B、C所对的边,设向量

18、，若向量，则角C 的大小为 。答案：【解析】本题是向量与解三角形的综合问题，解决的关键是联想余弦定理求解。由得(a+c)(c-a)=b(b-a),即a2+b2-c2=ab.由余弦定理得.6在ABC中，若BC=5，CA=7，AB=8，则ABC的最大角与最小角之和是 。答案：1200.提示：由余弦定理知cosB=,B=600,A+C=1200.7在ABC中，设，且，求AB的长答案：8用余弦定理证明：在中，（）coscos；（）coscos；（）coscos9在ABC中，已知边c=10, 又知=，求a、b及ABC的内切圆的半径。解：由=，=,可得 =，变形为sinAcosA=sinBcosBsin2

19、A=sin2B, 又ab, 2A=2B, A+B=. ABC为直角三角形.由a2+b2=102和=，解得a=6, b=8, 内切圆的半径为r=210锐角三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，=(a-b,c), =(a-c,a+b)，且与共线。（I）求角B的大小；（II）设,求y的最大值及此时C的大小。解（I）与共线，(a-b)(a+b)-c(a-c)=0, . （II） 当，即时，y取最大值2。【师生互动】学生质疑老师释疑第7课 本章复习与小结【知识结构】解三角形正弦定理余弦定理正弦定理的变形形式余弦定理的变形形式解三角形应用举例测量实习【学习目标】1.通过对任意三角形边长和角

20、度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.【预学评价】1. 在ABC 中，则A等于 . 答案:1202. 在ABC中，若a=2bsinA,则B为 .答案:或3. 在ABC中，则ABC的面积为 .答案: 4. 在ABC 中，sinA:sinB:sinC=3:2:4，则cosC的值为 . 答案： 5. 在中，若，则的形状是 .答案:直角三角形6. 在ABC中，若C=3B，求的取值范围. 答案: 因为，所以，所以因为，所以，故【经典范例一】例1 已知在ABC中，A=60，a= ，求.答案：

21、2例2 设为钝角三角形的三边，求实数的取值范围.解：因为是三角形的三边，所以，解得，此时最大要使表示三角形的三边，还需，解得设最长边所对的角为，则，解得所以的取值范围是解题策略：本题实质上是求能构成钝角三角形三边的充要条件，除了要保证三边长均为正数外，还应满足两边之和大于第三边。例3 在ABC中，BC=a，AC=b，a,b是方程的两个根，且2cos(A+B)=1,求（1）角C的度数；（2）A的长度；（3）三角形ABC的面积解：（1）cosC = cosp-(A+B) = -cos(A+B) = - C = 120（2）由题设： 所以AB2=AC2 + BC2 -2ACBCcosC =10 即A

22、B=（3）SABC = 【随堂练习一】1. 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c = 2a，则 答案: 2. 在ABC中，已知a，b，B45，求角A、C及边c解: A160 C175 c1A2120 C215 c23. 在ABC中，已知，B = 60，求b及A；解：（1）因为=8所以求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一：因为cos所以A = 60解法二：因为sin又因为所以a c，及0 A 38所以船继续向南航行无触礁危险。例5 如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC。问：点B在什

23、么位置时，四边形OACB面积最大？解：设，在AOB中，由余弦定理得： =于是，四边形OACB的面积为S=SAOB+ SABC因为，所以当，即时，四边形OACB面积最大变式训练4：如图所示，某海岛上一观察哨A上午11时测得一轮船在海岛北偏东60的C处，12时20分测得船在海岛北偏西60的B处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5 km的E港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速多少？解：轮船从C到B用时80分钟，从B到E用时20分钟， 而船始终匀速前进，由此可见：BC=4EB，设EB=，则则BC=4，由已知得，EC中，由正弦定理得：所以在ABC中，由正弦定理得：所以在ABE中，由余弦定理得

24、：故所以船速 答：该船的速度为km/h【随堂练习二】4. 代号为“狂飙”的台风于某日晚8点在距港口的A码头南偏东60的400千米的海面上形成，预计台风中心将以40千米时的速度向正北方向移动，离台风中心350千米的范围都会受到台风影响，则A码头从受到台风影响到影响结束，将持续的时间为_ _小时答案:2.5小时5. 隔河看两目标和，但不能到达，在岸边选取相距km的和两点，同时，测得，（在同一个平面），求两目标之间的距离。 答案：【分层练习】1.在中，若，则为 三角形答案：等腰2.如果满足，的ABC恰有一个，则的取值范围是 答案：或3. 如图，从山顶望地面上两点，测得它们的俯角分 别为45和30，已

25、知=100米，点位于上，则山高等于 .答案:米。第4题第3题4. 如图，线段、分别表示甲、乙两楼，从甲楼顶部处测得乙楼顶部的仰角为=30，测得乙楼底部的俯角=60，已知甲楼高=24米，则乙楼 高=_米。 答案:325. 2002年8月，在北京召开了国际数学家大会，大会会标如图所示，它是由四同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形面积是1，小正方形的面积是，则的值是（）答案:第6题第5题6. 如图一个三角形的绿地，边长7米，由点看的张角为，在边上一点处看得张角为 ，且，则这块绿地得面积为 .答案:7.在ABC中，若则ABC的 形状是什么？解：或，得或所以ABC是直角三角形8.在ABC中，若，则求证： 证明：要证，只要证，即 而所以原式成立 9.在ABC中，若则ABC的形状是_ 答案：直角三角形 解析：10. 在湖面上高h处，测得云彩仰角为a，而湖中云彩影的俯角为b，求云彩高.解:C、C关于点B对称，设云高CE = x，则CD = x - h，CD = x + h， 在RtACD中，在RtACD中，, 解得 【师生互动】学生质疑老师释疑- 37 -