7函数与不等式--恒成立与存在性问题-学生版.doc
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1、课题:函数与不等式 恒成立与存在性问题要注意把不等式问题、方程问题转化为函数的单调性、极值、最值进行研究,这是高考命制压轴题的一个考查点一、恒成立问题(一)主干知识整合1在代数综合问题中常遇到恒成立问题恒成立问题涉及常见函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,恒成立问题的解题的基本思路是:根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化,正确选用函数法、最小值法、数形结合法等解题方法求解2恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型:(1)xD,f(x) C;(2)xD,f(x) g(x);(3)x1,x2D,|f(x1)f(x2)|C; (4)x1,x2D,|f(x1)f(
2、x2)|a|x1x2|.3不等式恒成立问题的处理方法(1)转换求函数的最值若不等式Af(x)在区间D上恒成立,则等价于在区间D上Af(x)在区间D上恒成立,则等价于在区间D上Bf(x)maxf(x)的上界小于B.(2)分离参数法将参数与变量分离,即化为g()f(x)(或g()f(x)恒成立的形式;求f(x)在xD上的最大(或最小)值;解不等式g()f(x)max(或g()f(x)min),得的取值范围(3)转换成函数图象问题若不等式f(x)g(x)在区间D上恒成立,则等价于在区间D上函数yf(x)的图象在函数yg(x)的图象上方;若不等式f(x)c的恒成立问题时,如果函数f(x)含有参数,一般
3、有两种处理方法:一是参数分离,将含参数函数转化为不含参数的函数,再求出最值即可;二是如果不能参数分离,可以用分类讨论处理函数f(x)的最值变式新题:已知函数f(x)x|xa|2x求a的取值范围,使得对任意x1,2时,函数f(x)的图象恒在函数g(x)2x1图象的下方探究点二 x1,x2D,|f(x1)f(x2)|C的研究对于形如x1,x2D,|f(x1) f(x2)|C的问题,因为|f(x1) f(x2)| f(x)maxf(x)min,所以原命题等价为f(x)maxf(x)minC.例2 已知函数f(x)ax3bx23x(a,bR),在点(1,f(1)处的切线方程为y20.(1)求函数f(x
4、)的解析式;(2)若对于区间2,2上任意两个自变量的值x1,x2,都有|f(x1)f(x2)|c,求实数c的最小值【点评】 在处理这类问题时,因为x1,x2是两个不相关的变量,所以可以等价为函数f(x)在区间D上的函数差的最大值小于c,如果x1,x2是两个相关变量,则需要代入x1,x2之间的关系式转化为一元问题变式新题:(江苏省无锡市洛社中学2012届高三12月改)已知二次函数g(x)对任意实数x都满足令(1)若使成立,求实数m的取值范围; (2)设,证明:对,恒有 探究点三 x1,x2D,|f(x1)f(x2)|a|x1x2|的研究形如x1,x2D,|f(x1) f(x2)|a|x1x2|这
5、样的问题,首先需要根据函数f(x)的单调性去掉|f(x1)f(x2)|a|x1x2|中的绝对值符号,再构造函数g(x)f(x) ax,从而将问题转化为新函数g(x)的单调性例3(南京市2011届高三第一次模拟考试)已知函数f(x)x1alnx(aR)(1)求证:f(x)0恒成立的充要条件是a1;(2)若ag(x)的研究对于xD,f(x)g(x)的研究,先设h(x)f(x)g(x),再等价为xD,h(x)max0,其中若g(x)c,则等价为xD,f(x)maxc.例1 已知函数f(x)x3ax210.(1)当a1时,求曲线yf(x)在点(2,f(2)处的切线方程;(2)在区间1,2内至少存在一个
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