2018全国高考理科数学试题及答案解析-全国卷.docx

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1、 2017 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷 5 页，23 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂

2、改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合 A=x|x1，B=x|3x1，则= x | x 1= D A BA A BB A B RC2如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是1412ABCD843设有下面四个命题1R，则 z R ； p ：若复数 z 满足 z2 R ，则 z R ；2p ：若复数 z

3、 满足1zRz R，则 .p ：若复数 z , z 满足 z z3R，则z = z1；p ：若复数 z4121 22其中的真命题为A p , pB p , pC p , pD p , p13142324+ a = 24 S = 48 ，则a 的公差为4记 S 为等差数列a 的前n 项和若a，nn456nA1B2C4D85函数 f (x) 在(-,+)单调递减，且为奇函数若f (1) = -1，则满足-1 f (x - 2) 1的 x 的取值范围是 A-2,2B-1,1C0,4D1,31+ )(1+ x)6(1展开式中 x2的系数为6x2A15B20C30D357某多面体的三视图如图所示，其中正

4、视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A10B12C14D168右面程序框图是为了求出满足3n 2n1000 的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入AA1 000 和 n=n+1BA1 000 和 n=n+2CA 1 000 和 n=n+1DA 1 000 和 n=n+229已知曲线 C ：y=cos x，C ：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是123A把 C 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得16到曲线 C2B把 C 上

5、各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，121得到曲线 C21C把 C 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，126得到曲线 C21D把 C 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，1212得到曲线 C2 10已知 F 为抛物线 C：y =4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l ，l ，直线 l 与 C 交于 A、B 两点，直2121线 l 与 C 交于 D、E 两点，则|AB|+|DE|的最小值为2A16B14C12D10= 3 = 511设 xyz 为正数，且

6、2xA2x3y5z，则yzB5z2x3yC3y5z2xD3y2x100 且该数列的前N 项和为2 的整数幂。那么012该款软件的激活码是A440B330C220D110二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知向量 a，b 的夹角为 60，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= .x + 2y 1+ y -1= -，则 z 3x 2y 的最小值为 .14设 x，y 满足约束条件2xx - y 0xy2215已知双曲线C： -= （a0，b0）的右顶点为A，以 A 为圆心，b 为半径做圆 A，圆 A 与双曲线1ab22C 的一条渐近线交于 M、N 两点。若MA

7、N=60，则 C 的离心率为_。16如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O。D、E、F 为圆 O上的点， DBC， ECA， FAB 分别是以 BC，CA，AB 为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB 为折痕折起 DBC， ECA， FAB，使得 D、E、F 重合，得到三棱锥。当 ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm ）的最大值为_。3三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 6

8、0 分。a217（12 分） ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ABC 的面积为3sin A（1）求 sinBsinC;（2）若 6cosBcosC=1，a=3，求 ABC 的周长. 18.（12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，ABBAP = CDP = 90（1）证明：平面 PAB平面 PAD；（2）若 PA=PD=AB=DC，APD = 90，求二面角 A PB C 的余弦值.19（12 分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并测量其尺寸（单位：cm）根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件

9、的尺寸服从正态分(m,s )布 N2 （1）假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在(m - 3s,m + 3s)之外的零件P(X 1)数，求及 的数学期望；X（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(m - 3s,m + 3s)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查（）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸：1111616x=x = 9.97 s=x x( - ) =2(x2-16 ) 0.212x，其中 为抽取x2 2经计算得，161616iiiii=1i=1i=

10、1的第i 个零件的尺寸，i =1,2,16msm用样本平均数 作为 的估计值 ，用样本标准差 s 作为 的估计值s ，利用估计值判断是否需对x当天的生产过程进行检查剔除(m - 3s,m + 3s)m s之外的数据，用剩下的数据估计 和 （精确到）(m,s )(m -3sm 3s) 0.997 4 b0），四点 P （1,1），P （0,1），P （1，），P （1，）中恰有221234b2三点在椭圆 C 上.（1）求 C 的方程；（2）设直线 l 不经过 P 点且与 C 相交于 A，B 两点。若直线 P A 与直线 P B 的斜率的和为1，证明：l222过定点.21.（12 分） 已知函数a

11、e +(a2) e x.（f x) = 2xx（1）讨论 f (x) 的单调性；（2）若有两个零点，求 a 的取值范围.f (x)（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）x = 3cos ,q在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（ 为参数），直线 l 的参数方程为= sinq,yx = a + 4t,（t为参数）.y =1- t,（1）若 a= 1，求 C 与 l 的交点坐标；（2）若 C 上的点到 l 的距离的最大值为23选修 45：不等式选讲（10 分），求 a.17已知函

12、数 f（x）=x +ax+4，g(x)=x+1+x1.2（1）当 a=1 时，求不等式 f（x）g（x）的解集；（2）若不等式 f（x）g（x）的解集包含1，1，求 a 的取值范围. 2017 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案一、选择题：本题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. A 2B3B4C5D6C7B8D 9D10A 11D 12A二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。2 313 2 314-51516 15cm33三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17

13、21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。a217（12 分） ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ABC 的面积为3sin A（1）求 sinBsinC;（2）若 6cosBcosC=1，a=3，求 ABC 的周长.解：（1）1a2= bcsin A =由题意可得 S化简可得2a2，DABC23sin A= 3bcsin A，223= 3sin BsinCsin A sin BsinC =根据正弦定理化简可得：2sin A2。2（2）23sin BsinC =2p( )1 cos A = -co

14、s A + B = sin BsinC- cos BcosC = A =由 ，1623cos BcosC =p= - C因此可得 B，323 p312=-=-sin2C 0 ，=将之代入sin BsinC中可得：sinC sin Csin C cosC 32pp3= C = ,B =化简可得 tanC，366 a3 1sin B = = 33 2=利用正弦定理可得b，sin A2= 3同理可得c，+ 2 3故而三角形的周长为318.（12 分）。如图，在四棱锥 PABCD 中，ABBAP = CDP = 90（1）证明：平面 PAB平面 PAD；（2）若 PA=PD=AB=DC，APD = 9

15、0，求二面角 A PB C 的余弦值.（1）证明：AB / /CD,CD PD AB PD ,又 AB PA,PA PD = P,PA、PD 都在平面 PAD 内， PAD故而可得 AB又 AB 在平面 PAB 内，故而平面 PAB平面 PAD。（2）解：不妨设 PA。= PD = AB = CD = 2a，以 AD 中点 O 为原点，OA 为 x 轴，OP 为 z 轴建立平面直角坐标系。( ) ( ) ( ) ( )- 2a,2 a,0故而可得各点坐标： P 0,0, 2a , A 2a,0,0 , B 2a,2 a,0 ,C，() () ()，= 2a,0, - 2a , PB = 2a,

16、2 a,- 2a , PC = - 2a,2 a,- 2a因此可得 PA( )( )n = m,n,1，= x, y,1假设平面 PAB 的法向量n，平面的法向量PBC12 PA = 2ax - 2a = 0 x = 1n( )= 1,0,1故而可得，即n，1 PB = 2ax - 2ay - 2a = 0 y = 01n1n PC = - 2am + 2an - 2a = 0 m = 022= 0,1同理可得，即n 。222 PB = 2am + 2an - 2a = 0 n =n22 13cos =因此法向量的夹角余弦值：。323122 3很明显，这是一个钝角，故而可得余弦为-。319（1

17、2 分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并测量其尺寸（单位：cm）根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分(m,s )布 N2 （1）假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在(m - 3s,m + 3s)数，求 P(X 1)之外的零件及 的数学期望；X（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(m - 3s,m + 3s)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查（）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（）下面是检验员在一天内抽取的 1

18、6 个零件的尺寸：1111616=x = 9.97 ，s=x x( - ) =2(2-16x2)2 0.212，其中 为抽取x经计算得 xx161616iiiii=1i=1i=1=1,2,16的第 个零件的尺寸，iimsm用样本平均数 x 作为 的估计值 ，用样本标准差 s 作为 的估计值s ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查剔除(m - 3s,m + 3s)ms之外的数据，用剩下的数据估计 和 （精确到）附：若随机变量 Z 服从正态分布 N(m,s )2 ，则 P(m -3sm 3s) 0.997 4 +，=Z0.997 416= 0.959 2 ， 0.008 0.09 ( )

19、( )1 =1- P X = 0 =1- 0.997416=1- 0.9592 = 0.0408解：（1） P X()， B 16,0.0016由题意可得，X 满足二项分布 X()16,0.0016 =160.0016 = 0.0256因此可得 EX（2）( )1 = 0.0408 b0），四点 P （1,1），P （0,1），P （1，），P （1，）中恰有1234a2b222三点在椭圆 C 上.（1）求 C 的方程；（2）设直线 l 不经过 P 点且与 C 相交于 A，B 两点。若直线 P A 与直线 P B 的斜率的和为1，证明：l222过定点.解：（1）3根据椭圆对称性可得，P （1,

20、1）P （1，）不可能同时在椭圆上，14233P （1，），P （1，）一定同时在椭圆上，342233因此可得椭圆经过 P （0,1），P （1，），P （1，），234221 3=1, + =1 a = 2a2 4代入椭圆方程可得：b，x2+ y = 1故而可得椭圆的标准方程为：。24（2）由题意可得直线 P A 与直线 P B 的斜率一定存在，22( )+= kx +1= -,P B 为： y 1 k x 1.不妨设直线 P A 为： y22y = kx +1( )2 4k +1 x + 8kx = 0联立 ，x22+ y = 12 4( ) ( )假设 A x , y ， B x , y

21、 此时可得：1122 ( )( ) + -8k 1 4k-+-8 1 k1 4 1 k 22,B ，A,( )( )+1 4 1+ k +14k +1 4k +14 1 k+2222 ( )1- 4 1+ k 2 1- 4k2-( )+1y - y4 1+ k +1 4k22=1此时可求得直线的斜率为：k，( )2x - x8 1+ k-8kAB21-( )4k +14 1+ k 2 +1211= - -化简可得k，此时满足k。( )2AB1+ 2k212= - -当 k当 k时，AB 两点重合，不合题意。18k 1- 4k122= -x+时，直线方程为： y，( )4k+14k +11 2k

22、 2+22(4k + 4k -1+ x)2( )= -1 ，因此直线恒过定点 2,-1。= -=，当 x 2 时， y即 y( )21+ 2k21.（12 分）已知函数ae +(a2) e x.（f x) = 2xx（1）讨论 f (x) 的单调性；（2）若有两个零点，求 a 的取值范围.f (x)解：( )( )( )( )x= 2ae + a - 2 e -1 = ae -1 e +1（1）对函数进行求导可得 f x。2xxx( )( )( ) 0 0=- + ae 1 e 1 0恒成立，故而函数恒递减当 a当 a时， f xxx( )( )11 ( )时， f xae 1 e 1 0 x

23、 ln ，故而可得函数在 -,ln-+ 上单调递xxaa 1+减，在 ln , a上单调递增。 1 1 0= ln a - +1（2）函数有两个零点，故而可得a，此时函数有极小值 f ln， a a要使得函数有两个零点，亦即极小值小于0，1( ) ( )1lna - +1 0g a = lna - +1，故而可得，令aa( ) a +1= 0，故而函数恒递增，对函数进行求导即可得到g aa2( )又g 1( )， g a lna1= 0 =1 0 a 1，- + 11 x 1- ( )= x +1 + x -1将函数 g x( )=化简可得 g x 2-2x x ，则 P 为2n $ （B）

24、n N, n 2（A） n N, n 22n2n $ （D） n N, n = 2（C） n N, n 22n2n（4）投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（A）（B）（C）（D）x2M (x , y ) 是双曲线C : - y =1上的一点，F , F是 上的两个焦点，若 MF MF 0，C（5）已知22001212则 y 的取值范围是0 3333（A）（-，）（B）（-（D）（，）33662 2 2 2，2 3 2 3，-（C）（）3333（6）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著

25、，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少”已知1 斛米的体积约为立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放斛的米约有斛斛斛斛= 3CD（7）设 D 为 ABC 所在平面内一点 BC，则134AB + AC314= -(B) AD = AB - AC（A） AD（C） AD334141= AB + ACAD = AB - AC(D)3333w j= cos( x + )(8)函数 f (x)的部分图像如图所示，则f (x) 的单调

26、递减区间为14313pppp-,k + ),k Z(B) (2k - ,2k + ),k Z(A)(k4441313- ,k + ),k Z(2k - ,2k + ),k Z(D)(C) (k4444 （9）执行右面的程序框图，如果输入的 t=，则输出的 n=（A）5（B）6 （C）7 （D）8+ x + y)（10）(x的展开式中，的系数为x5 y252（A）10（B）20（C）30（D）60（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯rp视图如图所示。若该几何体的表面积为 16 + 20 ，则 =r（A）1（B）2（C）4（D）8 = e

27、 (2x -1)- ax + ax0f (x ) 0，（）求an的通项公式：（）设,求数列的前 n 项和（18）如图，四边形 ABCD 为菱形，ABC=120，E，F 是平面 ABCD 同一侧的两点，BE平面 ABCD，DF平面 ABCD，BE=2DF，AEEC。（1）证明：平面 AEC平面 AFC（2）求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值 （19）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润 z（单位：千元）的影响，对近8 年的年宣传费 x1 和年销售量 y1（i=1,2，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值

28、。y1111xw（w - ）wx22xy1111x+1x+1x+1x+1y1469181表中 w =ww1x，1,1x+1（1） 根据散点图判断，y=a+bx 与 y=c+d哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型x（给出判断即可，不必说明理由）（）根据（）的判断结果及表中数据，建立y 关于 x 的回归方程；（）以知这种产品的年利率 z 与 x、y 的关系为 z=。根据（）的结果回答下列问题：（i） 年宣传费 x=49 时，年销售量及年利润的预报值是多少（ii） 年宣传费 x 为何值时，年利率的预报值最大a bv ）,其回归线 v= + u 的斜率和截距的最小二乘附：对于一

29、组数据（u v ）,（u v ）. （u1122nn估计分别为：（20）（本小题满分 12 分） x2在直角坐标系 xoy 中，曲线 C：y=与直线 y=ks+a(a0)交与 M,N 两点，4（）当 k=0 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程；（）y 轴上是否存在点 P，使得当 K 变动时，总有OPM=OPN 说明理由。（21）（本小题满分 12 分）1+ ax + , g(x) = -ln x已知函数 f（x）= x34= f (x)()当 a 为何值时，x 轴为曲线 y的切线； （）用min点的个数m,n 表示 m,n 中的最小值，设函数h(x)= min f (x),g(x) (x 0)，讨论 h（x）零请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。（22）（本题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，AB 是O 的直径，AC 是C 的 Q 切线，BC 交O 于 E（I）若 D 为 AC 的中点