十二章节无穷级数.ppt

《十二章节无穷级数.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《十二章节无穷级数.ppt（20页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、十二章节无穷级数 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望1 常数项级数的概念及其性质常数项级数的概念及其性质一、基本概念一、基本概念定义定义给了数列给了数列将它们依次用加号连接起来而得的表达式将它们依次用加号连接起来而得的表达式称为常数项无穷级数，称为常数项无穷级数，简称常数项级数，简称常数项级数，或级数，或级数，记为记为，即，即给了级数给了级数设设为任一正整数，为任一正整数，定义定义为级数为级数的前的前项部分和。项部分和。部分和数列部分和数列定义定义 若

2、级数若级数的部分和数列的部分和数列的极限存在，的极限存在，极限值记为极限值记为，即即则称级数则称级数是收敛的，是收敛的，并称极限值并称极限值为级数为级数的和，的和，记为记为若若的极限不存在，的极限不存在，则称级数则称级数是发散的。是发散的。.例例1 讨论等比级数（又称几何级数）讨论等比级数（又称几何级数）的收敛性。的收敛性。解解级数级数的前的前 项部分和项部分和，讨论讨论:收敛，收敛，且其和为且其和为发散。发散。发散。发散。不存在不存在由由(1)(2)(3)得：得：收敛，收敛，发散，发散，且和为且和为，证证级数级数的前的前项部分和项部分和发散。发散。例例2 证明级数证明级数是发散的。是发散的。

3、解解例例3 判定级数判定级数的收敛性。的收敛性。收敛。收敛。证证例例4 证明调和级数证明调和级数是发散的。是发散的。（反证）（反证）假设假设是收敛的。是收敛的。设它的部分和为设它的部分和为则则存在，存在，记极限值为记极限值为，即，即,即即(*)另一方面，另一方面，这与这与(*)式矛盾！式矛盾！是发散的。是发散的。二、级数的基本性质二、级数的基本性质1、若若收敛，收敛，设其和为设其和为，则，则也收敛，也收敛，且其和为且其和为.2、若若收敛，收敛，其和为其和为则则收敛，收敛，其和为其和为(1)收敛，收敛，且其和为且其和为(2)收敛，收敛，且其和为且其和为3、在级数的前面或中间在级数的前面或中间,去

4、掉、添加或改变去掉、添加或改变有限项，有限项，所得级数与原级数的收敛性相同。所得级数与原级数的收敛性相同。注意：注意：和变了和变了（）4、若一个级数收敛，若一个级数收敛，则对其项任意加括号后则对其项任意加括号后所得级数也收敛，所得级数也收敛，且其和不变。且其和不变。注意：注意：反之不然反之不然（）反例：反例：不存在不存在发散发散即即()()收敛收敛但但发散发散的部分和的部分和加括号加括号性质性质4 的逆否命题：的逆否命题：若一个级数加括号后所得级数发散，若一个级数加括号后所得级数发散，则原级数也发散。则原级数也发散。说明：说明：可利用这个命题，来判断一个级数是发散的。可利用这个命题，来判断一个级数是发散的。三、三、级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件定义定义设设收敛，收敛，其和为其和为，设它的前设它的前项部分和为项部分和为，称称为为的余项，的余项，记为记为，即即定理定理若若收敛，收敛，则则证证设设的部分和为的部分和为收敛收敛注意注意 其逆命题不对。其逆命题不对。反例：反例：但但发散。发散。推论推论若若，则则发散。发散。例例发散发散发散发散作业：作业：P254,1(1)(3)，2(3)(4),3,4