十二章节常微分方程数值解法.ppt

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1、十二章节常微分方程数值解法 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望第十二讲主要知识点欧拉（欧拉（Euler）方法、向后欧拉法、梯形法及梯形）方法、向后欧拉法、梯形法及梯形法的预估校正法法的预估校正法欧拉法的收敛性欧拉法的收敛性龙格库塔方法、线性多步法、预估校正法龙格库塔方法、线性多步法、预估校正法*。一阶微分方程组与高阶微分方程的数值解法一阶微分方程组与高阶微分方程的数值解法*2问题的提出在解决科技领域的实际应用问题时，常微分方程求解在解决科技领域的实际应

2、用问题时，常微分方程求解是常见的。本章着重讨论一阶方程初值问题是常见的。本章着重讨论一阶方程初值问题的数值解法。对高阶方程和微分方程组的数值解，的数值解法。对高阶方程和微分方程组的数值解，其基本思想是完全一样的其基本思想是完全一样的解初值问题有多种解解初值问题有多种解析方法，但解析法只能对一些特殊类型的方程才析方法，但解析法只能对一些特殊类型的方程才能求出其准确解，多数情况只能用近似方法求解。能求出其准确解，多数情况只能用近似方法求解。初值问题的数值解法，就是寻求方程的解初值问题的数值解法，就是寻求方程的解在自变量在自变量的一系列离散节点上的近似值。的一系列离散节点上的近似值。3问题的提出(续

3、1)初值问题初值问题4问题的提出(续2)相邻两节点间的距离相邻两节点间的距离 称为步长，通称为步长，通常在计算上采用相等的步长常在计算上采用相等的步长 ，这时等距节，这时等距节点点 ，初值问题的数值解法的基本特点是：求解过程是初值问题的数值解法的基本特点是：求解过程是顺着节点排列的顺序一步一步的向前推进，即按顺着节点排列的顺序一步一步的向前推进，即按递推方法由已知的递推方法由已知的 求出求出 。所。所以，初值问题的数值解法就是建立这种递推公式。以，初值问题的数值解法就是建立这种递推公式。5问题的提出(续3)将微分方程两端从将微分方程两端从到到积分，得积分，得这样，求原初值问题式的解，转化为求问

4、题式这样，求原初值问题式的解，转化为求问题式的解的解,利用各种求积公式就可以得到一些求利用各种求积公式就可以得到一些求的近似公式。的近似公式。6Euler 方法(推导2）差商方法差商方法7Euler方法数值积分方法数值积分方法8Euler方法(续)数值积分方法数值积分方法9隐式Euler方法向后差商向后差商10二步Euler方法中心差商中心差商11梯形公式12梯形公式(续)梯形公式梯形公式(见上页见上页)，实际上是，实际上是Euler方法和隐式方法和隐式Euler方法的算术平均。方法的算术平均。梯形公式的精度为二阶。梯形公式的精度为二阶。例：用梯形公式求下列初值问题的解在例：用梯形公式求下列初

5、值问题的解在 13改进的Euler方法改进的改进的Euler方法为方法为Euler方法和梯形公式的结合，方法和梯形公式的结合，也称作预估也称作预估-校正法。校正法。14改进的Euler方法(续1)嵌套形式嵌套形式15改进的Euler方法(续2)16局部截断误差称一种数值方法是称一种数值方法是p p阶的，如果其局部截断误差阶的，如果其局部截断误差为为 。EulerEuler方法和隐式方法和隐式EulerEuler方法的精度是一阶的。方法的精度是一阶的。二步二步EulerEuler方法的精度是二阶的。方法的精度是二阶的。17龙格-库塔方法改进的改进的EulerEuler方法也可写成方法也可写成18

6、二阶龙格-库塔方法19二阶龙格-库塔方法(续1)要使二阶方法的局部截断误差为要使二阶方法的局部截断误差为 ，四个系，四个系数值应满足下列关系式：数值应满足下列关系式：20二阶龙格-库塔方法(续2)特例特例1 1：21二阶龙格-库塔方法(续3)特例特例2 2：22三阶龙格库塔方法23四阶龙格库塔方法24例题分析25两点说明26变步长的龙格库塔方法27公式28线性多步法29线性多步公式的导出30线性多步公式的导出(续1)31线性多步公式的导出(续2)32线性多步公式的导出(续3)33线性多步公式的导出(续4)34线性多步公式35常用的线性多步公式36常用的线性多步公式(续)37利用数值积分方法求线性多步公式38利用数值积分方法求线性多步公式(续1)39利用数值积分方法求线性多步公式(续2)40利用数值积分方法求线性多步公式(续3)41利用数值积分方法求线性多步公式(续4)42利用数值积分方法求线性多步公式(续5)43线性多步法小结44本讲结束！谢谢大家！再见！45