最新定积分的应用2PPT课件.ppt

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1、定积分的应用定积分的应用2 2定义定义1 设平面曲线设平面曲线 C 由以下参数方程表示由以下参数方程表示:3 平面曲线的弧长与曲率本节定义光滑曲线的弧长本节定义光滑曲线的弧长,并用定积分给出弧长计并用定积分给出弧长计算公式算公式.一、平面曲线的弧长因此当因此当 f 在在 a,b 上连续可微时上连续可微时,示示,则则 C 又又可看作可看作注注1 若曲线若曲线 C 由直角坐标方程由直角坐标方程表示表示,则则 C 亦可看作亦可看作注注2 若曲线若曲线 C 由极坐标方程由极坐标方程由于由于解解例例1a例例 2解解解解段段弧长弧长.例例3 4 旋转曲面的面积 定积分的所有应用问题,都可按“分用以导出旋转

2、曲面面积的计算公式.“微元法”来处理.本节将介绍微元法,并量的积分形式,但在实际应用中又常用割、近似、求极限”三个步骤导出所求这段曲线绕这段曲线绕 x 轴旋转一周得到旋转曲面轴旋转一周得到旋转曲面(如下图如下图).设平面光滑曲线设平面光滑曲线 C 的方程为的方程为通过通过 x 轴上点轴上点 x 与与 分别作垂直于分别作垂直于 x 轴的平轴的平 其中其中由于由于时时,此狭带的面积近似于一圆台的侧面积此狭带的面积近似于一圆台的侧面积,即即面面,它们在旋转曲面上截下一条狭带它们在旋转曲面上截下一条狭带.当很小当很小因此由的连续性可以保证因此由的连续性可以保证所以得到所以得到如果光滑曲线由参数方程如果

3、光滑曲线由参数方程给出给出,且且则曲线则曲线 C 绕绕 x 轴旋转所得旋转轴旋转所得旋转曲面的面积为曲面的面积为例例1 求将椭圆求将椭圆绕绕 x 轴旋转轴旋转所得所得椭球面的面积椭球面的面积.解解 将上半椭圆写成参数方程将上半椭圆写成参数方程令令例例2 求心脏线求心脏线绕极轴旋转所得曲绕极轴旋转所得曲面的面积面的面积.当然，这也可从上面已求得的椭球面的面积而得当然，这也可从上面已求得的椭球面的面积而得,解解 将曲线用参数方程表示将曲线用参数方程表示:于是于是请读者自行指出这应该怎么做？请读者自行指出这应该怎么做？*6 定积分的近似计算 利用牛顿-莱布尼茨公式虽然可以精确计近似计算方法.数能够求

4、出的情形.我们这里介绍定积分的算定积分的值,但它仅适合被积函数的原函根据定积分的定义根据定积分的定义,在几何意义上在几何意义上,这是用一系列小矩形来近似小曲边这是用一系列小矩形来近似小曲边两种方法两种方法.法法.矩形法的精度较差，通常使用下面着重介绍的矩形法的精度较差，通常使用下面着重介绍的梯形面积的结果梯形面积的结果,所以把这个近似计算法称为所以把这个近似计算法称为矩形矩形一、梯形法 将将积积分区分区间间相应的被积函数值记为相应的被积函数值记为 曲曲线线 上相应的点记为上相应的点记为 将曲将曲线线上每一段上每一段 这使每个小这使每个小于是于是,整个曲边梯形面积的近似值为整个曲边梯形面积的近似

5、值为 即即 曲边梯形换成了梯形曲边梯形换成了梯形,其面积为其面积为以上近似式称以上近似式称为为定定积积分的梯形法公式分的梯形法公式.二、抛物线法由梯形法求定由梯形法求定积积分的近似分的近似值值,当当 为凸曲为凸曲线线时时偏大偏大,为为凹曲凹曲线时线时偏小偏小.用抛物用抛物线线法可克服上法可克服上述缺点述缺点.将将积积分区分区间间 分点为分点为:相应的被积函数值记为相应的被积函数值记为曲曲线线 上相应的点上相应的点记记为为现现把区把区间间上的曲上的曲线线用通用通过过三点三点 的抛物的抛物线线 来近似替代来近似替代,便有便有 将得到将得到 最后得到最后得到 即即 这就是抛物线公式，亦称为辛普森公式

6、这就是抛物线公式，亦称为辛普森公式.例例 计计算算 的近似值的近似值.解解 将区将区间间 十等分，各分点上被积函数的值列十等分，各分点上被积函数的值列表如下：表如下：xi00.10.20.30.40.5yi10.99009900.96153850.91743120.86206900.8000000 xi0.60.70.80.91yi0.73529410.67114090.60975610.55248620.5(1)用矩形法公式用矩形法公式(2)用梯形法用梯形法(3)用抛物线法用抛物线法 与精确值与精确值 相比较，矩形法只有一位有效数字是准确的相比较，矩形法只有一位有效数字是准确的;梯梯位有效数字是准确的位有效数字是准确的.形法有三位有效数字是准确的形法有三位有效数字是准确的;后而抛物线法有六后而抛物线法有六结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！33