最新定积分的近似计算99260PPT课件.ppt

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1、定积分的近似计算99260所谓定积分的近似计算，就是找到一个适当的所谓定积分的近似计算，就是找到一个适当的计算公式，利用被积函数在积分区间上若干个计算公式，利用被积函数在积分区间上若干个点处的函数值，来计算定积分的近似值，并作点处的函数值，来计算定积分的近似值，并作出误差估计。我们知道，定积分出误差估计。我们知道，定积分 在几在几何上表示何上表示 曲线，直线曲线，直线 及及x轴所围成的曲边梯形的面积。定积分近似计轴所围成的曲边梯形的面积。定积分近似计算的思想，就是将积分区间分割成许多小区间，算的思想，就是将积分区间分割成许多小区间，然后在小区间上近似计算小曲边梯形的面积，然后在小区间上近似计算

2、小曲边梯形的面积，最后将小曲边梯形的面积求和，就得到了定积最后将小曲边梯形的面积求和，就得到了定积分的近似值。分的近似值。设设为为在在区区间间上上的的最最大大值值，则则第第个个小小曲曲边边梯梯形形与与相相应应的的梯梯形形面面积积之之差差的的绝绝对对值值估估计计如如下：下：于是，梯形法的绝对误差为于是，梯形法的绝对误差为 例例2.2.用梯形法近似计算用梯形法近似计算 ，要求误差不超，要求误差不超过过 。解：设解：设，则，则，显然，显然在在区区间间上上的的最最大大值值为为。下下面面我我们们根根据据梯梯形形法法利利用用Mathematica编编程程，在在程程序序中中，定定义义了了等等分分时时的的梯梯

3、形形公公式式，并并采采用用“Do”命命令令进进行行循循环环直直到到满满足足精精度度要要求求或或达达到到预预定定的的循循环环次次数数为为止止，每每次次循循环环要要求求输输出出及及。输输入入命命令如下：令如下：从从运运行行结结果果看看，循循环环到到100次次结结束束，最最后后输输出出“fail”，这这表表明明没没有有达达到到精精度度要要求求，如如把把n0的的值值改改为为200，再再次次运运行行，发发现现循循环环到到n=130时时结结束束，此时达到精度要求，积分的近似值为：此时达到精度要求，积分的近似值为：1.118433、抛物线法抛物线法梯梯形形法法的的近近似似过过程程是是在在每每个个小小区区间间

4、中中用用直直线线段段来来近近似似被被积积函函数数段段，即即逐逐段段地地用用线线性性函函数数来来近近似似被被积积函函数数。为为了了进进一一步步提提高高精精确确度度，可可以以考考虑虑在在小小范范围围内内用用二二次次函函数数来来近近似似被被积积函函数数，这这种种方方法法称称为为抛抛物物线线法法，也也称称为为辛辛普普森森（Simpson）法法。具具体方法如下：体方法如下：用用分分点点，将将积积分分区区间间n等等分分（这里要求（这里要求n为偶数），各分点对应的函数值为为偶数），各分点对应的函数值为，即即。我我们们知知道平面上三点可以确定一条抛物线道平面上三点可以确定一条抛物线，而而相相邻邻的的两两个个小

5、小区区间间上上经经过过曲曲线线上上的的三三个个点点，则则由由这这三三点点做做抛抛物物线线（因因此此抛抛物物线线法法必必须须将将区区间间等等分分为为偶偶数数个个小小区区间间），把把这这些些抛抛物物线线构构成成的的曲曲边边梯梯形形的的面面积积相相加加，就就得得到到了了所所求定积分的近似值。求定积分的近似值。下下面面计计算算在在区区间间上上以以抛抛物物线线为为曲曲边边的的曲曲边边梯形面积。为此，先计算区间梯形面积。为此，先计算区间上，以过三点上，以过三点的的抛抛物物线线为为曲曲边边的曲边梯形面积的曲边梯形面积：由由得：得：故故取取，则则上上面面所所求求的的等等于于区区间间上上以以抛抛物物线线为为曲曲

6、边边的的曲曲边边梯梯形形的的面面积积。同同理理可可以以得得到到区间区间上以抛物线为曲边的曲边梯形的面积上以抛物线为曲边的曲边梯形的面积于于是是，将将这这个个曲曲边边梯梯形形的的面面积积加加起起来来，得得到到定定积分的近似值为（设积分的近似值为（设）：）：上式称为辛普森公式或抛物线公式。用这个公式上式称为辛普森公式或抛物线公式。用这个公式求定积分的近似值时，其绝对误差可以证明求定积分的近似值时，其绝对误差可以证明 不超过不超过 ，其中，其中 是是 在区间在区间上的最大值。上的最大值。例例1用用抛抛物物线线法法近近似似计计算算，要要求求误误差差不超过不超过。解：设解：设 ，可由命令，可由命令Dfx

7、,x,4得到得到 的四阶导函数为：的四阶导函数为：显显然然在在区区间间上上的的最最大大值值为为。下下面面根根据据抛抛物物线线法法的的思思想想利利用用Mathematica编编程程，在在程程序序中中，与与例例2一一样样，定定义义了了等等分分时时的的抛抛物物线线公公式式，并并采采用用“Do”命命令令进进行行循循环环直直到到满满足足要要求求或或达达到到预预定定的的循循环环次次数数为为止止，每每次次循循环环要要求输出求输出及及。输入命令如下：。输入命令如下：从运行结果看，循环到从运行结果看，循环到 时因达到精度要求时因达到精度要求结束循环，并得到积分的近似值为：结束循环，并得到积分的近似值为：1.11

8、843。从例从例2、例、例3可以看出，抛物线法比梯形法收敛的可以看出，抛物线法比梯形法收敛的要快，这与实际情况也是相符的。要快，这与实际情况也是相符的。最后，我们再说明一点，在最后，我们再说明一点，在Mathematica内部有一个数值积分的命令内部有一个数值积分的命令“NIntegrate”，例如要计算，例如要计算 ，我，我们可以调用命令：们可以调用命令：或或者者我我们们可可以以通通过过基基本本输输入入模模板板直直接接输输入入积积分分符符号号：，字字母母“N”是是表表示示输输出出的的结结果果为为实实数的形式。运行后均得结果数的形式。运行后均得结果1.11842。虽虽然然使使用用内内部部的的命命令令计计算算数数值值积积分分非非常常方方便便，但但是是误误差差估估计计不不明明显显，而而且且作作为为一一个个大大学学生生，应应该该要要知知道道隐隐藏藏在在命命令令后后面面的的原原理理。因因此此掌掌握握本本实实验验介介绍绍的的数数值值积积分分的的原原理理、公公式式及及编编程程方方法也是很必要的。法也是很必要的。实验习题实验习题41、计算定积分、计算定积分的黎曼和。的黎曼和。2、分别用梯形法、抛物线法计算定积分、分别用梯形法、抛物线法计算定积分的近似值（精确到的近似值（精确到0.0001）。）。结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！24