2022年全国名校高中数学题库--椭圆.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载椭圆标准方程典型例题例 1 已知椭圆 mx 2 3 y 2 6 m 0 的一个焦点为（0, 2）求 m 的值 分析： 把椭圆的方程化为标准方程,由 c 2,依据关系 a 2b 2c 2可求出 m 的值2 2解： 方程变形为 x y 1由于焦点在 y 轴上,所以 2m 6,解得 m 36 2 m又 c 2,所以 2m 6 2 2,m 5 适合故 m 5例 2 已知椭圆的中心在原点,且经过点 P 3,a 3 ,求椭圆的标准方程分析： 因椭圆的中心在原点,故其标准方程有两种情形依据题设条件,运用待定系数法,名师归纳总结 求出参数

2、 a 和 b （或2 a 和2 b ）的值,即可求得椭圆的标准方程第 1 页,共 40 页解： 当焦点在 x 轴上时,设其方程为x2y21ab0a2b2由椭圆过点P3,知901又a3 ,代入得b21,a29,故椭圆的方a2b2程为x2y219当焦点在 y 轴上时,设其方程为y2x21ab0a2b2由椭圆过点P3,知901又a3 ,联立解得a281,b29,故椭圆a2b2的方程为y2x21819例 3 ABC 的底边BC16, AC 和 AB 两边上中线长之和为30,求此三角形重心G 的轨迹和顶点 A 的轨迹分析：（ 1）由已知可得GCGB20,再利用椭圆定义求解（ 2）由 G 的轨迹方程 G

3、、 A 坐标的关系,利用代入法求A 的轨迹方程解：（1）以 BC 所在的直线为x 轴,BC 中点为原点建立直角坐标系设 G 点坐标为x,y,由GCGB20,知 G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆, 且除去轴上两点 因a10,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - c8,有b6,优秀学习资料欢迎下载故其方程为x2y21y0y010,其轨迹是椭圆 （除10036（2）设Ax,y,Gx,y,就x2y2110036xx,3 代入,得 A 的轨迹方程为yx2y2y由题意有900324y3去 x 轴上两点）例 4 已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P 到两焦

4、点的距离分别为435和235,过 P 点作焦点所在轴的垂线,它恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆方程名师归纳总结 解 ： 设 两 焦 点 为F 1、F2, 且PF 1435,PF2235 从 椭 圆 定 义 知第 2 页,共 40 页2aPF 1PF 225即a5从PF 1PF 2知PF 2垂 直 焦 点 所 在 的 对 称 轴 , 所 以 在RtPF2F 1中 ,s i nPF 1F 2PF 21,PF 12可求出PF 1F26,2 cPF 1cos625,从而b2a2c21033所求椭圆方程为x23y21或3x2y21510105例 5 已知椭圆方程x2y21ab0,长轴端点为A ,A ,焦点为

5、F ,F , P 是椭22ab圆上一点,A 1PA 2,F 1PF2求：F 1PF2的面积（用 a 、 b 、表示）分析： 求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边, 从而利用S1absinC求面积2解：如图, 设Px,y,由椭圆的对称性,不妨设Px,y,由椭圆的对称性,不妨设 P 在第一象限由余弦定理知：F 1F 22PF 12PF 222 PF PF 2cos4 c2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由椭圆定义知：PF 1PF 2优秀学习资料欢迎下载PF1PF212 b22 a,就2得cos故SF 1PF21PF 1PF2sin12b2sin2yb2

6、tan2221cos例 6 已知动圆 P 过定点A3,且在定圆B：x3264的内部与其相内切,求动圆圆心 P 的轨迹方程分析： 关键是依据题意,列出点 P 满意的关系式解： 如下列图,设动圆P 和定圆 B 内切于点 M 动点 P 到两定点,即定点A3,和定圆圆心B3,距离之和恰好等于定圆半径,即PAPBPMPBBM8点 P 的轨迹是以 A , B 为两焦点,半长轴为 4,半短轴长为b42327的椭圆的方程：x2y21167说明： 此题是先依据椭圆的定义,判定轨迹是椭圆,然后依据椭圆的标准方程,求轨迹的方 程这是求轨迹方程的一种重要思想方法例 7 已知椭圆x2y21,（1）求过点P1,12 2且

7、被 P 平分的弦所在直线的方程；1,2（2）求斜率为2 的平行弦的中点轨迹方程；（3）过A2,引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点P、Q,O为原点,且有直线OP、OQ斜率满意kOPk OQ2求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程分析： 此题中四问都跟弦中点有关,因此可考虑设弦端坐标的方法名师归纳总结 解： 设弦两端点分别为Mx 1,y 1,Nx2,y2,线段 MN 的中点Rx,y,就20y 1y2y 1y202 x 12 2 y 12,得x 1x2x 1x 22y 1y2y 1y2 x 22 2 y 22,x 2,就上式两端同除以x 1x 2,有x 1x 22由题意知x 1

8、x 1x 22 x,x 1x2y 1y 22 y,x2yy 1y 20将代入得x 1x 2第 3 页,共 40 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （1）将x1,y1代入,得优秀学习资料1欢迎下载2x4y30 y 1y2,故所求直线方程为：22x 1x22将代入椭圆方程x22y22得6y26y10,x236x4610符合题意,442x4y30为所求4y（椭圆内部分）0（2）将y 1y22代入得所求轨迹方程为：x 1x2（3）将y 1y2y1代入得所求轨迹方程为：2y22x2y0（椭圆内x 1x 2x2部分）（4）由得：2 x 12x2y22 y 22,

9、x 1,y2 2将平方并整理得212 y 14y22y 1y2,2 x 1x24x22x 1x2,222x 1x2即将代入得：4x4y22y 1y22,4再将y 1y 21x 1x 2代入式得：21x 1x22,x24y22x222x2y2112 此即为所求轨迹方程当然,此题除了设弦端坐标的方法,仍可用其它方法解决例 8 已知椭圆4x2y21及直线yxm（1）当 m 为何值时,直线与椭圆有公共点？名师归纳总结 （2）如直线被椭圆截得的弦长为210,求直线的方程得4x2xm21,得第 4 页,共 40 页5解：（1）把直线方程yxm代入椭圆方程4x2y211162 m200,解即5x22mxm2

10、102 m245m25m522- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载x 1x 22m,x 1x2m21（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ,2 x ,由（1）得55y依据弦长公式得：12 12m24m21210解得m0方程为555x说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题,有所区分采纳的方法与处理直线和圆的这里解决直线与椭圆的交点问题,一般考虑判别式；解决弦长问题, 一般应用弦长公式用弦长公式,如能合理运用韦达定理（即根与系数的关系）0,可大大简化运算过程例 9 以椭圆x2y21的焦点为焦点,过直线l：xy9上一点

11、M 作椭圆,要使所123作椭圆的长轴最短,点M 应在何处？并求出此时的椭圆方程分析： 椭圆的焦点简单求出,依据椭圆的定义,此题实际上就是要在已知直线上找一点,使 该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小,只须利用对称就可解决名师归纳总结 解： 如下列图,椭圆x2y21的焦点为F 13,F 23,第 5 页,共 40 页123点F 关于直线l：xy90的对称点 F 的坐标为（9, 6）,直线FF 的方程为x2 y30解方程组x2y30得交点 M 的坐标为（ 5,4）此时MF 1MF 2最小xy90所求椭圆的长轴：2 aMF 1MF 2FF 265,a35,又c3,b2a2c23522

12、336因此,所求椭圆的方程为x2y214536- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例10已知方程kx25y2k优秀学习资料欢迎下载1表示椭圆,求k 的取值范畴 3k50 ,43k5解： 由3k0,得3k5,且k4k53k,满意条件的 k 的取值范畴是3k5,且k说明： 此题易显现如下错解：由k50 ,得3k5,故 k 的取值范畴是3k0 ,出错的缘由是没有留意椭圆的标准方程中ab0这个条件, 当ab时,并不表示椭圆例11已知x2siny2cos10表示焦点在y 轴上的椭圆,求的取值范围分析： 依据已知条件确定的三角函数的大小关系再依据三角函数的单调性,求

13、出的取值范畴解： 方程可化为x2y21由于焦点在y 轴上,所以11011cossinsincos因此sin0且tan1从而2,34说明： 1由椭圆的标准方程知10,10,这是简单忽视的地方sincos2由焦点在 y 轴上,知a21,b21 3求的取值范畴时,应留意题目cossinA3,2 和B23,1 两点的椭圆方中的条件 0例 12求中心在原点,对称轴为坐标轴,且经过程分析： 由题设条件焦点在哪个轴上不明确,椭圆标准方程有两种情形,为了运算简便起见,可设其方程为mx2ny21m0,n0,且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上,直接可求出方程名师归纳总结 解： 设所求椭圆方程为mx2ny21m0,n0

14、由A3,2和B23,1 两点第 6 页,共 40 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载在椭圆上可得2 2mm 2 3 3 2 n n 21 2,1 ,1即12 3 mm 4n n,1 ,1所以 m15 1,n 15故所求的椭圆方程为2 2x y115 5例13 知圆 x 2y 21,从这个圆上任意一点 P向y轴作垂线段, 求线段中点M的轨迹 分析： 此题是已知一些轨迹,求动点轨迹问题这种题目一般利用中间变量 相关点 求轨迹方程或轨迹解： 设点 M 的坐标为 x , y ,点 P 的坐标为 x 0 , y 0 ,就 x x 0,y

15、y 02由于 P x 0 , y 0 在圆 x 2y 21 上,所以 x 0 2y 0 21将 x 0 2 x,y 0 y 代入方程 x 0 2y 0 21 得 4 x 2y 21所以点 M 的轨迹是一个椭圆 4 x 2y 21说明： 此题是利用相关点法求轨迹方程的方法,这种方法详细做法如下：第一设动点的坐标为 x , y ,设已知轨迹上的点的坐标为 x 0 , y 0 ,然后依据题目要求,使 x,y与 x,y建立等式关系,从而由这些等式关系求出x和y代入已知的轨迹方程,就可以求出关于x,y的方程,化简后即我们所求的方程这种方法是求轨迹方程的最基本的方法,必需把握例 14 已知长轴为12,短轴

16、长为 6,焦点在 x 轴上的椭圆, 过它对的左焦点F 作倾斜解为3的直线交椭圆于A,B两点,求弦AB的长x 1x 2求得,分析： 可以利用弦长公式AB1k2x 1x2 1k2x 1x 224也可以利用椭圆定义及余弦定理,仍可以利用焦点半径来求解： 法 1利用直线与椭圆相交的弦长公式求解名师归纳总结 AB1k2x1x 2 1k2x 1x 224x 1x 2由于a6,b3,所以c33因第 7 页,共 40 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载为焦点在 x 轴上,2 2所以椭圆方程为 x y 1,左焦点 F 3 3 , 0 ,从而直线方

17、程为 y 3x 936 9由直线方程与椭圆方程联立得：13 x 2 72 3 x 36 8 0设 1x ,x 为方程两根,所以72 3 36 8x 1x 2,x 1x 2,k 3,从 而13 13AB 1 k 2 x 1 x 2 1 k 2 x 1 x 2 2 4 x 1 x 2 4813法 2利用椭圆的定义及余弦定理求解2 2由 题 意 可 知 椭 圆 方 程 为 x y 1, 设 AF1 m,BF1 n, 就 AF 2 12 m,36 9BF 2 12 n2 2 2在 AF 1F 2 中,AF 2 AF 1 F 1 F 2 2 AF 1 F 1 F 2 c o,s 即3 12 m 2m 2

18、36 3 2 m 6 3 1；2所以 m 6同理在 BF 1F 2 中,用余弦定理得 n 6,所以 AB m n 484 3 4 3 13法 3利用焦半径求解先依据直线与椭圆联立的方程13x2723x3680求出方程的两根1x ,x ,它们分别是 A , B 的横坐标名师归纳总结 再依据焦半径AF 1aex 1,BF 1aex 2,从而求出ABAF 1BF 1例 15椭圆x2y21上的点 M 到焦点1F 的距离为 2,N 为MF 的中点, 就 ON （ O 为259坐标原点）的值为A 4B2C8D32解 ： 如 图 所 示 , 设 椭 圆 的 另 一 个 焦 点 为F , 由 椭 圆 第 一

19、定 义 得MF 1MF22 a10,所以MF210MF 11028,又由于 ON 为MF1F 2的中位线,所以ON1MF24,故答案为A2第 8 页,共 40 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载F 1F 2）的点的轨迹叫做椭说明： 1椭圆定义：平面内与两定点的距离之和等于常数（大于圆2椭圆上的点必定适合椭圆的这肯定义,即MF 1MF22a,利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有关距离例 16 已知椭圆2 x C：4y21,试确定 m 的取值范畴,使得对于直线l：y4xm,椭3圆 C 上有不同的两点关于该直线对称分析： 如设椭圆上

20、A,B两点关于直线l对称,就已知条件等价于：1直线ABl；2弦 AB 的中点 M 在 l 上x 0,y0利用上述条件建立m 的不等式即可求得m 的取值范畴解：法 1设椭圆上A x 1,y 1,Bx2,y 2两点关于直线 l 对称,直线 AB 与 l 交于M点名师归纳总结 l 的斜率lk4,设直线 AB的方程为y1xn由方程组y21xn ,消去 y 得第 9 页,共 40 页44xy21 ,4313x28nx16n2480 ； x 1x 28 n 于 是x 0x 12x 24n,1313y 01x0n12n,41344 nm解得即点 M 的坐标为4n,12n点 M 在直线y4xm上,n13131

21、3n13m4将式代入式得13x226mx169m2480480 解 得 A , B 是 椭 圆 上 的 两 点 , 26m 2413 169m2213m2131313法 2同解法 1 得出n13m,x0413m m,4134m,3m y01x 013m1m 13m3 m,即 M 点坐标为4444 A , B 为 椭 圆 上 的 两 点 , M 点 在 椭 圆 的 内 部 , m 23m 21 解 得43- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 213m213优秀学习资料欢迎下载1313法 3设 A x 1 , y 1 ,B x 2 , y 2 是椭圆上关于 l

22、 对称的两点,直线 AB 与 l 的交点 M 的坐标为 x 0 , y 0 2 2 2 2A,B 在 椭 圆 上 , x 1 y 1 1,x 2 y 2 1 两 式 相 减 得4 3 4 33 x 1 x 2 x 1 x 2 4 y 1 y 2 y 1 y 2 0,即 3 2 x 0 x 1 x 2 4 2 y 0 y 1 y 2 0y 1 y 2 3 x 0 x 1 x 2 x 1 x 2 4 y 0又直线 AB l,k ABk l 1,3 x 0 4 1,即 y 0 3x 0 ；4 y 0又 M 点在直线 l 上,y 0 4 x 0 m ；由,得 M 点的坐标为 m , 3 m 以下同解法

23、 2. 说明： 涉及椭圆上两点 A , B 关于直线 l 恒对称,求有关参数的取值范畴问题,可以采纳列参数满意的不等式：1利用直线 AB 与椭圆恒有两个交点,通过直线方程与椭圆方程组成的方程组,消元后得到的一元二次方程的判别式 0,建立参数方程2 22利用弦 AB 的中点 M x 0 , y 0 在椭圆内部, 满意 x 0 y 0 1,将 0x ,y 利用参数表示,a b建立参数不等式名师归纳总结 例 17 在面积为 1 的PMN 中,tan M1,tan N2,建立适当的坐标系, 求出以 M 、Px,y ,2N 为焦点且过 P 点的椭圆方程解： 以 MN 的中点为原点,MN 所在直线为 x

24、轴建立直角坐标系,设,1得a215就xyc.12,x53即P 25,22524,y3 c12 a23 b24xc,y4 3c 且 c33a2b3b2.3242cy1所求椭圆方程为4x2y21153第 10 页,共 40 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 18 已知P4,2 优秀学习资料1欢迎下载l 的方程是直线 l 被椭圆x2y2所截得的线段的中点,求直线369分析：此题考查直线与椭圆的位置关系问题通常将直线方程与椭圆方程联立消去x 2y或x,得到关于 x 或 y 的一元二次方程, 再由根与系数的关系,直接求出x 1,x 1x 2或y1y2,y

25、1y2的值代入运算即得并不需要求出直线与椭圆的交点坐标,这种“ 设而不求”常采纳的的方法, 在解析几何中是经名师归纳总结 解：方法一： 设所求直线方程为y2kx4 代入椭圆方程,整理得第 11 页,共 40 页4k21 x28 k4 k2x44k2 2360设 直 线 与 椭 圆 的 交 点 为A x 1,y 1,Bx2,y2, 就1x、x2是 的 两 根 , x 1x 28 k4 k2 4k21P4,2 为 AB 中 点 , 4x 12x 24 k4 k2 ,k1 所 求 直 线 方 程 为4 k212x2 y80方法二： 设直线与椭圆交点Ax 1,y 1,Bx2,y2P 4,2 为 AB

26、中点,x 1x 28,y 1y24又 A , B 在 椭 圆 上 , x 124y 1236,x 224y2236两 式 相 减 得x 12x 224 y2y 220,1即x 1x2x 1x 24y 1y 2y 1y20y 1y 24x 1x21直线方程x 1x 2y 1y22为x2y80方法三： 设所求直线与椭圆的一个交点为A x,y,另一个交点B 8x,4y A、B 在椭圆上, x24y236；8x244y236从而 A , B 在方程的图形x2y80上,而过 A 、 B 的直线只有一条,直线方程为x2y80- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学

27、习资料 欢迎下载说明： 直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题,此类问题的有效方法“ 设而不求” 的方法是处理如已知焦点是33,0 、33,0的椭圆截直线x2y80所得弦中点的横坐标是4,就如何求椭圆方程？典型例题一例 1椭圆的一个顶点为A2,其长轴长是短轴长的2 倍,求椭圆的标准方程分析： 题目没有指出焦点的位置,要考虑两种位置解：（1）当A2,为长轴端点时,a2,b1,是不能确定椭圆椭圆的标准方程为：x2y21；41（2）当A2,为短轴端点时,b2,a4,椭圆的标准方程为：x2y21；416说明： 椭圆的标准方程有两个,给出一个顶点的坐标和对称轴的位置,的横竖的,因而要考虑两种情

28、形典型例题二例 2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分,求椭圆的离心率解：2ca2213 c2a2,c3e1333说明： 求椭圆的离心率问题,通常有两种处理方法,一是求 含 a 和 c 的齐次方程,再化含 e的方程,解方程即可典型例题三a ,求 c ,再求比二是列名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 40 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 3 优秀学习资料欢迎下载xy10交于 A 、B 两点, M已知中心在原点, 焦点在 x 轴上的椭圆与直线为 AB 中点, OM 的斜率为 0.25,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程解： 由题意,设椭圆方程为x2y21

29、,22,axy10由2 xy21,得1a2x22a2x0,a 2x Mx 12x21a22,yM1xM11aakOMy M11,a24,x Ma24x2y21为所求4说明：（ 1）此题求椭圆方程采纳的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题,常常要借用根与系数的关系,来解决弦长、弦中点、弦斜率问题典型例题四例 4 椭圆x2y21上不同三点Ax 1,y 1,B9 4,5,Cx2,y2与焦点F4,的259距离成等差数列（1）求证x 1x28；（2）如线段 AC 的垂直平分线与 证明：（1）由椭圆方程知 a 5,x 轴的交点为 T ,求直线 BT 的斜率 k b 3,c 4名师归纳总结 由圆锥曲线的

30、统肯定义知：AFx 19c a,第 13 页,共 40 页a2c,AFaex 154x 15同理CF54x25AFCF2BF,且BF554x 154x218,555- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 即x 1x28优秀学习资料欢迎下载（2）由于线段 AC 的中点为 4,y 1 y 2,所以它的垂直平分线方程为2y y 1 y 2 x 1 x 2 x 42 y 1 y 2又点 T 在 x 轴上,设其坐标为 x 0,代入上式,得x 0 4 y 1 2 y 2 22 x 1 x 2又点 A x 1,y 1,B x 2,y 2 都在椭圆上,2 9 2y 1 25 x 1252 9 2y 2