2022年初二上学期数学经典例题3.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 等腰三角形 经典例题透析 类型一：与度数有关的运算1如图,在ABC 中, D 在 BC 上,且 AB=AC=BD ,1=30 ,求 2 的度数；思路点拨：解该题的关键是要找到2 和 1 之间的关系,明显2=1+C,只要再 找出 C 与 2 的关系问题就好解决了,而C= B,所以把问题转化为欲找出2 与 B 之间有什么关系,变成ABD 的角之间的关系,问题就简洁的多了；解析： AB=AC B =C AB=BD 2=3 2=1+C 2=1+ B 2+3+B=180B=180 22 2=1+180 2 2 32=1+1801=302=70总结升华：

2、关于角度问题可以通过建立方程进行解决；举一反三：【变式 1】如图, D、E 在 ABC 的边 BC 上,且 BE=BA ,CD=CA ,如 BAC=122 ,求 DAE 的度数；【答案】BE=BA 2=BAE CD=CA 1=CAD 1+CAD+ C=180名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 42 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1= 2+BAE+ B=180 2= 1+2= B+C=180 BAC 1+2= DAE=180 （ 1+2） DAE=90 =90 61 =29 ；【变式 2】在 ABC 中,AB=AC ,D 在 BC 上,E 在 AC 上,

3、且 AD=AE ,BAD=30 ,求 EDC 的度数；【答案】AB=AC ,AD=AE B=C, ADE= AED ADE+ EDC= ADC= B+BAD AED+ EDC= C+BAD AED= C+EDC C+2 EDC= C+BAD EDC=BAD=15 ；类型二：等腰三角形中的分类争论2当腰长或底边长不能确定时,必需进行分类争论（1）已知等腰三角形的两边长分别为8cm 和 10cm,求周长；（2）等腰三角形的两边长分别为 3cm 和 7cm,求周长；思路点拨： 由等腰三角形的性质可知我们在解此题前,必需明确所给的边的定义,在这里哪条边是“ 腰”,哪条边是“ 底” 不明确,而且仍要考虑

4、到三条线段能够构成三角形的前提,因此必需进行分类争论；解析：（ 1）由于 8+810,10+108,就在这两种情形下都能构成三角形；名师归纳总结 当腰长为8 时,周长为8+8+10=26 ；第 2 页,共 42 页当腰长为10 时,周长为10+10+8=28 ；故这个三角形的周长为26cm 或 28cm；（2）当腰长为3 时,由于 3+37,所以此时不能构成三角形；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当腰长为7 时,由于7+73,所以此时能构成三角形,因此三角形的周长为：7+7+3=17；故这个三角形的周长为 17cm；总结升华： 对于此类题目在进行分类

5、争论时,构成三角形举一反三：必需运用三角形的三边关系来验证是否能【变式 1】当顶角或底角不能确定时,必需进行分类争论等腰三角形的一个角是另一个角的 4 倍,求它的各个内角的度数【答案】（1）当底角是顶角的4 倍时,设顶角为x,就底角为4x, 4x+4x+x=180 , x=20 , 4x=80 ,于是三角形的各个内角的度数为：20 , 80 , 80 ；（2）当顶角是底角的 4 倍时,设底角为 x,就顶角为 4x, x+x+4x=180 , x=30 , 4x=120 ,于是三角形的各个内角的度数为：30 , 30 , 120 ；故三角形各个内角的度数为 20 , 80 ,80 或 30 ,

6、30 ,120 ；【变式 2】当高的位置关系不确定时,必需分类争论等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为 25 ,求这个三角形的各个内角的度数；【答案】设 AB=AC ,BD AC；（1）高与底边的夹角为 25 时,高肯定在ABC 的内部,如右图,DBC=25 , C=90 -DBC=90 -25 =65 , ABC= C=65 , A=180 -2 65 =50 ；（2）当高与另一腰的夹角为 25 0 时,如右图,高在ABC 内部时,当ABD=25 时, A=90 -ABD=65 , C= ABC= （180 -A） 2=57.5 ；如下图,高在ABC 外部时, ABD=25 , BAD=90

7、 -ABD=90 -25 =65 ,ABC= C=（180 -115 ）2=32.5故三角形各内角为：65 , 65 , 50 或BAC=180 -65 =115 ,65 , 57.5 , 57.5 或 115 , 32.5 , 32.5 ；【变式3】由腰的垂直平分线所引起的分类争论在ABC 中, AB=AC ,AB 边上的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得的锐角为40 ,求底角B 的度数；分析： 题目中 AB 边上的垂直平分线与直线AC 相交有两种情形；解：（1）如图, AB 边的垂直平分线与 AC 边交于点 D, ADE=40 ,名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 4

8、2 页精选学习资料 - - - - - - - - - 就 A=90 0-ADE=50 , AB=AC , B=（180 -50 ） 2=65 ；延长线交于点（2）如图, AB 边的垂直平分线与直线AC 的反向D, ADE=40 ,就 DAE=50 BAC=130 , AB=AC , B=（ 180 -130 ） 2=25故 B 的大小为 65 或 25 ；【变式 4】由腰上的中线引起的分类争论等腰三角形底边长为 周长分成差为 3cm 的两部分,求腰长；【答案】如图,BD 为 AC 边上的中线,AD=CD ,5cm,一腰上的中线把其（1）当（ AB+AD ）-（BC+CD ）=3 时,就 AB

9、-BC=3 , BC=5 AB=BC+3=8 ；（2）当（ BC+CD ）-（AB+AD ）=3 时,就 BC-AB=3 , BC=5 AB=BC-3=2 ；但是当AB=2 时,三边长为2,2,5；而 2+25,不合题意,舍去；故腰长为 8；类型三：证明题3（2022 山东德州）如图 交于点 O（1）求证 AD=AE ；（2）连接 OA ,BC,试判定直线思路点拨：AB=AC ,CDAB 于 D,BEAC 于 E,BE 与 CD 相OA ,BC 的关系并说明理由（1）依据全等三角形的判定方法,证明ACD ABE ,即可得出 AD=AE ,（2）依据已知条件得出ADO AEO ,得出 DAO=

10、EAO ,即可判定出 OA 是BAC 的平分线,依据等腰三角形三线合一可得 OA BC解析：名师归纳总结 （1）证明：在ACD 与 ABE 中,第 4 页,共 42 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A= A , ADC= AEB=90 , AB=AC , ACD ABE ,AD=AE （2）相互垂直,在 Rt ADO 与 AEO 中, OA=OA ,AD=AE , ADO AEO , DAO= EAO ,即 OA 是 BAC 的平分线,又 AB=AC , OA BC总结升华： 在等腰三角形中,应用三线合一的性质是解决垂直问题的一种方法；举一反三：【

11、变式 1】已知：如图, ABC ,ACB 的平分线交于 D,交 AC 于 E；求证： BD ECDE；F,过 F 作 DE BC,交 AB 于分析 : 由于 DEDFFE,即结论为BD ECDFFE,分别证明BD DF,CEFE即可,于是运用“ 在同一三角形中,等角对等边” 易证结论成立；解析： DE BC,3 2（两直线平行,内错角相等）又BF 平分 ABC 1 2 1 3 DB DF（等角对等边）同理：EF CE, BD ECDFEF 即 BD ECDE；【变式 2】已知,在图所示）；ABC 中, ACB 90 , CD,CE 三等分 ACB ,CD AB（如求证：（ 1）AB 2BC；（

12、2）CEAE EB；【答案】（1） CE、CD 三等分 ACB 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 42 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1 2 330又CD AB , B60 , A 30在 Rt ABC 中, A 30 , AB 2BC （2） A 1 30 CEEA 又 B BCE60BCE 是等边三角形,ECEB CEEA EB 【变式 3】已知：如图,中,AB AC ,AD CE,求的度数；分析： 这道题综合考查了等边三角形的性质与判定,并借助全等三角形,使问题加以解决；解： 在中,AB AC ,60 的等腰三角形是等边三角形）为等边三角形（有

13、一个角为AC BC,在和中（SAS）（全等三角形对应角相等）（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 42 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【变式 4】已知：如图, B、C、E 三点共线,都是等边三角形,连结 AE、BD 分别较 CD 、AC 于 N、M ,连结 MN ；求证： AE BD,MN/BE 分析：此题应从等边三角形的性质动身,利用三角形全等证明AE=BD ；为证明 MN/BE ,可先证明三角形 MNC 为等边三角形,再利用角去转化证明；证明：,都是等边三角形BCAC, CECD ,在和中（已证）（SAS

14、）BD AE（全等三角形对应边相等）（全等三角形对应角相等）在和中（已证）（ASA ）MC NC （全等三角形对应边相等）名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 42 页精选学习资料 - - - - - - - - - 是等边三角形（有一个角为60 的等腰三角形是等边三角形）（内错角相等,两直线平行）类型四：探究型题目4如图 1,在直角ABC 中, ACB=90 , CAB=30 ,请你设计三种不同的分法,把ABC 分割成两个三角形,且要求其中有一个是等腰三角形；（在等腰三角形的两个底角处标明度数）思路点拨 : 在三角形中,“ 等边对等角”与“ 等角对等边”,此题应从角度入手进

15、行考虑；下面供应四种分割方法供大家参考；解析：总结升华： 对图形进行分割是近年来显现的一类新题型,况以及动手实践才能,本类题目的答案有时不唯独；举一反三：主要考查对基础学问的把握情名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 42 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【变式 1】如图 1,给你一张三角形纸片,其中AB=AC , A=36 ,将此纸片按图2中的线剪开, 可以将原三角形分成三个等腰三角形,那么 1能否仿照图 2,再设计几种不同的分割方法,将原三角形纸片分为 3 个三角形,使得每个三角形都为等腰三角形要求：在图中标出分得的每个等腰三角形的三个内角的度数,至少

16、画出两种 纸片剪出 4 个等腰三角形吗 . 2你能用此三角形解析： 此题看似简洁,但检验一个人思维的发散程度和肯定的制造性,做全了不易,要留意多体会积存,供应一些参考答案,看看能否启发你的制造力名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 42 页精选学习资料 - - - - - - - - - 轴对称 经典例题透析 类型一：对称轴问题1、观看下图中的图案,问这些轴对称图形,各有几条对称轴 .思路点拨 ：对于一个图形的对称轴肯定要按定义全方位地去找或依据定义实际操作一 下,否就就简洁造成漏解或找不到对称轴；解：有4 条对称轴有 1 条对称轴有 2 条对称轴总结升华 ：这类图形必需得认

17、真观看、分析每个图形的特点,最好能动手操作一下举一反三【变式 1】试说出以下图形的对称轴的条数；（1）线段；（2）角；（3）平行线（两条） ；解析：（1）线段沿着本身所在直线或沿着它的中垂线折叠,两旁的部分能够完全重合；故线 段有两条对称 轴；（ 2）角沿着它的平分线所在直线对折,两旁的部分能够完全重合,故只有一条对称轴,即角平分线所 在直线；（3）两条平行线,沿着和它们都平行且到它们距离相等的一条直线或沿着和它们都垂 直的直线对折,两旁的部分能够重合而和它们都垂直的直线有很多条故它的对称轴有很多条综上,线段、角、两条平行线的对称轴分别是 类型二：轴对称图形的作法2 条、 l 条、很多条2、已

18、知ABC ,直线 l求作,使和 ABC 关于 l 对称思路点拨：作一个图形关于已知直线的对称图形关键是作出一些特别点关于已知直线的对称点, 所谓的特别点, 即可以打算图形的大小和外形的点,就是它的各个顶点作法 ：如下图所示：一般来说一个多边形的特别点名师归纳总结 作 AO l 于 O,并延长 AO 至使,第 10 页,共 42 页就就是 A 点关于的对称点同样可以作出B 点关于的对称点的- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由于C 在对称轴上,故 C 关于的对称点就是它本身连接、就是所求的三角形,如下列图总结升华： 由作对称图形的步骤和方法可知,关键是找出

19、每个图形的特别点,再作出这个特别点关于直线 l 的对称点最终把对称点按原图那样连接起来举一反三【变式1】如图,ABC 和 DEF 是两个成轴对称的图形,请画出它的对称轴作法： 连结 CF 作 CF 的垂直平分线,即为所求【变式 2】如下列图,把一个正方形三次对折后沿虚线剪下一角,就绽开后所得的图形是 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 42 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解析： 逆回去摸索类型三：中垂线问题3、如下列图,在ABC 中, AC=10cm ,AB 的中垂线交AB 于 E,交 AC 于 D,DBC 的周长为 16 cm,求 BC 的长解思路

20、点拨： 欲求 BC 长,只需求出 DB+DC ；而 DE 垂直平分 AB ,故 DA=DB ,此题可解析：DE 垂直平分 AB , DA=DB DB+DC=DA+DC=AC=10 cm又DB+DC+BC=16 cm BC=16- （ DB+DC ）=16-10 =6（cm）总结升华： 借助三角形周长,求其一边,只需求出另两边之和,不肯定非得把另两边都求出来；举一反三【变式 1】如下列图, AD 垂直平分 BC,DEAB ,DFAC ,垂足分别为 E、F；求证DE=DF ；名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 42 页精选学习资料 - - - - - - - - - 思路点拨

21、： 欲证 DE=DF ,只需证 AD 是 BAC 的平分线 而 AD 是 BC 中垂线可得 B、C 两点关于 AD 对称,故ABD 和 ACD 关于 AD 对称,就可得BAD= CAD 证明 ： AD 是 BC 的中垂线, B、C 关于 AD 对称又A、D 在直线 AD 上, A 和它本身对称,D 也和它本身对称 ABD 和 ACD 关于 AD 对称故 BAD 和 CAD 能够重合 BAD= CAD 又DE AB,DFAC , DE=DF 总结升华： 留意不要一观察中垂线就想得出到线段两端距离相等要认真分析题意,看清该题究竟需要什么结论【变式 2】（2022 重庆綦江）为了推动农村新型合作医疗

22、制度改革,预备在某镇新建一个医疗点 P,使 P 到该镇所属 A 村、 B 村、 C 村的村委会所在地的距离都相等（A、B、C不在同始终线上,地理位置如下图）,请你用尺规作图的方法确定点 P 的位置要求：写出已知、求作；不写作法,保留作图痕迹分析： 依据垂直平分线的性质得出,两垂直平分线的交点即是所求答案解答： 已知 A 村、 B 村、 C 村,求作新建一个医疗点P,使 P 到该镇所属A 村、B 村、C 村的村委会所在地的距离都相等；名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 42 页精选学习资料 - - - - - - - - - 类型四：最短路问题4、在锐角 AOB 内有肯定点

23、P,试在 OA 、OB 上确定两点C、D,使PCD 的周长最短思路点拨 : PCD 的周长等于PC+CD+PD ,要使 PCD 的周长最短, .依据两点之间线段最短,只需使得 PC+CD+PD 的大小等于某两点之间的距离,于是考虑作点P 关于直线 OA .和 OB 的对称点 E、F,就 PCD 的周长等于线段EF 的长解析：作法：如图作点 P 关于直线 OA 的对称点 E；作点 P 关于直线 OB 的对称点 F；连接 EF 分别交 OA 、OB 于点 C、D就 C、D 就是所要求作的点证明：连接 PC、PD,就 PC=EC ,PD=FD 在 OA 上任取异于点 PHD 的周长C 的一点 H,连

24、接 HE、HP、HD ,就 HE=HP =HP+HD+PD=HE+HD+DFED+DF=EF 而 PCD 的周长 =PC+CD+PD=EC+CD+DF=EF PCD 的周长最短总结升华： 此题主要是通过作对称点的方法得出结论,并利用了对称线段相等,三角形两边之和大于第三边的性质推得所作的图形符合条件,这是道综合性的应用问题；举一反三：【变式】草原上两个居民点A、B 在河流 a 的同旁,一汽车从A 动身到 B,途中需要到河边加水；汽车在哪一点加水,可使行驶的路程最短？在图上画出该点；思路点拨： 如 P 为直线 a 上的点,就要使PA+PB 最小与线段有关的结论是两点之间线名师归纳总结 段最短,当

25、把PA+PB 转化成为一条线段时,点P 就是符合条件的点第 14 页,共 42 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解析： 作点 A 关于直线 a 的对称点A ,连接AB 交直线 a 于点 P,点 P 就是所求的点；说明 ：此时 PA+PB=A B,设点 C 是直线 a 上另一点,就CA+CB=CA +CB AB（三角形两边之和大于第三边）所以,PA+PB 是最短的类型五：坐标系中的对称问题5、如图,（1）请写出ABC 中各顶点的坐标 （2）在同一坐标系中画出直线 m：x=.-1,并作出ABC 关于直线 m 对称的A BC （ 3）如 P（a,b）是

26、ABC 中 AC边上一点, .请表示其在ABC 中对应点的坐标思路点拨： 直线 m：x=-1 表示直线 m 上任意一点的横坐标都等于-1,因此过点 （ -1,0）.作 y 轴的平行线即直线 m画出直线 m 后,再作点 A 、C 关于直线 m 的对称点 A 、C ,.而点 B 在直线 m 上,就其关于直线 解析：m 对称的点 B 就是点 B 本身（1） ABC 中各顶点的坐标分别是 A（1,4）、B（-1,1）、C（2,-1）（2）过点（ -1,0）作 y 轴的平行线 m,即直线 x=-1（3）分别作点 A 、B、C 关于直线 m 对称的点 A （ -3,4）、B （ -1,1）、C （ -4,

27、-1）,并对顺次连接 A 、 B 、 C 三点,就A BC 即为所求（4）观看发觉三组对称点的纵坐标没有变化而横坐标都可以表示为 2 （ -1）.减去对应点的横坐标所以点P 的对应点的坐标为（-2-a,b）；总结升华： 2 （ -1）中的 -1 即对称轴 x=-1 如对称轴不是x=-1 ,而是 y=2 ,信任聪慧的你是肯定能作出对称的三角形的,也肯定能发觉其中坐标变化的规律举一反三：【变式】（2022 四川眉山）如图图中的小方格都是边长为1 的正方形ADC 的顶点坐标为 A 0 ,、 B 3,、C2,1C ；（1）请在图中画出ABC 关于 y 轴对称的图形AB （2）写出点 B 和 C 的坐标

28、；名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 42 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解答：（1）如下列图：（2）B （ -3,-1）,C （ -2,1）名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 42 页精选学习资料 - - - - - - - - - 全等三角形单元复习与巩固经典例题透析类型一：全等三角形的性质1如图, ABC DEF,DF 和 AC ,FE 和 CB 是对应边； 如 A=100 , F=47 ,就 DEF 等于（）B. 53C.47D. 33A. 100 思路点拨： 抓住全等三角形的性质：对应边相等,对应角相等,找准对应边和对

29、应角；解析： 由 ABC DEF, A 与 D 对应, DEF 和 B 对应,所以在DEF 中, DEF=180 -100 -47 =33 ,选 D；举一反三：【变式】如图,Rt ABC 中, ACB=90 , A=20 , ABC ,如恰好经过点 B,交 AB 于 D,就 BDC 的度数为（）A. 50B. 60C62D. 64分析： 由全等三角形性质得B 和 B=70 ,由于 恰好经过点 B,所以为等腰三角形,=70 , BDC= C+=20 +40 =60 ；【答案 】B 类型二：三角形全等的证明名师归纳总结 2（2022 重庆）如图,点A、 F、C、D 在同始终线上,点B 和点 E 分

30、别在直线第 17 页,共 42 页AD 的两侧,且AB=DE , A= D,AF=DC 求证： BC EF- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 思路点拨： 通过证明证明： AF=DC ,AC=DF ,ACB DEF ,得到内错角相等, 从而达到证明线段平行的目的；在 ACB 和 DEF 中, ACB DEF, ACB= DFE,BC EF总结升华： 证明三角形全等是证明线段相等,角相等的手段之一；举一反三：【变式 1】如图：BE、CF 相交于点D,DE AC,DF AB ,垂足分别为E、F,且 DE=DF ；求证： AB=AC ；解析 ： DEAC, DF

31、AB DFB= DEC=90 （垂直的定义）在BDF 和 CDE 中 BDF CDE （ASA ） BD=CD （全等三角形对应边相等）又 DE=DF BE=CF 在 ABE 和 ACF 中 ABE ACF （AAS ） AB=AC （全等三角形对应边相等）【变式 2】如图： BEAC ,CFAB ,BM=AC ,CN=AB ；求证：（1）AM=AN ；（2） AM AN ；名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 42 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解析： BEAC, CFAB AEB= AFC=90 （垂直的定义）1+BAC= 2+BAC=90 （直角

32、三角形的两个锐角互余）1=2 在 ABM 和 NCA 中 ABM NCA （SAS） AM=AN , 3= N（全等三角形对应边、对应角相等）在 Rt AFN 中： 4+ N=90 3+ 4=90 AM AN （垂直的定义）（直角三角形两个锐角互余）【变式 3】如图, C 是线段 BD 上一点,以BC,CD 为边在 BD 同侧做等边ABC 和等边 CDE,BE 与 AD 相交于 M ；（1）求证： BE=AD ；（2）求 AMB 的大小；分析：（1）要证 BE=AD ,只需证BCE ACD ；由已知可知AC=BC ,CE=CD ,因此只需证 BCE= ACD ；（2）由 BCE ACD 可知

33、4=5,而 6=5+ AMB= 4+1,因此 AMB=1=60 ；解：（1） ABC , CDE 都是等边三角形BC=AC ,CD=CE ； 1=2=60 ； BCE= 1+3, ACD= 2+3, BCE= ACD 在 BCE 和 ACD 中,名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 42 页精选学习资料 - - - - - - - - - BCE ACD （SAS）BE=AD ；（2） BCE ACD , 4=5； 6=5+AMB= 4+ 1, AMB= 1=60 ；【变式 4】两个全等的含 30 ,60 角的三角板 ADE 和三角板 ABC 如下列图放置, E,A,C 三

34、点在一条直线上,连结 BD ,取 BD 的中点 M ,连结 ME ,MC ；试判定EMC 的形状,并说明理由；解析： EMC 是等腰直角三角形；由已知条件可以得到：DE=AC , DAE+ BAC=90 DAB=90 ；连接 AM ；由 DM=MB 可知MA=DM , MDA= MAB=45 从而MDE= MAC=105 即 EDM CAM ；因此 EM=MC , DME= AMC 又易得 EMC=90 所以EMC 是等腰直角三角形；【变式 5】在 ABC 中, ACB=90 , AC=BC ,直线 经过顶点 C,过 A,B 两点分别作 的垂线 AE ,BF,垂足分别为 E,F；（1）如图 1

35、 当直线 不与底边 AB 相交时,求证：EF=AE+BF ；（2）将直线 绕点 C 顺时针旋转,使 与底边 AB 相交于点 D,请你探究直线 在如下位置时, EF、AE 、BF 之间的关系, AD BD ； AD=BD ； AD BD ；名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 42 页精选学习资料 - - - - - - - - - 分析： 要证 EF=AE+BF ,只需证ACE CBF ；证明：（1） AE,BF, AEC= CFB=90 , 1+2=90 ACB=90 , 2+3=90 1= 3；在 ACE 和 CBF 中, ACE CBF（AAS ）AE=CF ,CE=

36、BF EF=CE+CF , EF=AE+BF ；（2） EF=AE BF,理由如下：AE , BF, AEC= CFB=90 , 1+2=90 ACB=90 , 2+3=90 , 1= 3；在 ACE 和 CBF 中 ACE CBF（AAS ）AE=CF ,CE=BF EF=CF CE, EF=AE BF；EF=AE BF EF=BF AE 证明同；名师归纳总结 【变式 6】.如下列图,在ABC 中, AC=BC , ACB=90 , D 是 AC 上一点,且AE第 21 页,共 42 页垂直 BD 的延长线于E, AE=BD,求证： BD 是 ABC 的平分线- - - - - - -精选学

37、习资料 - - - - - - - - - 思路点拨： 假如 BD 是 ABC 的角平分线,就应有ABD= CBD ,依据已知条件,很难找到这两个角相等的直接条件,但可以延长 AE 和 BC,令其交于一点,先证出全等三角形,再利用全等三角形对应角相等解题证明 ：延长 AE 和 BC,交于点 F,由于 AC BC,BEAE, ADE= BDC （对顶角相等） ,所以 EAD+ ADE= CBD+ BDC 即 EAD= CBD 在 Rt ACF 和 Rt BCD 中所以 Rt ACF Rt BCD （ASA ）就 AF=BD （全等三角形对应边相等）由于 AE= BD,所以 AE= AF ,即 A

38、E=EF 在 Rt BEA 和 Rt BEF 中,就 Rt BEA Rt BEF（ SAS）所以ABE= FBE（全等三角形对应角相等）,即 BD 是 ABC 的平分线总结升华： 假如由题目已知无法直接得到三角形全等,不妨试着添加帮助线构造出三角形全等的条件,使问题得以解决平常练习中多积存一些帮助线的添加方法；类型三：角平分线的性质与判定3已知：如下列图,CD AB 于点 D,BEAC 于点 E,BE、CD 交于点 O,且AO 平分 BAC ,求证： OB=OC 思路点拨： 由 CD AB ,BEAC ,可知 ADC= AEB=90 ,又由 OA 平分 BAC名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页,共 42 页精选学习资料 - - - - - - - - - 可知, OE=OD ,再利用“ 角边角” 证明出OBD OCE,从而得到OB=OC 证明 ：由于 CDAB ,BEAC,就 ADC= AEB=90 又由于 AO 平分 BAC ,所以 OD=OE （角平分线上的点到角两边的距离相等）在BOD 和 COE 中,所以 Rt