2022年多元函数微分法及其应用习题及答案.docx
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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载第八章 多元函数微分法及其应用A 1填空题21如zfx,y,在区域 D 上的两个混合偏导数2z,2zfx ,y,就在 D 上,xyyxz2z;fxy在点x0, y0处可微的条件是z在点x0, y0处的xyyxz2函数偏导数存在;3函数zfx ,y在点x0, y0可微是zfx,y在点x0, y0处连续的条件;2求以下函数的定义域1zxy;2uarccosx2zy23求以下各极限1lim x 0y 0sinxy;2lim x 0y 03xy1; 3lim x 0y 01xcosx2x2y2xxy12y2y24设zxlnxy,求xz
2、 y及x3z ;2 y25求以下函数的偏导数名师归纳总结 1zarctgy;2zlnxy;3uexy2z 3;第 1 页,共 29 页x6设zuv2tcosu,ute,vln ,求全导数dz ;dt7设uexyz,xt,ysin ,zcos ,求du ;dt8曲线zx24y2,在点 2,4,5处的切线对于 x 轴的倾角是多少?y49求方程x2y2z21所确定的函数 z 的偏导数;a2b2c210设zye2xxsin2y,求全部二阶偏导数;- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 11设zfx,y是由方程x精品资料欢迎下载z ,xz ;ylnz确定的隐函数,求z
3、y12设 xy e ye x,求 dy ;dx213设 z f x , y 是由方程 e zz xy 30 确定的隐函数,求 z ,z ,z;x y x y14设 z ye x 2cos y,求全微分 dz ;15求函数 z ln 2 x 2y 2 在点 ,1 2 的全微分;2 216利用全微分求 .2 98 .4 01 的近似值;2 2 217求抛物面 z x y 与抛物柱面 y x 的交线上的点 P 1,1 2, 处的切线方程和平面方程;2 2 218求曲面 x y z 3 上点 P 2 , ,1 3 处的切平面方程和法线方程;4 1 919求曲线 x 4 ,y 2t,z 3t 上点 M
4、0 x 0 , y 0 , z 0,使在该点处曲线的切线平行3于平面 x 2 y z 6;2 220求函数 f x , y 4 x y x y 的极值;2 x 221求函数 f x , y e x y 2 y 的极值;22要建造一个容积为 10 立方米的无盖长方体贮水池,底面材料单价每平方米 20元,侧面材料单价每平方米8 元;问应如何设计尺寸,便利材料造价最省? B 1求以下函数的定义域1zarcsinxy2xlnln10x24y2y;2uyx2y2y14x2221设fxy,yx2y2,求fx,fx,xy;x2设fx ,y2y,求fxy ,fx,y3求以下函数的极限名师归纳总结 - - -
5、- - - -第 2 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载x,y是否存在?1lim xy1x22y22x2y2;2 limx 0y 0ex112y2sinex 2y24设fx ,yx4xy2,当x ,y 0 0,问limx 0y 0fy0 0,x2y;0,当x,y,xsinx2y5争论函数的连续性,其中fx ,yx2y6二元函数fx ,yx2xyy2,x ,0,0 ,0x2yy0 0,在点处:连续,偏导数存在;0,x,y0 0,连续,偏导数不存在;不连续,偏导数存在;不连续,偏导数不存在;名师归纳总结 7设z1x2yy,求z ,xz ;yf 具有连
6、续的偏导第 3 页,共 29 页8设uf2x33y22z,求f ,x22 f ;x9设uf2x3,3y22,z,求f ,z2f;zx10设zxyfx2y2,x2y2, f 可微,求 dt ;11设fxy ,yz ,xz0,求z ,xz ;y12设zxyz0,求dzx yz1 11;13设zfrcos,rsin可微,求全微分 dz ;14设zfx,y是由方程fxz , yz0所确定的隐函数,其中数,求 dz,并由此求z 和 xz ;y15求zx2y2xy的偏导数;16设x2y2z01,求dx ,dzdy ;dzxyz2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1
7、7设uexyz,求x3uz;精品资料欢迎下载,94 , 14方向的方向导数;y18求函数uxyz在点,1,52处沿从点,1,52到点在点M,12t2,z2t4在此 点的x19求函数u2,2沿xt,yz2x2y2切线方向上的方向导数;20求函数u6 x2z8y2在点 P 处沿方向 n 的方向导数;21判定题: 简洁说明理由 1fx,yx0,y0就是fx ,y在x0, y0处沿 y 轴的方向导数;l 的方向导数均存y2如fx ,y在x0, y0处的偏导数f ,yf 存在,就沿任一方向 y在;22证明曲面x2y2z24上任意一点的切平面在坐标轴上的截距的平方为常333数;23证明:球面:yx2zy2
8、z21上任意一点a ,b ,c处的法线都经过球心;24求椭球面3x22216上的一点,123,处的切平面与平面z0的交角;25设 u , v 都是 x , y , z 的函数, u , v的各偏导数都存在且连续,证明:26问函数uxy2 在P,1,12处沿什么方向的方向导最大,并求此方向导数的最大值;27求内接于椭球面x2y2z21的最大长方体的体积;ab2c228某公司通过报纸和电视传媒做某种产品的促销广告,依据统计资料,销售收入 R 与 报 纸 广 告 费 x 及 电 视 广 告 费 y 单 位 : 万 元 之 间 的 关 系 有 如 下 经 验 公 式 :R1514x31y8xy2x21
9、0y2,在限定广告费为1.5 万元的情形下, 求相应的最优广告策略;名师归纳总结 29求函数fx,yexy的 n 阶麦克劳林公式,并写出余项;第 4 页,共 29 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 30利用函数fx,yxy精品资料欢迎下载111. 02的近似值;的 2 阶泰勒公式,运算 C 1证明lim x 0y 0xxyy20;,其中x,y在点00,邻域内连续,问 1x,y在22设fx ,y|xy|x,y处什么条件下,偏导数xf00,fy0 0,存在; 2x,y在什么条件下,fx,y在00,可微;3设 y f x , t 而 t 为由方程 x ,
10、y , t 0 所打算的函数,且 x , y , t 是可微的,试求 dy ;dx4设 z z x , y 由 z ln z y xe t 2dt 0 确定,求x 2ty;x y z u v 15从方程组 2 2 2 2 2 中求出 u ,v ,u x 2,v x 2;x y z u v 126设 z u x , y e ax by,且 u0,试确定常数 a , b ,使函数 z z x , y 能满意方x y2程:z z zz 0;x y x y7证明:旋转曲面 z f x 2y 2 f 0 上任一点处的法线与旋转轴相交;8试证曲面 x y z a a 0 上任何点处的切平面在各坐标轴上的截
11、距之和等于 a ;9抛物面zx2y2被平面xyz1截成一椭圆,求原点到这椭圆的最长与最短距离;10设 x 轴正向到方向 l 的转角为,求函数fx ,yx2xyy2在点1,1沿方向 l 的方向导数,并分别确定转角,使这导数有 1最大值; 2最小值; 3等于 0;第八章 多元函数微分法及其应用A 1填空题名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 21如zfx,y精品资料欢迎下载2z,2z连续y,就在 D 上,在区域 D 上的两个混合偏导数xyyxz2z;fx ,y在点x 0, y0处可微的必要条件是zfx,在点x 0, y0处
12、xyyxz2函数的偏导数存在;件;3函数zfx ,y在点x 0, y0x可微是zfx,y在点x0, y0处连续的充分条2求以下函数的定义域y0,x0y x 1zxyO 0,1 解:设定义域为 D ,由图 1 y0和xy0,即x2得Dx,y|x0,y0 ,2y,如图 1 所示2uarccosx2zy2解:设定义域为 D ,由x2y2,y0,即 x , y 不同时为零,且;x2zy21,即z2x2y2,得Dx,z|z2x2y2,x2y203求以下各极限名师归纳总结 1lim x 0y 0sinxysinxyy2lim x 0y 0xyxyxyxy xy11 1第 6 页,共 29 页x11解:原式
13、lim x 0y 0解:原式lim x 0y 011 xy1xy100l i m x 0y 0xy112- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3lim x 0y 01xcosx2xy2x22y2精品资料欢迎下载2y22y2解:原式lim x 0y 02sin2yx2y22x24x2y2224设z1lim x 0y 0113z22x2y2xlnxy,求x3z及2yxy解:zlnxyxylnxy1xxy2zy1,x3z0,x2xyx2y2zx11,x3z2xyxyyyy25求以下函数的偏导数名师归纳总结 1zarctgy xyx2x2x2xyy2第 7 页,共
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