2022年三角函数的图象与性质专题.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载三角函数的图象与性质专题基础梳理1“ 五点法 ” 描图1ysin x 的图象在 0,2 上的五个关键点的坐标为0,0 2,1 ,0 32, 1 2 ,02ycos x 的图象在 0,2 上的五个关键点的坐标为0,1,2,0 , , 1,32,0 ,2 ,12.三角函数的图象和性质函数ysin x ycos x ytan x性质定义域RR x|xk 2,kZ图象值域1,11,1R对称性对称轴： _ x k 2对称轴：对称中心：_ k 2,0 第 1 页,共 12 页 - - - - - - -

2、 - - xk kZ_；kZ_ _；对称中心：对称中心：_k 2, 0 kZ_ kZ _ _ k,0kZ_ _周期2_ 2单 调 增 区 间 _2k单调增区间 2k ,单调性2,2k 2kZ_；2k kZ _；单调增区间 _k 2,单调减区间 2k 2,单调减区间 2k, 2kk 2kZ_ kZ_ 2k3 2 k Z _ 奇偶性奇函数偶函数奇函数3.一般地对于函数fx,假如存在一个非零的常数T,使得当x 取定义域内的每一个值时,都有 fx Tfx,那么函数fx就叫做周期函数,非零常数T 叫做这个函数的周期,把全部周细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - -

3、- -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -期中存在的最小正数,叫做最小正周期学习必备欢迎下载 函数的周期一般指最小正周期对函数周期性概念的懂得周期性是函数的整体性质,要求对于函数整个定义域范畴的每一个x 值都满意 fxTfx,其中 T 是不为零的常数.假如只有个别的x 值满意 fxTfx,或找到哪怕只有一个x 值不满足 fxTfx,都不能说T 是函数 fx的周期 . 函数 yAsin x和 yAcos x的最小正周期为2,|ytan x的最小正周期为. |4.求三角函数值域最值 的方法：1利用 sin x、cos x 的有界性；关于正、余弦函数

4、的有界性由于正余弦函数的值域都是1,1,因此对于 . xR,恒有 1sin x1,1cos x1,所以 1叫做 ysin x,ycos x 的上确界, 1 叫做 y sin x,y cos x 的下确界 . 2形式复杂的函数应化为 y Asin x k 的形式逐步分析 x 的范畴,依据正弦函数单调性写出函数的值域；含参数的最值问题,要争论参数对最值的影响 . 3换元法：把 sin x 或 cos x 看作一个整体,可化为求函数在区间上的值域 最值 问题利用换元法求三角函数最值时留意三角函数有界性,如：ysin 2x4sin x5,令 tsin x|t|1,就 yt2 211,解法错误 . 5.

5、求三角函数的单调区间时,应先把函数式化成形如yAsin x 0的形式,再依据基本三角函数的单调区间,求出 x 所在的区间 .应特殊留意,应在函数的定义域内考虑 .留意区分以下两题的单调增区间不同 ;利用换元法求复合函数的单调区间 要留意 x 系数的正负号 1y sin 2x4；2ysin 42x . 热身练习 : 1函数 ycos x 3, xR 第 2 页,共 12 页 A 是奇函数B既不是奇函数也不是偶函数C是偶函数D既是奇函数又是偶函数细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 -

6、 - - - - - - - - - - - - - -2函数 ytanx 的定义域为 4学习必备欢迎下载 A . x xk4,kZ B. x x 2k4, kZ C. x xk4,kZ D. x x 2k4,kZ3函数 ysin2x3的图象的对称轴方程可能是 A x6 Bx12 Cx6 Dx124ysin x4的图象的一个对称中心是 A ,0 B.3 4,0 C. 3 2,0 D. 2, 05以下区间是函数 y2|cos x|的单调递减区间的是 A.0 , B. 2,0 C. 32,2 D. , 2 6已知函数 fxsin2x,其中 为实数,如 fx | 6|对任意 xR 恒成立,且 f 2

7、 f ,就 fx的单调递增区间是 A k3,k 6 kZ Bk,k2 kZ Ck6,k2 3 kZ D k2,k kZ 7.函数 fx3cos 2 x 4 xR 的最小正周期为 _ 8.y 23cos x4的最大值为 _,此时 x_ 9函数 ysinxa 21,当 sinx1 时, y 取最大值；当 sinxa 时, y 取最小值,就实数 a的取值范畴是 _10函数 fxsin 2x3sinxcosx 在区间 4, 2上的最大值是 .典型例题题型一与三角函数有关的函数定义域问题x1的定义域；例 1求以下函数的定义域：1ylgsincos x；2ysin xcos x. 变式训练 1 1求函数

8、ylg2sinx18tancosx 2细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -2求函数 y2log 1xtan学习必备欢迎下载x 的定义域 . 2题型二 、三角函数的五点法作图及图象变换例 2 已知函数 fx4cosxsinx 61. 1用五点法作出 fx在一个周期内的简图；2该函数图象可由 ysinxxR的图象经过怎样的平移变换与伸缩变换得到？题型 三 三角函数图象与解析式的相互转化例 3 函数 f

9、xAsin xxR, A0,0,00来确定 ； 的确定：由函数 y Asin x K 最开头与 x 轴的交点 最靠近原点 的横坐标为 即令 x0,x 确定 . 例 4 如方程 3sinxcosxa 在0,2 上有两个不同的实数根求此时 x1 x2 的值x1,x2,求 a 的取值范畴,并例 5 已知函数 fxAsin x,xR其中 A0,0,0 2的图象与 x 轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为 2,且图象上一个最低点为 M2 3, 21求 fx的解析式；2将函数 fx的图象向右平移 12 个单位后, 再将所得图象上各点的横坐标缩小到原先的 12,纵坐标不变,得到 ygx的图象,求函数 ygx

10、的解析式,并求满意 gx 2且 x0, 的实数 x 的取值范畴题型 四、三角函数的奇偶性与周期性及应用细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载例 1 已知函数 fxsin x,其中 0, | 2. 31如 cos 4cossin 4 sin0,求 的值；2在 1的条件下,如函数 fx的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 3,求函数 fx的解析式；并求最小正实数 m,使得函数 fx的图

11、象向左平移 m 个单位后所对应的函数是偶函数题型五 三角函数的单调性与周期性例 2 写出以下函数的单调区间及周期：1 ysin2x 3；2y|tan x|. 探究提高 1求形如 yAsin x或 yAcos x 其中 A 0,0的函数的单调区间,可以通过解不等式的方法去解答 . 列不等式的原就是：把“ x 0” 视为一个 “ 整体 ” ； A0 A0,0：如求 yfx的对称轴,只需令 xk 2kZ,求出 x；如求 yfx的对称中心的横坐标,只零令 xk kZ ,求出 x；如求 yfx的单调增区间,只需令 如求 yfx的单调减区间,只需令题型七 三角函数的对称性与奇偶性2k 2 x2k 2,求出

12、 x；2k 2 x2k3 2,求出 x. 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -例 31已知 fx sin x学习必备欢迎下载 | 2的图象关于直线x0 对称,3cos xxR,函数 yfx 就 的值为 _. 2假如函数 y 3cos2x的图象关于点4 3,0 中心对称,那么|的最小值为 . A . 6B. 4C. 3D. 2探究提高如 fxAsin x为偶函数,就当x0 时, fx取得最大或最小值

13、如 fxAsin x为奇函数,就当x0 时, fx0. 假如求 fx的对称轴,只需令 x 2k kZ,求 x. 假如求 fx的对称中心的横坐标,只需令 xk kZ即可 . 变式训练 3 1已知函数 fxsinxacos x 的图象的一条对称轴是 x5 3,就函数 gxasin xcos x 的最大值是 2 2 2 3 4 2 6A. 3 B. 3 C. 3 D. 32如函数 fxasin xbcos x 00,|0和 gx2cos2x1 的图象的对称轴完全相同 .如 x0,2,就 fx的取值范畴是 _ 4函数 fx2sin x0在 0, 4上单调递增,且在这个区间上的最大值是 3,那么 等于

14、_6.关于函数 fx4sin 2xxR,有以下命题：y4cos 2x 6；3由 fx1fx20 可得 x1x2 必是 的整数倍； yfx的表达式可改写为yfx的图象关于点 6, 0 对称； yfx的图象关于直线x 6对称 . 其中正确命题的序号是_. 三、解答题7.设函数 fxsin 2x 0,yfx图象的一条对称轴是直线x 8. 1求 ；2求函数 yfx的单调增区间. 6的值域；8.1求函数 y 2sin 2x 6x0在区间 3, 4上的最小值是2,就 的最小值等于 A.2B.3C.2 D.3 323.函数 fxcos 2xsin5 2x 是 A.非奇非偶函数B. 仅有最小值的奇函数C.仅有

15、最大值的偶函数D. 有最大值又有最小值的偶函数二、填空题 4.设定义在区间 0,2上的函数 y6cos x 的图象与 y5tan x 的图象交于点 P,过点 P 作 x 轴的垂线,垂足为 P1,直线 PP1 与函数 ysin x 的图象交于点 P2,就线段 P1P2 的长为 _ 5.函数 fx2sin x0在 0, 4上单调递增, 且在这个区间上的最大值是 3,那么 _4 3_. 6.给出以下命题：函数 ycos 2 3x 2是奇函数；存在实数,使得 sin cos 3 2；的一条对称轴；如 、 是第一象限角且,就 tan 0的图象与直线ym 相切,并且切点的横坐标依次成公 第 10 页,共

16、12 页 - - - - - - - - - 差为 2的等差数列 . 1求 m 的值；2如点 Ax0,y0是 yfx图象的对称中心,且x00, 2,求点 A 的坐标 . 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载三角函数的图象与性质练习四一、挑选题1函数 fx2sin xcos x 是 A最小正周期为 2 的奇函数 B最小正周期为 2 的偶函数C最小正周期为 的奇函数 D最小正周期为 的偶函数2函数 ysin 2xsin x 1 的值域为 A 1,

17、1 B.5 4, 1 C. 5 4,1 D. 1,5 43如函数 fxsin x0在区间 0,3上单调递增, 在区间 3, 2上单调递减, 就 2 3A. 3 B. 2 C2 D3 4函数 fx13tan xcos x 的最小正周期为 A2 B.3 2 C D. 25以下函数中,周期为 ,且在 4, 2上为减函数的是 Ay sin 2x2 Bycos 2x2 Cy sin x2 Dycos x26已知函数 fxsin x2 xR,下面结论错误选项 A函数 fx的最小正周期为 2 B函数 fx在区间 0,2上是增函数C函数 fx的图象关于直线 x0 对称 D函数 fx是奇函数二、填空题7.y=|

18、sin （x+ ） | 的单调增区间为 _ 48.要得到 y 3 cos 2 x 的图象,可以将函数 y = 3 sin2 x 的图象向左平移 _单位 . 49.如动直线x a 与函数 f x sin x 和 g x cos x 的图像分别交于 M,N 两点,就 MN 的最大值为 _. 10 函数 fx=3sinx1x 0x2 的值域是 _ 第 11 页,共 12 页 2cosx2sin细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -

19、11.已知f x sinx30,f学习必备f欢迎下载f x 在区间,6 3有最小值,无63,且最大值,就_ 12、给出下面的 3 个命题：（1）函数 y | sin 2 x | 的最小正周期是（2）函数 y sinx 3 3 2 2在区间 , 3 上单调递增；（3）x 5是函数 y sin x 5 的图象的一条对称轴 .其中正2 4 2确命题的序号是13如函数 fxcos xcos 2 x 0的最小正周期为 ,就 的值为 _14函数 y tan 2x4的图象与 x 轴交点的坐标是 _15已知函数 fxsinx3cosx 2, 是偶函数,就 的值为 _三、解答题16已知 fxsin xsin 2

20、x . 1如 0, ,且 sin 21 3,求 f的值；2如 x0, ,求 fx的单调递增区间17设函数 fxsin2x0,y fx图象的一条对称轴是直线x 8. 1求 ； 2求函数 yfx的单调增区间18、设函数f x sinx62cos2x1（1）求f x 的最小正周期时yg x 的最48（2）如函数yg x 与f x 的图像关于直线x1对称,求当x0,4y3大值19、设函数f x a b,其中向量am,cos2 ,b1sin2 1, xR ,且yf x 的图 第 12 页,共 12 页 象经过点 2, 4x 值的集合（1）求实数 m 的值；（2）求函数f x 的最小值及此时2sin2x的图象 ,求向量 c ；3求函数的单调区间；4函数图象沿向量c 平移得到y细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -