2022年三角函数与平面向量.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -【考情报告】年份题型考2022 年2022 年2022 年点第 7 题:考查了三角函数的定义及倍角公小题式第 9 题:考查了三角函数图象的性质第 9 题:考查了三角函数的图象第 11 题:考查了三角恒等变换及三角函第 10 题:考查了倍角公式及余弦定理的数图象的性质第 15 题:考查了平面对量的数量积及向应用第 13 题:已知向量垂直求参数量的模的相关学问第 13 题:考查了平面对量数量积的运算第 15 题:已知三角形的两边及一边的对 角,求三角形的面积第 16 题:考查了三角恒等变换大题第 17 题:考查了

2、正弦定理及三角形的面积公式的应用【考向猜测】从近几年的高考试题命题情形来看 ,三角函数与平面对量在高考中基本上是两个小题一个大题或四个小题 .小题以中、低档难度试题为主 ,主要考查三角函数的求值、化简 ,三角函数的图象及简洁性质 ,向量的运算等基础学问 ,试题大多来源于教材 ,是例题、习题的变形或创新 .解答题常以平面对量或三角恒等变换为工具 ,综合考查三角函数的图象和性质 ;或以正、余弦定理为工具 ,考查解三角形及其应用 ;或考查平面对量在解析几何中的综合应用 .猜测 2022 年高考对三角函数与平面对量内容的考查 ,将侧重平面向量学问在主观题中的渗透 ,解答题仍将以三角恒等变换或解三角形为

3、主 .【问题引领】1.2022 福建卷 将函数 fx=sin2 x+- 0 个单位长度后得到函数 gx的图象 ,如 fx,gx的图象都经过点 P0, ,就 的值可以是 .A. B. C. D.2.2022 四川卷 设 sin 2 =-sin , , 就 tan 2 的值是 . 3.2022 新课标全国 卷 已知两个单位向量 a,b 的夹角为 60,c=ta+ 1-tb,如 bc=0,就 t= . 4.2022 陕西卷 已知向量 a=cos x,- ,b= 1求 fx的最小正周期 ; 2求 fx在0,上的最大值和最小值.sin x,cos 2 x,xR,设函数 fx=ab.细心整理归纳 精选学习

4、资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 19 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -5.2022 四川卷 在 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 1求 sin A 的值 ; 2如 a=4,b=5, 求向量在方向上的投影 .一、三角函数的图象与性质 1.任意角的三角函数a,b,c,且 cos A-Bcos B-sinA-Bsin A+C=- .【学问整合】设 是一个任意角 ,它的终边上除原点外的任意一点为Px,y,r=,那么 sin = ,cos = ,tan

5、= .2.三角函数的性质 结合图象懂得 ,表中 kZ y=sin xy=cos xy=tan x图象定义域RRxR|xk+值域-1,1-1,1R最小正22周期奇偶性奇函数偶函数奇函数增区间-+2k,-+2k ,2k -+k,减区间+2k2k,+2k +k+2k,无+2k 对称轴x=k+x=k无对称中心k,0+k ,0,03.函数 y=Asin x+的图象1“ 五点法” 作图:设 z= x+,令 z=0, ,2 ,求出 x 的值与相应的y 的值 ,描点、连线可得 .2图象变换 : 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 19 页 -

6、 - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -y=sin xy=sin x+y=sin x+ y=Asin x+A0, 0.y=sin x y=sin xy=sin x+ y=Asin x+A0, 0.二、三角恒等变换与解三角形1.和、差角公式 : 1cos =cos cos .sin sin .2sin =sin cos cos sin .3tan = .2.倍角公式 : 1sin 2 =2sin cos ;1sin =sincos2.,sin2=.2cos 2 =cos2-sin2 =2cos2-1=1-2sin2;

7、cos2 =3tan 2 =.3.帮助角公式 :asin +bcos =sin +.其中 cos =,sin = 4.正、余弦定理及三角形面积公式 : 1正弦定理 : = = =2R2R 为 ABC 外接圆的直径 .2余弦定理 :a2=b2+c2-2bccos A;b2=a2+c2-2accos B;c2=a2+b2-2abcos C.3三角形面积公式 :SABC= bcsin A= acsin B= absin C.5.三角形中的常用结论 : 1三角形内角和定理 :A+B+C=.2ABC . abc . sin Asin Bsin C.3a=bcos C+ccos B.4已知两边及其一边的对

8、角,判定三角形解的情形:以已知 a,b,A 为例 , i当 A 为直角或钝角时 ,如 ab,就有一解 ;如 ab,就无解 .ii当 A 为锐角时 ,如下表 : 细心整理归纳 精选学习资料 absin Aa=b sin Absin Aabab 第 3 页,共 19 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -无解一解两解一解三、平面对量1.向量的概念1零向量模的大小为 0,方向是任意的 ,它与任意非零向量都共线 ,记为 0.2长度等于 1 个单位长度的向量

9、叫单位向量 ,a 的单位向量为 .3方向相同或相反的向量叫共线向量 平行向量 .4向量的投影 :|b|cos叫作向量 b 在向量 a 方向上的投影 .2.平面对量的运算 : 1向量的加法、减法、数乘向量是向量运算的基础 ,应娴熟把握其运算规律 .2平面对量数量积的结果是实数 ,而不是向量 .要留意数量积运算与实数运算在运算律方面的差异 ,平面对量的数量积不满意结合律与消去律 .ab 的运算结果不仅与 a,b 的长度有关 ,而且仍与 a,b 的夹角有关 ,即 ab=|a|b|cos.3.两非零向量平行、垂直的充要条件 :如 a=x1,y1,b=x2,y2,就1ab. a=b0. x1y2-x2y

10、1=0.2ab. ab=0. x1x2+y1y2=0.留意 a、b 为非零向量 4.利用向量的数量积求线段的长度问题1如 a=x,y, 就|a|=.2如 Ax1,y1,Bx2,y2,就|=5.求向量的夹角问题:设 为 a 与 b 的夹角 ,就1cos =.2如 a=x1,y1,b=x2,y2,就 cos =3夹角大小的判定方法 : 如 ab0. a 与 b 的夹角 为锐角或零角 ; 如 ab0,且 y=fx图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 .1求 的值 ; 2求 fx在区间 ,上的最大值和最小值.,三角函数的周期、单调性等学问.需 第 4 页,共 19 页 【分析】此题是综合考查两角和

11、与差的正弦公式,二倍角的正、余弦公式及帮助角公式先把函数式化为y=Asin x+的形式 ,然后依照有关学问进行解答.细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -【解析】 1fx=-sin2 x-sin xcos x=- sin 2 x= cos 2 x- sin 2 x=-sin2 x- .由于图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 , 又 0,所以 =4 .因此 =1.2由 1 知 fx=-sin2 x- .当 x时 ,2x-

12、 .所以 -sin2 x- 1.因此 -1fx.故 fx在区间 ,上的最大值和最小值分别为,-1.【归纳拓展】求三角函数的周期、单调区间、对称轴、对称中心、最值及判定三角函数的奇偶性时 ,往往是在定义域内 ,先化简三角函数式 ,尽量化为 y=Asin x+B 或 y=Acos x+B 的形式 ,然后再求解 .在解决三角函数的有关问题时 ,如把三角函数的性质融于函数的图象之中 ,将数 量与图形结合起来进行分析、争论 ,可使抽象复杂的数量关系通过几何图形直观地表现出来 ,这也表达明白决三角函数问题时数形结合思想的应用 .变式训练 1 对于函数 fx=sin x,gx=cos x,hx=x+ ,有如

13、下四个命题 : fx-gx的最大值为 ; fhx 在区间 - ,0上是增函数 ; gfx 是最小正周期为2 的周期函数 ; gx的图象 .个单位长度可得将 fx的图象向右平移. 其中真命题的序号是热点二 :三角函数图象的变换细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 19 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -通过近年各地高考试题可以看出,三角函数图象的变换始终是这些年高考考查的热点,且试题常考常新 .高考对三角函数图象变换的考查 ,常结合三角恒等

14、变换、平面对量等学问进行综合考查 .2022 湖北卷 将函数 y= cos x+sin xxR的图象向左平移 mm0个单位长度后 ,所得到的图象关于 y 轴对称 ,就 m 的最小值是 .A. B. C. D.【分析】函数图象经平移后关于 y 轴对称 ,即平移后的函数为偶函数 ,可表示为 y=Acos x的形式 ,故将函数 y= cos x+sin xxR化为 y=Acos x+的形式较好 .【解析】将函数y=cos x+sin x=2cos x- 的图象向左平移m 个单位后 ,得到函数 y=2cos x- +m的图象 ,故 m 的最小值是 .【答案】 B 【归纳拓展】 任何形如 y=Asin

15、x+的函数的图象 ,经过平移变换之后 ,都可以变成一个奇函数或偶函数的图象 ,即可以变换为 y= Asin x或 y= Acos x的图象 .在进行图象变换时 ,必需留意 对平移单位的影响 ,即由 y=Asin x变化到 y=Asin x+时,平移量应是 | |;但对 y=Asin x+进行伸缩变换时 ,要留意 是不变的 .函数图象的变换肯定要留意区分变换前后的函数及其形式 .变式训练 2如下列图 ,为了得到 gx=sin 2 x 的图象 ,只需将 fx的图象 .A.向右平移 个长度单位B.向右平移 个长度单位C.向左平移 个长度单位D.向左平移 个长度单位热点三 :三角函数求值从近年高考试题

16、的命题情形来看,高考对三角函数求值的考查题型有三类:“ 给角求值”,即在不查表的前提下,通过三角恒等 第 6 页,共 19 页 变换求三角函数式的值;“ 给值求值”,即给出一些三角函数或三角函数式 的值 ,求与之有关的其他三角函数式的值;“ 给值求角”,即给出三角函数值,求出符合条件的角.2022 广东卷 已知函数 fx=cos x-,xR.细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -1求 f 的值 ; 2如 cos = , ,2

17、 ,求 f- .【分析】此题主要考查三角函数的概念与运算 ,考查两角和与差公式的应用 .【解析】 1f = cos-= cos =1.2f- = cos - -= cos - = cos cos +sin sin =cos +sin .cos = , ,2 , sin =-=- , f- = - =- .【归纳拓展】对于条件求值问题 ,即由给出的某些角的三角函数值 ,求另外一些角的三角函数值 ,关键在于“ 变角” ,使“ 目标角”变换成“ 已知角”,如角所在的象限没有确定 ,就需分情形争论 ,应留意公式的正用、逆用、变形用 ,把握其结构特点 ,仍要留意拆角、拼角等技巧的运用 .变式训练 3 1

18、 如 sin +2cos =0,就 的值为 .A.-B. C. D.-2已知 , ,cos =-,就 tan 2 等于 .A. B.-C.-2 D.2 热点四 :平面对量的运算高考对平面对量的运算的考查常考常新 ,与平面对量数量积有关的问题 如向量共线、垂直及夹角等问题 是高考考查的重点 .此类问题多以挑选题、 填空题的形式显现 ,有时也渗透在解答题中与其他学问交汇命题 ,综合考查同学分析问题、解决问题的才能 .2022 广东卷 设 a 是已知的平面对量且 a0.关于向量 a 的分解 ,有如下四个命题 : 给定向量 b,总存在向量 c,使 a=b+c.给定向量 b 和 c,总存在实数 和 ,使

19、 a=b+c.细心整理归纳 精选学习资料 给定单位向量b 和正数 ,总存在单位向量c 和实数 ,使 a=b+c. 第 7 页,共 19 页 给定正数 和 ,总存在单位向量b 和单位向量 c,使 a=b+c.上述命题中的向量b,c 和 a 在同一平面内且两两不共线,就真命题的个数是A.1 B.2 C.3 D.4 【分析】此题主要考查平面对量的有关概念与性质. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -【解析】命题 正确 ,由于对于非零向量a,任意给定向量b,

20、均存在 a-b,即存在向量 c;由平面对量基本定理可知命题正确 ;命题 不正确 ,如|a|=2,给定的单位向量b 满意 ab=0, =1 时,对任意的 ,c 恒有 |a-b|=2,| c|=1, 即 a-b=c 不行能成立 ;命题 不正确 ,如|a|=3, = = 1,就不存在单位向量【答案】 B b,c 满意 a=b+c,由于 | b+c| + = 2,所以 ab+c.【归纳拓展】 平面对量主要考查:1 平行、垂直的充要条件 ;2数量积及向量夹角. ;3 向量的模 .解决此类问题的方法主要有:1利用平面对量基本定理及定义;2 通过建立坐标系进行坐标运算.变式训练 41 已知向量 a=1,2,

21、 ab=5, |a-b|=2,就|b|等于 .A.B.2C.5 D.25 2在边长为1 的正三角形ABC 中 ,设=2,=3,就= 热点五 :解三角形“ 解三角形” 不仅反映了三角形边、角间的联系 ,表达了数与形的结合 ,而且问题易与三角函数的图象和性质、简洁三角恒等变换、平面对量等学问点联系 ,符合高考命题“ 要在学问点的交汇处命题” 的要求 .故解三角形问题也始终是历年高考的热点 .2022 湖北卷 在 ABC 中 ,角 A,B,C 对应的边分别是 1求角 A 的大小 ; 2如 ABC 的面积 S=5 ,b=5,求 sin Bsin C 的值 .a,b,c,已知 cos 2 A-3cos

22、B+C=1.【分析】 此题主要考查三角恒等变换及正、余弦定理的应用 .第 1问可先由题设条件求出cos A 值,再求出角 A 的大小 ;第 2问可先由面积求出c 的值 ,再由余弦定理求出a 的值 ,最终由正弦定理求得sin Bsin C 的值 .【解析】 1由 cos 2 A-3cos B+C=1, 得 2cos2A+3cos A-2=0, 即2cos A-1cos A+2=0, 解得 cos A= 或 cos A=-2舍去 .由于 0Ac.限时训练卷 一 一、挑选题1.已知 sin 0,那么 是 .A.第一象限角B.其次象限角C.第三象限角D.第四象限角2.已知函数 fx=sinx- xR,

23、下面结论错误选项A.函数 fx的最小正周期为2B.函数 fx在区间 0,上是增函数C.函数 fx的图象关于直线x=0 对称D.函数 fx是奇函数3.如 cos 2 -=且 - ,0, 就 sin -等于 .A.-B.-C.-D. 4.如圆的半径增加到原先的2 倍,弧长也增加到原先的2 倍,就.A.扇形面积不变B.扇形的圆心角不变C.扇形的面积增大到原先的2 倍y=sin2 x- 的图象 . 第 11 页,共 19 页 D.扇形的圆心角增大到原先的2 倍5.要得到函数 y=sin 2 x 的图象 ,只需将函数细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -

24、- - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -A.向右平移 个单位长度B.向左平移 个单位长度C.向右平移 个单位长度D.向左平移 个单位长度6.已知倾斜角为 的直线 l 与直线 x-2y+2=0 平行 ,就 tan 2 的值为 .A. B. C. D.7.以下关系式中正确选项 .A.sin 11 cos 10 sin 168B.sin 168 sin 11 cos 10 C.sin 11 sin 168 cos 10 D.sin 168 cos 10 0 且 a1的图象恒过定点 P,如角 的终边过点 P,就 cos

25、2 +sin 2 的值等于 .A.-B. C. D.-9.下图所示的是函数 y=Asin x+A0, 0图象的一部分 ,就其函数解析式是 .A.y=sin x+ B.y=sin x- C.y=sin2 x+ D.y=sin2 x- 二、填空题10.sin-600 = . 11.已知 sinx+ =- ,就 sin 2 x= . 12.函数 y=sin1 -x的递增区间为 . 三、解答题13.已知函数 fx=2sin xcos x+cos 2 xxR.1当 x 取什么值时 ,函数 fx取得最大值 ,并求其最大值 ; 2如 为锐角 ,且 f + =,求 tan 的值 . 第 12 页,共 19 页

26、 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -限时训练卷 二 一、挑选题1.已知 ab=-12,|a|=4,a 和 b 的夹角为 135 ,就|b|为.A.12B.3C.6D.32.已知四边形 ABCD 的三个顶点 A0,2, B-1,-2,C3,1, 且=2,就顶点 D 的坐标为 A.2, B.2,- .C.3,2 D.1,3 3.在 ABC 中,=a ,=b,如 ab0,就 ABC 的外形为 .A.直角三角形B.钝角三角形C.

27、锐角三角形D.不能判定4.如函数 fx=sin x 0在区间 0,上单调递增 ,在区间 , 上单调递减 ,就 等于 A.3 B.2 C.D.,就 SABC 等于 5.在 ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为a,b,c,如角 A,B,C 依次成等差数列 ,且 a=1,b=A.B.C.D.2 6.满意 A=45,c= ,a=2 的 ABC 的个数记为 m,就 am的值为 .A.4 B.2 C.1 D.不确定7.已知 A,B,C 是锐角 ABC 的三个内角 ,向量 p=sin A,1, q=1,-cos B, 就 p 与 q 的夹角是 .A.锐角 B.钝角 C.直角 D.不确定8.在 ABC 中,a、b、c 分别为三个内角 A、B、C 所对的边 ,设向量 m=b-c,c-a,n