2022年中考数学第一轮复习第讲《等腰三角形》专题训练含答案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第 15 讲 等腰三角形考纲要求 命题趋势1明白等腰三角形的有关概 念,把握其性质及判定2明白等边三角形的有关概 念,把握其性质及判定3把握线段垂直平分线的性质 及判定等腰三角形的概念、 性质、判定是中考的重点内容,在选 择题、填空题、解答题中均有 显现；等边三角形、线段的垂 直平分 线及角的平分线在中4把握角平分线的性质及判考中也常常考查. 定.学问梳理一、等腰三角形1等腰三角形的有关概念及分类有两边相等的三角形叫做等腰三角形,三边相等的三角形叫做等边三角形,也叫做正三角形；等腰三角形分为腰和底_ 的等腰三角形和_ 三角形2等腰三角形的性质1

2、等腰三角形的两个底角相等 简称为“ 等边对等角”；2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合 简称为“ 三线合一”；3 等腰三角形是轴对称图形3等腰三角形的判定假如一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等 简称为“ 等角对等边”二、等边三角形的性质与判定1等边三角形的性质1等边三角形的内角相等,且都等于_ ；2等边三角形的三条边都_2等边三角形的判定1_ 相等的三角形是等边三角形；2_ 相等的三角形是等边三角形；3有一个角为 _ 的等腰三角形是等边三角形三、线段的垂直平分线1概念： 经过线段中点,并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,也叫_ 2性质： 线

3、段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离 _ 3判定： 到一条线段的两个端点 _ 的点在线段的垂直平分线上,线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离相 等的点的集合四、角的平分线1性质： 角平分线上的点到角的两边的距离 _2判定： 角的内部到角的两边距离相等的点在角的 的两边距离相等的点的集合自主测试_ 上,角的平分线可以看作是到角1等腰三角形的周长为 14,其中一边长为 4,那么,它的底边长为 _ 2如图,在ABC 中, C90,AD 平分 CAB,AD5,AC4,就 D 点到 AB 的距离是_ 3等腰三角形一腰长为 5,一边上的高为 3,就底边长为 _ 4等腰三角形的底和腰是方程 x

4、26x 80 的两根,就这个三角形的周长为 名师归纳总结 A8 B10 第 1 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - C8 或 10 D不能确定考点一、等腰三角形的性质与判定【例 1】 已知：点 O 到 ABC 的两边 AB,AC 所在直线的距离相等,且 OBOC. 1如图甲,如点 O 在边 BC 上,求证： ABAC；解： 1证明：过点 O 分别作 OE AB,OFAC,E,F 分别是垂足,由题意知,OEOF ,OBOC,Rt OEBRt OFC , B C,从而 ABAC. 2证明：过点O 分别作 OEAB,OF AC,E,F 分别是垂足

5、,由题意知,OE OF. 在 Rt OEB 和 Rt OFC 中, OEOF ,OBOC,Rt OEBRt OFC . OBE OCF . 又由 OB OC 知 OBC OCB, ABC ACB, ABAC. 3不肯定成立BC 的垂直平分线重合时,有ABAC；否就, AB AC,如示当 A的平分线所在直线与边例图名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 方法总结 1要证明一个三角形为等腰三角形,须证明这个三角形的两条边相等或两个角相等,两种方法往往都需要证明三角形全等2如三角形中显现了高线、中线或角平分线,有时可以延长某些线

6、段,构造出等腰三角形,然后用 “ 三线合一 ” 性质去处理触类旁通 1 如图 ,已知 ACBC,BD AD,AC 与 BD 交于 O,ACBD. 求证： 1BC AD；2 OAB 是等腰三角形考点二、等边三角形的性质与判定【例 2】1如图甲,点 O 是线段 AD 的中点,分别以 AO 和 DO 为边在线段 AD 的同侧作等边三角形 OAB 和等边三角形 OCD ,连接 AC 和 BD,相交于点 E,连接 BC.求 AEB 的大小2如图乙,OAB 固定不动,保持OCD 的外形和大小不变,将OCD 围着点 O 旋转 OAB 和 OCD 不能重叠 ,求 AEB 的大小分析： 解 决等边三角形问题时,

7、要充分利用等边三角形三边相等、三个角都等于 60的性质全等是解决这类问题最常见的方法解： 1如图甲图甲 DOC 和 ABO 都是等边三角形,且点 O 是线段 AD 的中点,ODOCOBOA,1 260, 4 5. 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 又 4 5 260, 430.同理, 630. AEB 4 6, AEB 60. 2如图乙图乙 DOC 和 ABO 都是等边三角形,ODOC,OBOA,1 260 . 又 ODOA, OD OB,OAOC, 4 5, 6 7. DOB 1 3, AOC 2 3, DOB A

8、OC. 4 5 DOB180 , 6 7 AOC180 ,2526, 5 6. 又 AEB 8 5, 8 2 6, AEB 2 5 5 2, AEB60. 方法总结 1等边三角形的各边相等,各角相等,所以常利用其证明三角形全等或线段及角相等2等边 三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点,称为等边三角形的中心四心合一 触类旁通 2 已知,如图,延长ABC 的各边,使得 BF AC,AECD AB,顺次连接 D,E,F ,得到DEF 为等边三角形求证： 1 AEF CDE ；2 ABC 为等边三角形考点三、线段的垂直平分线【例 3】如图,ABC 的周长为 30 cm,把ABC 的边 AC 对折,使

9、顶点 C 和点 A 重合,折 ABD 的周长是 痕交 BC 边于点 D,交 AC 边于点 E,连接 AD,如 AE4 cm,就A22 cm B20 cm C18 cm D15 cm 解析： 由题意可知DE 为 AC 的垂直平分线,所以AD CD,AC 2AE 8 cm.由于 ABC 的周长为 30 cm,所以 ABBCAC30 cm,所以 ABBC 22 cm.所以 ABD 的 周长为 ABBDAD ABBC22 cm. 答案： A 名师归纳总结 方法总结1线段垂直平分线的性质有两个：1线段垂直平分线上的点到线段两个端点第 4 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - -

10、- - - - - - 的距离相等；2线段垂直平分线垂直、平分这条线段2线段垂直平分线的性质定理在中考中常以挑选题、填空题的形式显现,且常与三角形的 周长结合命题触类旁通3 如图,在Rt ABC 中, C90, CAB 的平分线AD 交 BC 于 D,如 DE 垂直平分 AB,求 B 的度数考点四、角的平分线【例 4】 如图,已知CDAB 于点 D,BEAC 于点 E,且 CD,BE 相交于点O. 求证： 1当 1 2 时, OB OC；2当 OBOC 时, 1 2. 证明： 1 1 2, CDAB,BEAC,OEOD. 3 4, CEO BDO 90, OEC ODB. OBOC. 2 3

11、4, CEO BDO 90,OBOC, OEC ODB. OEOD. CD AB,BEAC,OA 平分 CAB . 1 2. 方法总结 在解决有关角平分线的问题时通常做法是过角平分线上一点作角的两边的垂线触类旁通4 如图, OP 平分 AOB ,PAOA,PB OB,垂足分别为A,B.以下结论中不肯定成立的是 APA PBBPO 平分 APB名师归纳总结 COA OBDAB 垂直平分OPE,过点 E 作 MN第 5 页,共 9 页12022 贵州铜仁 如图,在ABC 中, ABC 和 ACB 的平分线交于点 BC 交 AB 于 M,交 AC 于 N,如 BMCN9,就线段MN 的长为 - -

12、- - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A6 B7 C8 D9 22022 江西南昌 如等腰三角形的顶角为80, 就它的底角是 A20B 50C60D8032022 浙江宁波 如图, AE BD,C 是 BD 上的点,且 EAB_ 度ABBC, ACD 110,就42022 广东广州 如图,在等边ABC 中, AB 6,D 是 BC 上一点,且 BC3BD,ABD 绕点 A 旋转后得到ACE,就 CE 的长度为 _ 求证： 1 ABD ACD ；2BECE. 1如图,坐标平面内有一点 A2, 1,O 为原点, P 是 x 轴上的一个动点,假如以点 P,O,A 为顶点

13、的三角形是等腰三角形,那么符合条件的动点 P 的个数为 A2 B3 C4 D5 名师归纳总结 2如下列图,A,B,C 分别表示三个村庄,AB1 000 米, BC600 米, AC800 米,在第 6 页,共 9 页社会主义新农村建设中,为了丰富群众生活,拟建一个文化活动中心,要求这三个村庄到活动中心的距离相等,就活动中心P 的位置应在 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - AAB 中点 BBC 中点CAC 中点D C 的平分线与AB 的交点3在ABC 中, B 和 C 的平分线交于点于点 E,如 BDCE9,就线段 DE 的长为 A9 B8 C7 D6

14、F,过点 F 作 DF BC,交 AB 于点 D,交 AC 4如图, P,Q 是 ABC 边 BC 上的两点,且QCAP AQBP PQ,就 BAC A125B130C90D1205如图,在ABC 中, BC 8,AB 的中垂线交BC 于点 D,AC 的中垂线交BC 于点 E,就 ADE 的周长等于 _ 6如图,已知ABC 是等边三角形,点B,C,D,E 在同始终线上,且CG CD,DF DE ,就 E_ 度7已知等腰ABC 的周长为10,如设腰长为x,就 x 的取值范 围是 _ 8如下列图,在ABC 中, D,E 分别是边AC,AB 上的点, BD 与 CE 交于点 O,给出下列三个条件：

15、EBO DCO； BEO CDO ； BE CD. 名师归纳总结 1上述三个条件中,哪两个条件可判定ABC 是等腰三角形用序号写出全部情形；第 7 页,共 9 页2挑选第 1小题中的一种情形,证明ABC 是等腰三角形- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 参考答案导学必备学问 自主测试14 或 6假如腰长为4,就底边长为142 4 6；假如底边长为4,就两腰分别为5,5. 4 时,23在 Rt ADC 中, CDAD2AC 23, D 点到 AB 的距离 CD 3. 38 或10或 310 4B解方程 x 26x 80 得 x12,x24,当腰为2 时, 2

16、24舍去 ,当腰为周长为 44210. 探究考点方法 触类旁通 1 证明： 1ACBC,BD AD, D C90. 在 Rt ACB 和 Rt BDA 中, ABBA,ACBD, ACB BDA HL BCAD . 2由 ACB BDA 得 CAB DBA . OAB 是等腰三角形触类旁通 2 证明： 1BF AC,AB AE, FA EC. DEF 是等边三角形,EFDE . 又 AECD , AEF CDE . 2由 AEF CDE ,得 FEA EDC . BCA EDC DEC FEA DEC DEF , DEF 是等边三角形, DEF 60, BCA60. 同理可得 BAC60. A

17、BC 中, ABBC. ABC 是等边三角形触类旁通 3解： AD 平分 CAB, CAD BAD . DE 垂直平分 AB, AD BD , B BAD . CAD BAD B. 在 Rt ABC 中, C 90, CAD DAE B90. B30. 触类旁通 4 D 品鉴经典考题1D ABC, ACB 的平分线相交于点E, MBE EBC, ECN ECB . MN BC, EBC MEB, NEC ECB, MBE MEB, NEC ECN, BM ME,ENCN. MNME EN,即 MN BMCN. BMCN9, MN9,应选 D. 180 80 250. 2B 由于等腰三角形的顶角

18、为 80,所以底角340AB BC, ACB BAC. ACD 110, ACB BAC70, B 40. AE BD, EAB B40. 42 在等边三角形 ABC 中, AB 6, BC AB6. BC3BD, BD1 3BC2. ABD 绕点 A 旋转后得到 ACE , ABD ACE, CEBD 2. 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 5证明： AE 平分 DAC , 1 2. AE BC, 1 B, 2 C, B C,ABAC. 6证明： 1 在 ABD 和 ACD 中,D 是 BC 的中点,BDCD AB

19、AC . ABC ACD SSSAD AD2由1知 ABD ACD , BAD CAD ,即 BAE CAE . 在 ABE 和 ACE 中,ABAC BAE CAD . ABE ACESAS AEAEBECE. 研习猜测试题1C由于 x 轴负半轴有一个点,x 轴正半轴有三个点,所以符合条件的动点P 的个数为4. 2A 3ABF 平分 ABC,如图, ABF CBF . CF 平分 ACB, ACF BCF. DF BC, DFB CBF, EFC BCF. ABF DFB , ACF EFC. BDDF ,EFCE. DEDF EFBD CE9. 4D 58 由于 ADE 的周长 AD DE AEBD DEEC8. 615 75 2x5由三角形的三边关系得102x0,解得5 2x5. 8解： 1 ； . 2 . 证明： EBO DCO , EOB DOC,BE CD, BEO CDO.OBOC. OBC OCB. EBO OBC DCO OCB,即 ABC ACB.ABAC. ABC 为等腰三角形名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页