2022年初三数学二次函数与圆知识点总结.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载9分式方程的解法：1. 一元二次方程的一般形式: a 0 时， ax2+bx+c=0 叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a、 b 、 c ； 其中 a 、 b, 、c 可能是具体数，也可能是含( )1去分母法两边同乘最简验增根代入最简公分母（或原方程的每个分母），值0.待定字母或特定式子的代数式. 公分母2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用，其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；（2）换元法凑元，设元，验增根代入原方程每个分母，

2、值0.公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配 方法使用较少 . 换元.10. 二元二次方程组的解法：3. 一元二次方程根的判别式:当 ax2+bx+c=0 (a 0) 时， =b 2-4ac 叫一元二次方程根的判别式. 请注意以下等价命（1）代入消元法方程组中含有一个二元一次方程;题：（2）分解降次法方程组中含有能分解为（）0的方程; 0 有两个不等的实根； =0 有两个相等的实根；(3 )注意：(1)(2)0应分组为(1)0(2)0(1)0(2)0.(3)(4)0(3)0(4)0(4)0(3)0 0 无实根； 0 有两个实根（等或

3、不等）. 11几个常见转化：4. 一元二次方程的根系关系：当 ax2+bx+c=0 (a 0) 时，如 0，有下列公式：( )1x1,2bb24ac；(2)x1x2b，x1 x2c.( )1x2 1x2 2(x1x2)22x1x2；(x1x2)2(x1x2)24 x1x2；x21(x1)22；x2x2aaa 5 当 ax2+bx+c=0 (a 0) 时，有以下等价命题：或x21(x1)22；x1x2(x11x2)2)2(x1(xx2)22)4x1x2x2(x1(xx2)2)；( 以下等价关系要求会用公式x1x2b，x1x2c； =b 2-4ac 分析，不要求背记) x2x( xx21x24x1

4、1xaa（1）两根互为相反数b = 0 且 0 a b = 0且 0；(2 )x1x221.分类为x1x212和x14x22；（2）两根互为倒数c =1 且 0 a a = c且 0；2 .两边平方为（xx2）2（3）只有一个零根c = 0 且 ab 0 a c = 0且 b 0；( 3 )x14(或x2 116)( )1分类为x14和x14.；x23x23（4）有两个零根c = 0 且 ab = 0 a c = 0且 b=0；x23x2 29(2)两边平方一般不用,因为增加次数（5）至少有一个零根c =0 a c=0 ；(4 )如x1sinA,x2sinB且AB90时,由公式sin2Acos

5、2A1,cosAsinB（6）两根异号c 0 a a 、c 异号；可推出x2 1x2 21.注意隐含条件:x10 ,x20 .（7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值c 0 且 ab 0 a a 、c 异号且 a、b 异号；( 5)x1,x2若为几何图形中线段长时,可利用图形中的相等关系(例如几何定理，相似形, 面积（8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值c 0 且 ab 0 a a 、c 异号且 a、b 同号；等式,公式)推导出含有x1,x2的关系式.注意隐含条件:x10,x20.( 6)如题目中给出特殊的直角三角形、三角函数、比例式、等积式等条件,可把它们转化为某（9）有两个正根c 0，a

6、b 0 且 0 a a 、 c 同号， a 、b 异号且 0；些线段的比，并且引入“辅助未知元k”.（10）有两个负根c 0，ab 0 且 0 a a 、c 同号， a 、b 同号且 0. ( 7)方程个数等于未知数个数时,一般可求出未知数的值;方程个数比未知数个数少一个时，一般求不出未知数的值,但总可求出任何两个未知数的关系.6求根法因式分解二次三项式公式：注意：当 0 时，二次三项式在实数范围内不能分解.ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 或 ax2+bx+c=axbb24acxbb24ac. 2 a2a7求一元二次方程的公式：名师归纳总结 x2 - （x 1+x2）x + x1

7、x2 = 0. 注意：所求出方程的系数应化为整数. 第 1 页，共 4 页8平均增长率问题-应用题的类型题之一（设增长率为x）： (1) 第一年为 a , 第二年为 a(1+x) , 第三年为 a(1+x)2. （2）常利用以下相等关系列方程：第三年 =第三年或第一年 +第二年 +第三年 =总和 .- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 1. 垂径定理及推论: 几何表达式举例：学习必备欢迎下载7切线长定理 : 几何表达式举例：第 2 页，共 4 页如图：有五个元素， “ 知二可推三”；需记忆其中四个定理， CD 过圆心从圆外一点引圆的两条切线，

8、A PA、PB是切线即“ 垂径定理”“ 中径定理”“ 弧径定理”“ 中垂定理”. CDAB 它们的切线长相等；圆心和这一. PO PA=PB C平分优弧AE=BE点的连线平分两条切线的夹角PO过圆心B APO =BPO O过圆心AC=BC8弦切角定理及其推论: 几何表达式举例：AEB垂直于弦AD=BD（1）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；（ 1）BD是切线， BC是弦平分弦（2）如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等； CBD =CAB D平分劣弧几何表达式举例：（3）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半. （如图）（ 2）EF = AB ED，BC是切线2. 平行线夹弧定理：A

9、D圆的两条平行弦所夹的弧相等. AOBABCDAC=BDCEFACD CBA = DEF 3. “ 角、弦、弧、距” 定理：（同圆或等圆中）几何表达式举例：BDBC几何表达式举例：“ 等角对等弦”； “ 等弦对等角”；B(1) AOB=COD 9相交弦定理及其推论: “ 等角对等弧”； “ 等弧对等角”；AEO AB = CD “ 等弧对等弦”；“ 等弦对等 ( 优，劣 ) 弧” ；(2) AB = CD （1）圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等；（ 1） PAPB=PCPD “ 等弦对等弦心距”；“ 等弦心距对等弦”. CF AOB=COD （2）如果弦与直径垂直相交，那么弦

10、的一半是它分直径所成的两 条线段长的比例中项. DC（ 2） AB是直径DPCAB A4圆周角定理及推论: 几何表达式举例：PC 2=PA PB CPBAOPB（1）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半；（1） ACB= 1 AOB 2（2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；( 如图 ) （3）“ 等弧对等角”“ 等角对等弧”； 10切割线定理及其推论: 几何表达式举例：（4）“ 直径对直角”“ 直角对直径”；( 如图 ) （2） AB 是直径（1）从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交（ 1） PC是切线，（5）如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是

11、ACB=90点的两条线段长的比例中项；PB是割线直角三角形 .( 如图 ) C（3） ACB=90（2）从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点PC 2=PA PB AB 是直径的两条线段长的积相等.BB（ 2） PB、PD是割线CAOBAOBD（4） CD=AD=BD PAPB=PCPD A ABC是 RtCBPACPCD几何表达式举例：A（1）（2）（3）（4）几何表达式举例：5圆内接四边形性质定理: BC11关于两圆的性质定理: 圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外 ABCD是圆内接四边形（1）相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦；（ 1） O1，O2是圆心角都等于它的内对

12、角.ACDE =ABC （2）如果两圆相切，那么切点一定在连心线上. O1O2 垂直平分 AB DEC+A =180 A（ 2） 1 、2相切6切线的判定与性质定理: 几何表达式举例：O1 、A、O2 三点一A如图：有三个元素， “ 知二可推一”；（1） OC是半径O1O2O1O2线需记忆其中四个定理. AOCB是 半 径OC AB B（1）（2）公式举例：12正多边形的有关计算: DRnOn E（1）经过半径的外端并且垂直于这条AB是切线垂 直半径的直线是圆的切线；是 切 线（2） OC是半径（1）中心角n ，半径 RN ， 边心距 r n ，(1) n =360 ；nAB是切线边长 an

13、，内角n ， 边数 n；rn（2）圆的切线垂直于经过切点的半径；（2）有关计算在Rt AOC中进行 . ABn (2) n180 （ 3）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；OC AB C an （ 4）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. （3） 2n- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 几何 B级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）. 学习必备欢迎下载OCCAC第 3 页，共 4 页一基本概念： 圆的几何定义和集合定义、弦、弦心距、弧、等弧、弓形、弓形高AOBOB三角形的外接圆、三角形的外心、三角形的内切圆、三角形的内

14、心、圆心角、圆周角、弦ABO切角、圆的切线、圆的割线、两圆的内公切线、两圆的外公切线、两圆的内（外）公切线长、正多边形、正多边形的中心、正多边形的半径、正多边形的边心距、正ACB已知弦构造Rt . 已知直径构造直角. 已知切线连半径，出已知弦构造弦心距. 多边形的中心角. 二定理：DC垂直 . D1不在一直线上的三个点确定一个圆. A2任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆. .OAAOPBCOPOD3正 n 边形的半径和边心距把正n 边形分为 2n 个全等的直角三角形O三公式：ABPABDBCPCB1. 有关的计算： （1）圆的周长C=2 R；（2）弧长 L=nR；（ 3）

15、圆的面积S= R 2. 180圆 外 角 转 化 为 圆 周圆内角转化为圆周角. 构造垂径定理 . 构造相似形 . （4）扇形面积S 扇形 =nR21LR；（5）弓形面积S 弓形 =扇形面积 SAOB AOB的面积 . （如图）角. 3602MMMM2. 圆柱与圆锥的侧面展开图：（1）圆柱的侧面积：S 圆柱侧 =2 rh ； (r:底面半径； h: 圆柱高 ) AADAB（2）圆锥的侧面积：S 圆锥侧 =1LR. （L=2 r ，R是圆锥母线长；r 是底面半径）O2NCB01O2DNAO1022O102EN01四常识：1 圆是轴对称和中心对称图形. 两圆内切，构造外公EN两圆外切，构造内公D两

16、圆内切，构造外公切两圆外切，构造内公2 圆心角的度数等于它所对弧的度数. 切线与平行 . 3 三角形的外心两边中垂线的交点三角形的外接圆的圆心；切线与垂直 . 线与平行 . 切线与垂直 . 三角形的内心两内角平分线的交点三角形的内切圆的圆心. BAAA4 直线与圆的位置关系： （其中 d 表示圆心到直线的距离；其中r 表示圆的半径）直线与圆相交 d r ；直线与圆相切 d=r ；直线与圆相离 d r. O1C02COAPCO5 圆与圆的位置关系： （其中 d 表示圆心到圆心的距离，其中R、r 表示两个圆的半径且Rr ）EEBOD两圆外离 d R+r；两圆外切 d=R+r ； 两圆相交 R-rd

17、R+r；DB两圆内切 d=R-r；两圆内含 d R-r.BC两圆相交构造公共弦，6证直线与圆相切，常利用：“ 已知交点连半径证垂直” 和“ 不知交点作垂直证半径”的方法加辅助线PA、PB 是切线，构造两圆同心， 作弦心距，相交弦出相似 . 连结圆心构造中垂线. 可证得 AC=DB. 双垂图形和全等. BAA7关于圆的常见辅助线：AABOPCBFEOEOCPBCPCD规则图形折叠出一一切一割出相似, 并两割出相似 , 并且构造圆双垂出相似, 并且构造对全等，一对相似. 且构造弦切角 . 周角 . 直角 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - DECADAA

18、. 学习必备欢迎下载FOHAGBOEFODO圆的外切四边形对边BCBDCCEB和相等 . 若 AD BC都是切线，连等腰三角形底边上的Rt ABC 的内切圆O结OA 、 OB 可 证 的高必过内切圆的圆半径： r=abcAOB=180 ，即A、O、B心和切点 , 并构造相2三点一线 . 似形 . ACABCo1o2o1o2B补全半圆 . 名师归纳总结 APAB=O1 O2(R)r2. AB=O1 O2(R)r2. 第 4 页，共 4 页22DACCODBPAOB. GMFBDNECPC过圆心， PA是切线，构造O是圆心，等弧出平行和相似作 AN BC，可证出 : 双垂、 Rt . GFAM. BCAN- - - - - - -