2022年二次函数的性.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载二次函数1二次函数1二次函数解析式的三种形式一般式： fxax 2bxca 0顶点式： fxaxm 2na 0零点式： fxaxx1xx2a 02二次函数的图象和性质解析式fxax 2bxca0fxax2bxca0 图象定义域 , , 2 2值域 4acb4a,4acb4a在 x ,b 2a上单调递 在 x b2a,上单调递单调性 减；在 x b 2a,上单 减在 x ,b 2a上单调调递增 递增对称性 函数的图象关于 xb 2a对称1判定下面结论是否正确 请在括号中打“ ” 或“ ” 21二次函数 y ax 2bxc,xa,

2、b的最值肯定是4ac b 4a . 名师归纳总结 2二次函数 y ax2bxc,xR,不行能是偶函数 第 1 页,共 10 页 3如函数 fx k 21x 22x3 在, 2上单调递增,就k2 2 . 4已知 fxx24x5,x0,3,就 fxmaxf05,fxminf32. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 22022 重庆 学习必备欢迎下载 3 a a 6 6a3的最大值为A9 B.9 2C3 D.3 2 2 答案B 解析由于3a a6 183aa 2 a3281 4,2所以当 a3 2时,3 a a 6 的值最大,最大值为9 2. 3函数 fxm

3、1x22mx3 为偶函数,就fx在区间 5, 3上A先减后增B先增后减C单调递减D单调递增答案D 解析由 fx为偶函数可得m0,fx x23,fx在区间 5, 3上单调递增4已知函数y x 22x3 在闭区间 0 ,m上有最大值3,最小值2,就 m 的取值范畴为_答案1,2x1. 解析yx 22x3 的对称轴为当 m2 时, ymaxfmm 22m33,m0 或 m2,无解 1m2. 题型一 二次函数的图象和性质例 1已知函数 fxx22ax3,x 4,61当 a 2 时,求 fx的最值；2求实数 a 的取值范畴,使y fx在区间 4,6上是单调函数；3当 a1 时,求 f|x|的单调区间思维

4、启发对于 1和2可依据对称轴与区间的关系直接求解,对于3,应先将函数化为分段函数,再求单调区间,留意函数定义域的限制作用名师归纳总结 解1当 a 2 时, fxx2 4x3 x 221,由于 x 4,6,第 2 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载fx在 4,2 上单调递减,在 2,6 上单调递增,fx的最小值是f2 1,又 f4 35,f615,故 fx的最大值是35. 2由于函数 fx的图象开口向上, 对称轴是 x a,所以要使 应有 a4 或 a6,即 a6 或 a4. 3当 a1 时, fxx22x3,x6,6,

5、f|x|x22|x|3,此时定义域为且 fxx 2 2x3, x 0,6x 2 2x3, x6,0f|x|的单调递增区间是0,6,单调递减区间是6,0 fx在 4,6上是单调函数,思维升华 1二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动, 不论哪种类型, 解决的关键是考查对称轴与区间的关系,当含有参数时, 要依据对称轴与区间的关系进行分类争论；图象的对称轴进行分析争论求解2二次函数的单调性问题就主要依据二次函数1二次函数的图象过点0,1,对称轴为x 2,最小值为 1,就它的解析式是_答案y1 2x 2 21 2如函数fx 2x2 mx 1 在区间 1, 上递增,就

6、f 1的取值范畴是_ 答案, 3 xm 4,解析抛物线开口向上,对称轴为m 41,m4. 又 f11m3,f1, 3题型二二次函数的应用2bx1a,b R,x R. 例 2已知函数 fxax1如函数 fx的最小值为f10,求 fx的解析式,并写出单调区间；2在1的条件下, fxxk 在区间 3, 1上恒成立,试求 k 的范畴思维启发 利用 fx的最小值为 f 10 可列两个方程求出 a、b；恒成立问题可以通过求函数最值解决解 1由题意有 f1ab 10,且b 2a 1,a1,b 2. fx x 22x1,单调减区间为 , 1,单调增区间为 1, 名师归纳总结 - - - - - - -第 3

7、页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2fx xk 在区间 3, 1上恒成立,转化为 x 2 x1k 在区间 3, 1上恒成立设 gxx 2x1, x3, 1,就 gx在3, 1 上递减gxming11. k1,即 k 的取值范畴为 ,1思维升华 有关二次函数的问题, 数形结合,亲密联系图象是探求解题思路的有效方法用函数思想争论方程、不等式 特别是恒成立 问题是高考命题的热点已知函数 fxx 22ax2,x5,51当 a 1 时,求函数 fx的最大值和最小值；2求实数 a 的取值范畴,使y fx在区间 5,5上是单调函数解 1当 a 1 时, fx

8、x 2 2x2 x 1 21,x5,5,所以当 x1 时, fx取得最小值 1；当 x 5 时, fx取得最大值 37. 2函数 fxxa 22a 2 的图象的对称轴为直线 x a,由于 yfx在区间 5,5上是单调函数,所以 a5 或 a5,即 a5 或 a5. 故 a 的取值范畴是 , 55, 分类争论思想在函数中的应用典例： 12 分已知函数 fxax2|x|2a1a 为实常数 1如 a1,作出函数 fx的图象；2设 fx在区间 1,2 上的最小值为 ga,求 ga的表达式思维启发 1因 fx的表达式中含 |x|,故应分类争论,将原表达式化为分段函数的形式,然后作图2因 aR,而 a 的

9、取值打算fx的表现形式,或为直线或为抛物线,如为抛物线又分为开口向上和向下两种情形,故应分类争论解决规范解答 解 1当 a1 时,名师归纳总结 fxx2 |x| 1 .3 分第 4 页,共 10 页x 2 x1,x0x 2 x1,x0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载作图 如右图所示 5 分 2当 x1,2 时, fxax 2x 2a1.6 分 如 a0,就 fx x1 在区间 1,2 上是减函数,gaf2 3.7 分 如 a 0,22a1 4a1,就 fxa x1 2a 1 fx图象的对称轴是直线 x2a. 当 a0 时, fx在区

10、间 1,2 上是减函数,gaf2 6a3. 当 0 1 2a 1 2时, fx在区间 1,2 上是增函数,gaf1 3a2. 2时,当 11 2a2,即 1 4a1 gaf 2a2a 1 4a1. 当1 2a2,即 0a1 4时, fx在区间 1,2 上是减函数,gaf2 6a3.11 分6a3,a1 2温馨提示 此题解法充分表达了分类争论的数学思想方法,在二次函数最值问题的争论 中,一是要对二次项系数进行争论,二是要对对称轴进行争论在分类争论时要遵循分类 的原就： 一是分类的标准要一样,二是分类时要做到不重不漏,三是能不分类的要尽量避 免分类,绝不无原就的分类争论 . 方法与技巧 二次函数、

11、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律：1在争论一元二次方程根的分布问题时,常借助于二次函数的图象数形结合来解,一般 从： 开口方向； 对称轴位置； 判别式； 端点函数值符号四个方面分析2在争论一元二次不等式的有关问题时,一般需借助于二次函数的图象、性质求解失误与防范名师归纳总结 对于函数 y ax2bxc,要认为它是二次函数,就必需满意a 0,当题目条件中未说明a 0第 5 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 时,就要争论学习必备欢迎下载a0 和 a 0 两种情形A 组 专项基础训练一、挑选题1如 fxx 2ax1 有负值,就实数a

12、的取值范畴是 Aa 2 B 2a2 或 a 2 D1a0,就 a2 或 a0,就一次函数yaxb 为增函数,二次函数yax2bxc 的开口向上,故可排除 A；如 a0, b0,从而b 2a0,而二次函数的对称轴在 y 轴的右侧,故应排除 B,因此选 C. 3假如函数fxx2bx c 对任意的实数x,都有 f1xfx,那么 Af 2f0f2 Bf0 f2f2 Cf2 f0f2 Df0f2f2 答案D x1 2对称,解析由 f1xfx知 fx的图象关于又抛物线开口向上,结合图象图略 可知 f0 f2f2名师归纳总结 4设二次函数fx ax22axc 在区间 0,1 上单调递减,且fmf0,就实数

13、m 的取值范第 6 页,共 10 页 围是- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载A, 0 B2, C, 0 2, D0,2答案 D 解析 二次函数 fxax 22axc 在区间 0,1 上单调递减, 就 a 0,fx2ax10,即函数图象的开口向上,对称轴是直线 x1. 所以 f0f2,就当 fmf0时,有 0m 2. 二、填空题5如函数 ymx 2x5 在2, 上是增函数,就答案 0m14解析 m0 时,函数在给定区间上是增函数；m 的取值范畴是 _1m 0 时,函数是二次函数,对称轴为 x2m2,由题意知 m0,0m1 4.综上 0m

14、1 4. 6如方程 x 2 11x30a0 的两根均大于 5,就实数 a 的取值范畴是 _答案 00,02x 的解集为 1,3如方程fx6a0 有两个相等的根,求fx的单调区间解fx2x0 的解集为 1,3,设 fx2xax1x3,且 a0,fx ax1x32xax 224ax3a.由方程 fx6a 0 得 ax 22 4ax9a0.方程 有两个相等的根, 24a 24a9a 0,解得 a1 或 a1 5.由于 a0,舍去 a1. 将 a1 5代入 式得fx15x 26 5x5 1 5x3 26 5,函数 fx的单调增区间是 , 3,单调减区间是 3, 名师归纳总结 8已知函数fx x 2 2

15、ax1a 在 x0,1 时有最大值2,求 a 的值第 7 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解函数 fx x 2 2ax1a学习必备欢迎下载 xa 2 a 2a1,对称轴方程为 x a. 1当 a1 时, fx maxf1a, a2. 综上可知, a 1 或 a2. 1设函数 fx1x7,x0,B 组专项才能提升 2如 fa1,就实数 a 的取值范畴是x,x0,A, 3 B1, C3,1 D, 31, 答案 C 解析 当 a0 时, 1 2 a71,即 2 a3,3a0. 当 a0 时,a1,0 a1.故 3abc,abc0,集合 A

16、m|fm0 B. mA,都有 fm30 C. m0A,使得 fm030 D. m0A,使得 fm03bc,abc0 可知 a0,c0,且 f10,f0 c1 时, fx0. 名师归纳总结 由 ab,得 1b a,x1,第 8 页,共 10 页设方程 ax2bxc0 的另一个根为就 x11b a1,即 x12,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载由 fm0 可得 2m1,所以 1m 30,选 A. 3已知函数 fxx 22ax2a4 的定义域为 R,值域为 1, ,就 a 的值域为 _答案1 或 3 解析 由于函数 fx的值域为 1, ,

17、所以 fxmin1 且 0.5 1a0. 1求证： 2b a1；2如 x1、 x2是方程 fx0 的两个实根,求 |x1x2|的取值范畴1证明 当 a0 时, f0 c,f12bc,又 bc0,就 f0 f1c2bc c 20 名师归纳总结 即b a1b a20,从而 2b a1. 第 9 页,共 10 页2解x1、x2 是方程 fx0 的两个实根,就 x1x22b 3a,x1x2ab 3a,那么 x1x 22x1x22 4x1x22b 3a 24ab 3a 4 9b a 24b 3a44 9b a 3 221 3. 2b a1,1 3x1x2 24 9,3|x1x2|0,bR,cR1如函数 fx的最小值是f10,且 c1,Fxf x ,x0,求 F2F2的值；f x , x0,Fx x1 2,x0.F2F22 1 221 2 8. 2fxx 2bx,原命题等价于1x 2bx1 在0,1上恒成立,x x 且 b 1 xx 在0,1 上恒成立即 b1 又1 x x 的最小值为 0,1 xx 的最大值为 2. 2b0. 故 b 的取值范畴是 2,0名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 10 页