2022年利用导数研究函数的单调性之二阶求导型.docx

《2022年利用导数研究函数的单调性之二阶求导型.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年利用导数研究函数的单调性之二阶求导型.docx（29页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载利用导数争论函数的单调性之二阶求导型评卷人 得分一、解答题（题型注释）1已知函数fxxe2xflnxax（ 1）当af x在11, 上的最小值；0时,求函数2（ 2）如x0,不等式 x1恒成立,求 a 的取值范畴；（ 3）如x0,不等式f111e2e11 x1恒成立,求 a 的取值范畴xxxx1（1）e 2ln 2；（2）ae e2；（3）a1e1e1 e e【解析】试题分析：（ 1）由 a 0 时,得出 f x xe 2 xln x,就 f 2 x 1 e 2 x 1,再x求导 f x ,可得函数 f / x 在 0 , 上

2、是增函数,从而得到函数 f x 的单调性,即可求解函数 f x 在 1 1, 上的最小值；（2）由（ 1）知函数 f / x 在 0 , 上是2增 函 数 , 且 x 0 0, 使 得 f x 0 0, 得 2 x 0 1 e 2 x 0 1a 0, 即x 02 2 x 0 2 2 x 0a x 2 x x e,设 1 f x 0 1 ln x 0 2 x e,利用函数 f x 0 的单调性,x 1即可求解求 a 的取值范畴；（3）依据题意, 转化为 a x ln x x e 1x 对任意 x 0 成e e名师归纳总结 x1第 1 页,共 15 页立,令g xxlnxxe1 x,所以g x ,

3、可得出 g x 的单调性, 求解出 g xeexe 2xlnx,f/x2x1 2 ex1,的最小值,即可a 的取值范畴试题解析：（1）a0时,fxxf/x4x4e2x10,所以函数f/ x在,0上是增函数,x2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品资料欢迎下载,12第 2 页,共 15 页又函数f/ x的值域为 R,故x00,使得f/x02x01 e2x 010,x0又f/12e20,x01,所以当x11, 时,f/ x0222即函数fx在区间1 21, 上递增,所以fxminf1eln2220（ 2）f/x2x1 e2x1a,x由（ 1

4、）知函数f/ x在0,上是增函数,且x00,使得f/ x02x1进而函数fx在区间0 ,x0上递减,在0x,上递增,fxminfx0x0e2x 0lnx0ax0,由f/ x 00得：2x01 e2x 01a0,x0ax 02x 02x 02 ex01,fx01lnx 02x022 ex 0,由于x0,不等式f x1恒成立,1lnx 02x 022 ex01lnx 02 x022 ex00a2x01 e2x01202x 0（另解：由于x0,不等式f x1恒成立,即a2 xexlnx1ln ex2 exlnx2x12xln ex2xlnxxxx1由x ex1ln ex2xlnx2x12 xexln

5、x12,x当lnx2x0时取等号,a2）（ 3）由f1112e11 x1,1e2ln1a112xe1 xx,e xxexxxxxxxeeeexlnxxaex1 x1,axlnxxex1 x1对任意x0成立,eee e- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载x令函数 g x x ln x x e 1x 1,所以 g / x ln x x 1x,e e e e 1 e e当 x 1 时,g / x 0,当 0 x 1 时,g / x 0,所以当 x 1 时,函数 g x 取得最小值 g 1 1 e 111 11 e1,e e e 1 e eea

6、 1 1 e 1 e e考点：利用导数争论函数的单调性与极值（最值）【方法点晴】 此题主要考查了导数在函数中的综合应用,其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性及其应用、利用导数争论函数的极值与最值等学问点的综合考查,同时解答中留意对函数二次求导的应用和函数的构造思想,通过构造新函数,利用函数的性质解题的思想,着重考查了转化与化归思想以及推理与运算才能,试题有肯定的难度,属于难题名师归纳总结 2已知函数fxx e1ax aR.第 3 页,共 15 页2x e（ 1）当a3时,求函数fx 的单调区间；2（ 2）如函数 fx 在1,1 上为单调函数,求实数a 的取值范畴3设函数fx x elnx1

7、 ax.（ 1）当 a=2 时,判定函数fx 在定义域内的单调性；（ 2）当x0时,fx cosx恒成立,求实数a 的取值范畴 .4已知函数f x xlnxax2xa aR 在其定义域内有两个不同的极值点2（ 1）求a的取值范畴；（ 2）设两个极值点分别为x x ,证明：x 1x22 e .5已知函数f x 3 x3|xa| 2（ aR ）（ 1）当a0时,争论f x 的单调性；（ 2）求f x 在区间0,2 上的最小值6设f x xlnxax22a1 x , aR .（ 1）令g x f x ,求g x 的单调区间；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - -

8、精品资料欢迎下载上恒成立？如存在,（ 2）已知f x 在x1处取得极大值 . 求实数 a 的取值范畴 .7设函数fx1xxaln 1x,g xln 1xbx.（ 1）如函数 fx 在x0处有极值,求函数fx 的最大值；（ 2）是否存在实数b ,使得关于 x 的不等式g x0在 0,求出 b 的取值范畴；如不存在,说明理由；名师归纳总结 证明：不等式1kn1kk1lnn1n1,2第 4 页,共 15 页22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载参考答案1（ 1）eln 2；（2）a2；（3）a1ee121 e e【解析】名师归纳总结 试题分

9、析：（ 1）由a0时,得出fxxe 2xlnx,就f 2x1e2x1,再求导第 5 页,共 15 页xfx ,可得函数f/ x在0,上是增函数,从而得到函数fx 的单调性,即可求解函数fx在11, 上的最小值； （2）由（1）知函数f/ x在0,上是增函数, 且0x0,2使 得fx 00, 得2x01 2 ex 01a0, 即a x 22 xx2 x 0e, 设 1x0fx1l n22 2x 0e,利用函数f x 0的单调性,即可求解求a 的取值范畴； （3）根据题意,转化为axlnxxex1 x1对任意x0成立,令gxxlnxxex1 x1,e eee所以g x ,可得出 g x 的单调性,

10、求解出g x 的最小值,即可a 的取值范畴试题解析：（ 1）a0时,fxxe 2xlnx,f/x2x1 2 ex1,xf/x4x4e2x10,所以函数f/ x在0 ,上是增函数,x2又函数f/ x的值域为 R,故x00,使得f/x02x 01 e2x 010,x0又f/12e20,x01,所以当x11, 时,f/ x0,222即函数fx在区间11, 上递增,所以fx minf1eln2222（2）f/x2x1 2 ex1a,x由（ 1）知函数f/ x在0 ,上是增函数,且x00,使得f/ x00进而函数fx在区间,0x0上递减,在x0,上递增,fxminfx0x0e2x 0lnx 0ax0,-

11、 - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品资料欢迎下载第 6 页,共 15 页由f/ x 00得：2x01 e2x 01a0,x 0ax 02 x02x02 ex01,fx01lnx 02x022 ex 0,由于x0,不等式f x1恒成立,1lnx 02x 022 ex01lnx 02x 022 ex 00a2x 01 e2x01202x 0（另解：由于x0,不等式fx1恒成立,即a2 xexlnx1ln ex2 exlnx2x12xln ex2xlnx2x12xxx由x ex1ln ex2xlnx2x12 xexlnx12,x当lnx2x0时

12、取等号,a2）（3）由f1112e11 x1,1e2ln1a112e11 x1,xxexxexxxxxxxeeeexlnxxaex1 x1,axlnxxex1 x1对任意x0成立,eee e令函数gxxlnxxex1 x1,所以g/xlnxx1x,eee e1 ee当x1时,g/ x 0,当0x1时,g/ x0,所以当x1时,函数gx取得最小值g 1 1e11 111e1,eee1eea1e1e1 ee考点：利用导数争论函数的单调性与极值（最值）【方法点晴】 此题主要考查了导数在函数中的综合应用,其中解答中涉及到利用导数争论函- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - -

13、- - 精品资料 欢迎下载数的单调性及其应用、利用导数争论函数的极值与最值等学问点的综合考查,同时解答中注意对函数二次求导的应用和函数的构造思想,通过构造新函数, 利用函数的性质解题的思想,着重考查了转化与化归思想以及推理与运算才能,试题有肯定的难度,属于难题2（ 1） 单调递增区间为e ,0 和 ln 2,单调递减为0,ln 2 ;（2）,212 e【解析】名师归纳总结 试题分析：（ 1）求函数的导数,并且通分,分解因式的化简,然后解fx0和fx0第 7 页,共 15 页的解集；（2）如函数在-1,1上为单调函数,所以分单调递增和单调递减两种情形争论,如单调递增,转化为ax e1在1,1 上

14、恒成立,那么a 小于等于函数的最小值,如函数2x e单调递减,转化为ax e1在1,1 上恒成立,a大于等于函数的最大值.2x e试题解析：fx 的定义域为 xR,fxx e1a,2x e（1）a3,就fxx e13x e2x e1,22x e2x 2 e令fx0,解得：xln 2 或x0,令fx0,解得： 0xln 2, fx的单调递增区间为,0和ln 2,单调递减为0,ln 2（2）如 fx在1,1上单调递增,就fxx e1a0在1,1 上恒成立,2x eax e1在1,1 上恒成立,2x e令tx e 同,就t1, ee,x e1t12t12,2ex2t2t当且仅当t1,t21,e时取“

15、=” ,又1 2 eee12te2e- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载20在1,1 上恒成立,x1,1时,2e x11e ,2x e2 ea2,如 fx 在1,1 上单调递减,就fxe x1a2x eax e1在1,1 上恒成立,2x e1e ,由式知,a1e,综上, a 的取值范畴是,2 e2e考点：导数与函数的单调性3（ 1） 在,1上是增函数 ; （2）a2.【解析】名师归纳总结 试题分析：（ 1）第一求函数的导数,令gxfx,并且留意函数的定义域,再求函数导第 8 页,共 15 页数的导数gxexx112,分x0和1x0争论gx

16、的正负,同时得到函数gx的单调性,求得gx的最小值为0,即fx0恒成立,得到函数的单调性；（2）由（1）可得当a2时,不等式恒成立,当a2时,记x fx cosx,依据导数求函数的最值,证明不等式不恒成立.试题解析：（ 1）fx 的定义域为,1,fx x ex112,记g x x ex112,就gxx ex1,1 2当 x0 时,ex,1x1121,此时gx 0,当-1x2 时,记x efx1cosx,就x x ex11asinx,当 x1 时,h.1x 0,4明显当0x1时,hx 0,从而 x 在,0上单调递增 .又 0 2a0 ,x,x 0,就存在0x,0,使得x 00所以x 在 0 ,x

17、 0上递减,所以当x,00x时,x 0 0,即 f （x）cosx ,不符合题意 .综上,实数 a 的取值范畴是 a 2 .考点： 1. 导数与单调性；2. 导数的综合应用 .【方法点睛】此题考查了导数与单调性的关系,以及证明不等式的问题,综合性较强,重点说说导数与函数单调性的证明,一种情形是求函数的导数后,能够解得 f x 0 或f x 0 的解集,从而得到函数的单调递增和递减区间,令一种情形是求导后,不能直接求得 f x 0 或 f x 0 的解集,需要求函数的二阶导数,依据二阶导数大于 0 或小于 0的解集, 求得一阶导数的单调增减区间,同时求得一阶导数的最大值或是最小值,从而得到一阶导

18、数的正负,求得函数的增或减区间 .4（ 1）0 a 1；（2）证明见解析 .e【解析】试题分析：（1）函数 f x 等价于方程 f 0 在 0,0, 上有两个不同交点,a 2x ln x x x a a R 在其定义域内有两个不同的极值点2 有两个不同根,即函数 g x ln x 与函数 y a 的图象在x争论函数 g x ln x单调性和极值依据图象即可求 a 的取值范x名师归纳总结 围 ；（ 2 ） 作 差 得 ,lnx 1a x 1x2, 即aln x 1x 2. 原 不 等 式x x 2e2等 价 于第 9 页,共 15 页x 2x 1x 2lnx 1lnx 22a x 1x 22ln

19、 x 1x 22 x1x22,x 1t,就t1,只需证明不等x1xx2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 式lnt2 t1成立刻可 .精品资料欢迎下载 ,所以方程f 0在 0, 有t1f x 的定义域为 0,试题解析： （1）依题意,函数两个不同根 .即,方程 lnxax0在 0, 有两个不同根 .0,转化为,函数g x lnx与函数 ya 的图象在 0, 上有两个不同交点.x又 g x 1lnx,即 0xe时,g 0, xe 时,g x 0,x2所以g x 在 0, e 上单调增,在 ,上单调减,从而g x 极大= 1.e又g x 有且只有一个零点是1

20、,且在x0时,g x ,在 x时,g x 所以g x 的草图如下,可见,要想函数g x lnx与函数ya 的图象在0,上有两个不同交点,只需x名师归纳总结 0a1.ln x 1ax ,ln x 2ax ,第 10 页,共 15 页e（2）由（ 1）可知x x 分别是方程 lnxax0的两个根,即设x 1x ,作差得,lnx 1a x 1x 2,即aln x 1x 2.x 2x 1x 2原不等式x x22 e 等价于lnx 1lnx 22a x 1x 22ln x 1x 22x 1x 2x 1x 2令x 1t,就t1,lnx 12x 1x2lnt2t1,x 2x2x 1x2t1设g t lnt2

21、t1,t1, g t t2 10,t t2 1t1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载属于函数g t 在 1, 上单调递增,g t g10,即不等式lnt2t1成立,t1故所证不等式x x22 e 成立 .考点： 1、利用导数争论函数的单调性及极值；2、利用导数证明不等式.【方法点睛】 此题主要考查利用导数争论函数的单调性及极值、利用导数证明不等式,难题 . 不等式证明问题是近年高考命题的热点,命题主要是和导数、肯定值不等式及柯西不等式相结合, 导数部分一旦出该类型题往往难度较大,要精确解答第一观看不等式特点,结合已解答的问题把要证的不等

22、式变形,并运用已证结论先行放缩,然后再化简, 或者进一步转化为不等式恒成立问题利用导数证明 .5（ 1）f x 的增区间为 , 1 , 0, ,减区间为 1,0 ；（ 2）当 a 0 时,f x 的3最小值为 3 a 2；当 0 a 1 时,f x 的最小值为 a 2；当 a 1 时,f x 的最小值为 3a 【解析】试题分析：（1）争论单调性, 可求出导函数 f x ,然后解不等式 f 0 得单调增区间,解不等式 f 0 得减区间,留意肯定值,要分类求解；（2）由于 x 0,2,因此先分类a 0,a 2, 0 a 2,前两种情形,肯定值符号直接去掉,因此只要用导数 f x 研究 单 调 性

23、可 得 最 值 , 第 三 种 情 形 同 样 要 去 绝 对 值 符 号 , 只 是 此 时 是 分 段 函 数 ,名师归纳总结 f x x33xa2,ax2,f 3x23,ax2,可以看出这时又要分第 11 页,共 15 页x33xa2,0xa .3x23,0xa.类： 0a1,1a2,得单调性再得最小值1试题解析：（ 1）当a0时,f x 3 x3|x| 2当x0时,f x x33 x2,f 2 3 x30,f x 在 0,单调递增；当x0时,f x 3 x3x2,f 32 x33x1 x1x0时,f 0,f x 在 1,0 单调递减；x1时,f 0,f x 在 , 1 单调递增综上,f

24、 x 的增区间为 , 1, 0,减区间为 1,0 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载x2,3 a2；（2）a2时,f x x 33 ax2, 0x2,f 3 x233x1x1,f x minf13 a a0时,f x x33xa2, 0x2,f 3 x230,f x 在 0,2 单调递增,f x minf03 a2 0a2时,而 0x2,f 3 x3xa2,a3 x3xa2,0xa.f 3x23,ax2,3x23,0xa .f a a32（i ） 0a1时,f x 在a,2上单增,f a 为最小值f 32 x10在 0xa 上恒成立,f

25、 x 在 0,a 上单调递减,f x minf a 3 a2（ii ） 1a2时,f x 在a ,2上单调递增,f x min在 0xa 时,f 3 x21,1时, f x 的最小值为f x minf13 a 综上可知, 当a0时, f x 的最小值为3a2；当 0a当a1时,f x 的最小值为 3a 考点：分段函数,用导数争论函数的单调性、最值6（ 1）当a0时,函数g x 单调递增区间为0,a ,当a0时,函数g x 单调递增区间为0,11,单调递减区间为1,；（2）2a2a2【解析】试题分析：（1）先求出g x f x 的解析式, 然后求函数的导数gx ,利用函数单调性和导数之间的关系,

26、即可求出g x 的单调区间；（ 2）分别争论a的取值范畴,依据函数极名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载值的定义,进行验证可得结论 .试题解析：（ 1）g x ln x 2 ax 2 a ,x 0, ,就 g x 12 a 1 2 ax,x x当 a 0 时,x 0, 时,g 0,当 a 0 时,x 0, 1 时,g 0,2 ax 1, 时,g 0,所以当 a 0 时,函数 g x 单调递增区间为 0, ；2 a当 a 0 时,函数 g x 单调递增区间为 0, 1,单调递减区间为 1, . （5 分）2a 2a（2）由（ 1）知,f 1 0 .当 a 0 时,x 0,1 时,f 0,x 1, 时,f 0,所以 f x 在 x 1 处取得微小值,不合题意 .当 0 a 1时,11,由（ 1）知 f x 在 0, 1 内单调递增,2 2a 2a当 x 0,1 时,f 0,x 1, 1 时,f 0,所以 f x 在 x 1 处取得微小值,2 a不合题意 .