2022年二次函数综合练习.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 20XX年初三数学二次函数综合题归类复习学习必备欢迎下载,解得就直线 AB 的解析式为y= x+31图像与性质：y=ax2+bx+c 与 x 轴的一个交点为A（3,0）,与 AOB 沿 x 轴向右平移m 个单位长度（ 0m3）得到PEF,易得直线EF 的解析式为y= x+3+m例 120XX 年四川资阳,第24 题 12 分 如图,已知抛物线设直线 AC 的解析式为y=kx+b,就y= 2x+6y 轴的交点为B（0, 3）,其顶点为C,对称轴为x=1,解得就直线 AC 的解析式为（1）求抛物线的解析式；（2）已知点 M 为 y 轴上的一个动点,

2、当ABM 为等腰三角形时,求点M 的坐标；连结 BE,直线 BE 交 AC 于 G,就 G（,3）在 AOB 沿 x 轴向右平移的过程中AF.h（3）将 AOB 沿 x 轴向右平移m 个单位长度（ 0m3）得到另一个三角形,将所得的三角形与ABC 重当 0m 时,如图1 所示设 PE 交 AB 于 K,EF 交 AC 于 M就 BE=EK=m,PK=PA=3 m,叠部分的面积记为S,用 m 的代数式表示S联立,解得,即点 M（3 m,2m）；故 S=S PEF S PAK S AFM=PE 2PK2考点：二次函数综合题待定=（3 m）2m.2m=m2+3m当m3 时,如图 2 所示设 PE 交

3、 AB 于 K,交 AC 于 H由于 BE=m,所以 PK=PA=3 m,又由于直线AC 的解析式为y= 2x+6,所以当 x=m 时,得 y=6 2m,所以点 H（m,6 2m）故 S=S PAH S PAK=PA.PHPA 2=（3 m）.（6 2m）（3 m）2=m 2 3m+分析：（1）依据对称轴可知,抛物线y=ax2+bx+c 与 x 轴的另一个交点为（1,0）,依据待定系数法可得抛综上所述,当0m 时, S=m 2+3m；当 m3 时, S=m 2 3m+物线的解析式为y= x 2+2x+3（2）分三种情形：当MA=MB 时；当 AB=AM 时；当 AB=BM 时；三种情形争论可得

4、点M 的坐标（3）平移后的三角形记为PEF依据待定系数法可得直线AB 的解析式为y= x+3易得直线EF 的解析点评：考查了二次函数综合题,涉及的学问点有：抛物线的对称轴,待定系数法求抛物线的解析式,式为 y= x+3+m依据待定系数法可得直线AC 的解析式 连结 BE,直线 BE 交 AC 于 G,就 G（,3）在 AOB 沿 x 轴向右平移的过程中分二种情形：当0m 时；当 m 3 时；争论可得用m 的代数式表示 S系数法求直线的解析式,分类思想的应用,方程思想的应用,综合性较强,有肯定的难度名师归纳总结 解：（1）由题意可知, 抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的另一个交点为 （

5、1,0）,就,解得2旋转问题：y=a（x h）2+的图象经过原点O（0,0）,第 1 页,共 19 页例 2. （2022.福建泉州,第22 题 9 分）如图,已知二次函数故抛物线的解析式为y= x2+2x+3）或 MA（2,0）（2）当 MA=MB 时, M（0,0）；当 AB=AM 时, M（0, 3）；当 AB=BM 时, M（0, 3+3（ 1）写出该函数图象的对称轴；A是否为该函数图象的顶点？（0,3 3）所以点 M 的坐标为：（0,0）、（ 0, 3）、（0,3+3）、（0, 3 3）（ 2）如将线段OA 绕点 O 逆时针旋转60到 OA,试判定点（3）平移后的三角形记为PEF设直

6、线 AB 的解析式为y=kx+b,就- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载y 随 x 的增大而增大；x时, y 随 x 的增大而减小；x=时, y 取得最大值,即顶点是抛物线的最高点也考查了旋转的性质3与三角形结合：考点：二次函数的性质；坐标与图形变化旋转例 3（2022.广西贺州,第26 题 12 分）二次函数图象的顶点在原点O,经过点 A（1,1 4）；点 F（0,1）在 y 轴上直线y= 1 与 y 轴交于点 H分析：（1）由于抛物线过点O（0,0）,A（2,0）,依据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1；（ 1）求二次函数的

7、解析式；（2）作 ABx 轴与 B,先依据旋转的性质得OA =OA=2, AOA=2,再依据含30 度的直角三角形三边的（ 2）点 P 是（ 1）中图象上的点,过点P 作 x 轴的垂线与直线y= 1 交于点 M,求证： FM 平分 OFP；关系得 OB=OA=1,AB=OB=,就 A点的坐标为（ 1,）,依据抛物线的顶点式可判定点A为抛物（ 3）当 FPM 是等边三角形时,求P 点的坐标线 y=（x 1）2+的顶点解答：解：（1）二次函数y=a（x h）2+的图象经过原点O（ 0,0）, A（2,0）抛物线的对称轴为直线x=1；（2）点 A是该函数图象的顶点理由如下：如图,作 ABx 轴于点

8、B,线段 OA 绕点 O 逆时针旋转60到 OA,OA =OA=2,AOA=2,在 Rt AOB考点：二次函数综合题y=ax2,将点 A 代入函数解析式,求出a 的值,继而可求得二中, OAB=30 , OB=OA=1, AB=OB=,A点的坐标为（ 1,）,点 A为抛物线y=（x 1）2+的顶点专题：综合题分析：（1）依据题意可设函数的解析式为次函数的解析式；（ 2）过点 P 作 PBy 轴于点 B,利用勾股定理求出 PF,表示出 PM,可得 PF=PM ,PFM =PMF ,结合平行线的性质,可得出结论；（ 3）第一可得 FMH =30 ,设点 P 的坐标为（ x,1 4x2）,依据 PF

9、=PM =FM,可得关于x 的方程,求出x的值即可得出答案点评：此题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a 0）的顶点坐标为（,）,对解答：（1）解：二次函数图象的顶点在原点O,设二次函数的解析式为y=ax2,称轴直线 x=,二次函数 y=ax 2+bx+c（a 0）的图象具有如下性质：当 a0 时,抛物线 y=ax 2+bx+c（a 0）的开口向上, x时, y 随 x 的增大而减小；x时, y 随 x 的增大而增大；x=时, y 取得最小值,即顶点是抛物线的最低点当 a0 时,抛物线 y=ax 2+bx+c（a 0）的开口向下, x时,将点 A（1,1）代入 y=ax 2

10、得： a=1,二次函数的解析式为 y=1 x 2；4 4 4（ 2）证明：点 P 在抛物线 y=1 x 2 上,可设点 P 的坐标为（ x,1 x 2）,4 4过点 P 作 PBy 轴于点 B,就 BF=1 x 2 1,PB=x, Rt BPF 中,4PF= =1 x 2+1, PM 直线 y= 1, PM=1 x 2+1,4 4名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - PF=PM , PFM =PMF ,又 PM x 轴, MFH =PMF ,学习必备欢迎下载解答： .解：（1） DE AC,DF BC,四边形DECF

11、是平行四边形 PFM =MFH , FM 平分 OFP；,1 4x2=1 412=3,满作 AGBC,交 BC 于 G,交 DF 于 H, ACB=45 ,AC=24cm,AG=12,（3）解：当FPM 是等边三角形时,PMF =60 , FMH =30 ,设 DF=EC=x,平行四边形的高为h,就 AH =12h,在 Rt MFH 中, MF=2FH=2 2=4, PF=PM =FM ,1 4x 2+1=4,解得： x= 2 DF BC,=,足条件的点P 的坐标为（ 2,3）或（2,3） BC=20cm,即：=x=20,点评：此题考查了二次函数的综合,涉及了待定系数法求函数解析式、角平分线的

12、性质及直角三角形的性 S=xh=x.20=20hh2=6, AH=12, AF=FC,在 AC 中点处剪四边形DECF ,能使它的面积最大质,解答此题的关键是娴熟基本学问,数形结合,将所学学问融会贯穿4与四边形结合：例 4（2022.福建泉州,第25 题 12 分）如图,在锐角三角形纸片ABC 中, ACBC,点 D,E,F 分别在边AB,BC,CA 上（1）已知： DE AC,DF BC判定： 四边形 DECF 肯定是什么外形？裁剪：当 AC=24cm,BC=20cm,（ 2）第一步,沿 ABC 的对角线对折, 使 C 与 C1 重合,得到三角形ABB1,其次步,沿 B1 对折,使 DA 1

13、BB 1理ACB=45 时,请你探究：如何剪四边形DECF ,能使它的面积最大,并证明你的结论；由：对角线相互垂直平分的四边形是菱形（2）折叠：请你只用两次折叠,确定四边形的顶点D,E,C,F,使它恰好为菱形,并说明你的折法和理点评：此题考查了相像三角形的判定及性质、菱形的判定、 二次函数的最值关键在于依据相像三角形及由已知条件求出相关线段的表达式,求出二次函数表达式,即可求出结论5新定义题：例 5（ 2022.安徽省 ,第 22 题 12 分）如两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同,就称这两个二次函数为 “同簇二次函数 ”名师归纳总结 考点：四边形综合题（ 1）请写出两个为“ 同簇二次函数

14、 ”的函数；第 3 页,共 19 页（ 2）已知关于x 的二次函数y1=2x2 4mx+2m2+1 和 y2=ax2+bx+5,其中 y1 的图象经过点A（1,1）,如 y1+y2与 y1 为“ 同簇二次函数 ”,求函数 y2 的表达式,并求出当0x3时, y2 的最大值考点：二次函数的性质；二次函数的最值分析：（1）依据有两组对边相互平行的四边形是平行四边形即可求得,依据ADF ABC 推出对专题：新定义应边的相像比, 然后进行转换, 即可得出h 与 x 之间的函数关系式,依据平行四边形的面积公式,很简洁得分析：（1）只需任选一个点作为顶点,同号两数作为二次项的系数,用顶点式表示两个为“同簇

15、二次函数 ”出面积 S 关于 h 的二次函数表达式,求出顶点坐标,就可得出面积s 最大时 h 的值的函数表达式即可（2）第一步,沿 ABC 的对角线对折, 使 C 与 C1 重合,得到三角形ABB1,其次步,沿 B1 对折,使 DA1BB1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）由 y1 的图象经过点A（ 1,1）可以求出m 的值,然后依据y 1+y2 与 y1 为 “同簇二次函数 ” 就可以求出函学习必备欢迎下载数 y2 的表达式,然后将函数y2 的表达式转化为顶点式,在利用二次函数的性质就可以解决问题（ 1）当 t=2 时,连接 DE、DF ,求证

16、：四边形AEDF 为菱形；解答：解：（1）设顶点为（ h,k）的二次函数的关系式为y=a（x h）2+k,当 a=2, h=3, k=4 时,二次函数的关系式为y=2（x 3）2+420,该二次函数图象的开口向上当a=3,h=3,k=4 时,二次函数的关系式为y=3（x 3）2+430,该二次函数图象的开口向上两个函数y=2（x 3）2+4 与 y=3（x 3）2+4 顶点相同,开口都向上,（ 2）在整个运动过程中,所形成的PEF 的面积存在最大值,当PEF 的面积最大时,求线段BP 的长；两个函数y=2（x 3）2+4 与 y=3（x 3）2+4 是“ 同簇二次函数 ” （ 3）是否存在某一

17、时刻t,使 PEF 为直角三角形？如存在,恳求出此时刻t 的值； 如不存在, 请说明理由符合要求的两个“ 同簇二次函数 ”可以为： y=2（x 3）2+4 与 y=3（x 3）2+4考点：相像形综合题（2） y1 的图象经过点A（1,1）, 212 4m1+2m2+1=1分析：（1）如答图 1 所示,利用菱形的定义证明；整理得： m 2 2m+1=0解得： m1=m2=1 y1=2x2 4x+3=2 （x 1）2+1（ 2）如答图 2 所示,第一求出PEF 的面积的表达式,然后利用二次函数的性质求解；y1+y2=2x2 4x+3+ax2+bx+5=（a+2）x2+（b 4）x+8 （ 3）如答

18、图 3 所示,分三种情形,需要分类争论,分别求解y1+y2 与 y1 为 “同簇二次函数 ” , y1+y2=（a+2）（x 1）2+1=（a+2）x2 2（a+2）x+（a+2）+1解答：（1）证明：当t=2 时, DH =AH=2,就 H 为 AD 的中点,如答图1 所示其中 a+20,即 a 2又 EFAD, EF 为 AD 的垂直平分线,AE=DE,AF=DF AB=AC,ADAB 于点 D, ADBC, B=C EF BC, AEF=B, AFE=C, AEF=AFE, AE=AF,解得：函数 y2 的表达式为： y2=5x 2 10x+5y2=5x2 10x+5=5 （x 1）2函

19、数 y2 的图象的对称轴为x=1 AE=AF=DE=DF,即四边形AEDF 为菱形50,函数 y2 的图象开口向上当 0x1时,函数y2 的图象开口向上,y2 随 x 的增大而减小当x=0 时, y2 取最大值,最大值为 5（0 1）2=5名师归纳总结 当 1 x3时,函数y2 的图象开口向上,y2 随 x 的增大而增大当x=3 时, y2 取最大值,（ 2）解：如答图2 所示,由（ 1）知 EF BC, AEF ABC,第 4 页,共 19 页最大值为 5（3 1）2=20综上所述：当0x3时, y2的最大值为20点评：此题考查了求二次函数表达式以及二次函数一般式与顶点式之间相互转化,考查了

20、二次函数的性质（开口方向、增减性） ,考查了分类争论的思想,考查了阅读懂得才能而对新定义的正确懂得和分类争论是解决其次小题的关键6运动型问题：,即,解得： EF=10t例 6（ 2022.广东,第 25 题 9 分）如图,在ABC 中, AB=AC,ADAB 于点 D,BC=10cm,AD=8cm点SPEF=EF.DH =（ 10t）.2t=t 2+10t=（ t 2）2+10 P 从点 B 动身,在线段BC 上以每秒 3cm 的速度向点C 匀速运动,与此同时,垂直于AD 的直线 m 从底边BC 动身,以每秒2cm 的速度沿 DA 方向匀速平移,分别交AB、AC、AD 于 E、F、H,当点 P

21、 到达点 C 时,当 t=2 秒时, S PEF 存在最大值,最大值为10,此时 BP=3t=6点 P 与直线 m 同时停止运动,设运动时间为t 秒（ t0）（ 3）解：存在理由如下：如点 E 为直角顶点,如答图3所示,此时PE AD,PE=DH=2t,BP=3t- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - PE AD,即,此比例式不成立,故此种情形不存在；学习必备欢迎下载如点 F 为直角顶点,如答图3所示,此时PE AD, PF=DH=2t,BP=3t,CP=10 3t考点：二次函数综合题PF AD,即,解得 t=；名师归纳总结 如点 P 为直角顶点,如答图3所

22、示分析：（1）直线与抛物线的交点B 与 A 关于原点对称,即横纵坐标对应互为相反数,即相加为零,这很第 5 页,共 19 页使用于韦达定理由其中有涉及顶点,考虑顶点式易得a 值（ 2）直线 l：y=kx 向上平移k 2+1,得直线 r：y=kx+k 2+1依据无论非零实数k 取何值, 直线 r 与抛物线 C：y=ax2+bx+1 都只有一个交点,得ax2+（b k）x k2=0 中 =0这虽然是个方程,但过点 E 作 EMBC 于点 M,过点 F 作 FNBC 于点 N,就 EM=FN=DH =2t, EM FN AD无法求解这里可以考虑一个数学技巧,既然k 取任何值都成立,那么代入最简洁的1

23、,2 确定是成立的,EM AD,即,解得 BM=t, PM =BP BM=3tt=t所以可以代入试验,进而可求得关于a,b 的方程组,就a,b 可能的值易得但要留意答案中,可能有的只在 Rt EMP 中,由勾股定理得：PE2=EM2+PM2=（2t）2+（t）2=t2能满意 k=1,2 时,并不满意任意实数k,所以可以再代回=中,如不能使其结果为0,FN AD,即,解得 CN=t, PN=BC BP CN=10 3tt=10t就应舍去在 Rt FNP 中,由勾股定理得：PF2=FN2+PN2=（2t）2+（10t）2=t 2 85t+100求证 OP=PQ,那么第一应画出大致的示意图发觉图中几

24、何条件较少,所以考虑用坐标转化求出OP,PQ 的值,再进行比较 这里也有数学技巧, 争论动点 P 在抛物线 y=x 2+1 上,就可设其坐标为 （x,x 2+1）,在 Rt PEF 中,由勾股定理得：EF2=PE2+PF2,进而易求 OP,PQ即：（10t） 2=（t 2）+（t2 85t+100）化简得：t 2 35t=0,解得： t=或 t=0（舍去）解答：（1）解：t=综上所述,当t=秒或 t=秒时,PEF 为直角三角形 l：y=kx,C：y=ax2+bx+1,当 b=1 时有 A,B 两交点, A,B 两点的横坐标满意kx=ax2+x+1,即 ax2+（1 k）x+1=0 B 与 A

25、关于原点对称,0=xA+xB=, k=1点评：此题是运动型综合题,涉及动点与动线两种运动类型第（1）问考查了菱形的定义；第（2）问考查了相像三角形、图形面积及二次函数的极值；第（3）问考查了相像三角形、勾股定理、解方程等学问点, y=ax2+x+1=a（x+）2+1,顶点（, 1）在 y=x 上,=1,解得a=重点考查了分类争论的数学思想（ 2）解：无论非零实数k 取何值,直线r 与抛物线 C 都只有一个交点,7代数与几何综合： k=1 时, k=2 时,直线 r 与抛物线 C 都只有一个交点例 7. （2022.广西玉林市、防城港市,第26 题 12 分）给定直线l：y=kx,抛物线 C：y

26、=ax2+bx+1（1）当 b=1 时, l 与 C 相交于 A, B 两点,其中A 为 C 的顶点, B 与 A 关于原点对称,求a 的值；当 k=1 时, r：y=x+2,代入 C：y=ax2+bx+1 中,有 ax2+（b 1）x 1=0,（2）如把直线l 向上平移 k2+1 个单位长度得到直线r,就无论非零实数k 取何值,直线r 与抛物线 C 都只 =0,（ b 1）2+4a=0,有一个交点求此抛物线的解析式；如P 是此抛物线上任一点,过P 作 PQ y 轴且与直线y=2 交于 Q当 k=2 时, r：y=2x+5,代入 C：y=ax 2+bx+1 中,有 ax2+（b 2）x 4=0

27、,点, O 为原点求证：OP=PQ =0,（ b 2）2+16a=0,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 联立得关于a,b 的方程组,解得或学习必备欢迎下载r：y=kx+k 2+1 代入 C：y=ax2+bx+1,得 ax2+（b k）x k2=0, =当时, =0,故无论 k 取何值,直线r 与抛物线 C 都只有一个交点当时, =x 2+1=,明显虽 k 值的变化, 不恒为0,考点 ：抛物线与x 轴的交点； 二次函数的性质； 待定系数法求二次函数解析式；相像三角形的判定与性质分析：（1）直接将（1,0）代入求出即可,再利用配方法求出顶点坐标；所以不合题

28、意舍去C： y=（ 2）利用 EM BN,就 EMF BNF,进而求出EMF 与 BNE 的面积之比解答：解：（1）由题意可得： （1）2+2（ 1）+c=0,解得： c=3,证明：依据题意,画出图象如图 y= x 2+2x+3, y= x2+2x+3= （ x 1）2+4,顶点 M（1,4）；1,（ 2） A（ 1,0）,抛物线的对称轴为直线x=1,点 B（ 3,0）, EM=1,BN=2, EM BN, EMF BNF,由 P 在抛物线 y=x 2+1 上,设 P 坐标为（ x,x 2+1）,连接 OP,过 P 作 PQ直线 y=2 于 Q,作 PDx=（）2=（）2=点评：此题主要考查了

29、待定系数法求二次函数解析式以及相像三角形的判定与性质,得出 EMF BNF是解题关键轴于 D, PD=|9探究型问题：x2+1|,OD=|x|,=,例 9（2022.舟山,第 24 题 12 分）如图,在平面直角坐标系中,A 是抛物线 y=x2上的一个动点,且点A 在OP=第一象限内 AEy 轴于点 E,点 B 坐标为（ 0,2）,直线 AB 交 x 轴于点 C,点 D 与点 C 关于 y 轴对称,PQ=2 yP=2 （x 2+1）=,韦达定理及勾股定理等学问,另涉直线 DE 与 AB 相交于点 F,连结 BD设线段 AE 的长为 m, BED 的面积为 SOP=PQ（ 1）当 m=时,求 S

30、的值点评：此题考查了二次函数、一次函数及图象,图象平移解析式变化,（ 2）求 S 关于 m（m 2）的函数解析式及一些数学技巧,同学解答有肯定难度,需要好好懂得把握（ 3）如 S=时,求的值；当m2 时,设=k,猜想 k 与 m 的数量关系并证明8面积问题：例 8（2022.温州,第 21 题 10 分）如图,抛物线 y= x 2+2x+c 与 x 轴交于 A,B 两点,它的对称轴与 x 轴交于点 N,过顶点 M 作 MEy 轴于点 E,连结 BE 交 MN 于点 F,已知点 A 的坐标为（1,0）（1）求该抛物线的解析式及顶点 M 的坐标（2）求 EMF 与 BNE 的面积之比名师归纳总结

31、- - - - - - -第 6 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 考点 ：二次函数综合题学习必备欢迎下载同（ I）解法得： S=BE.DO =AE.OB=m,由（ I）（ II）得,专题 ：综合题S 关于 m 的函数解析式为S=m（ m0 且 m 2）,点 A 的坐标为（,）,分析：（1）第一可得点A 的坐标为（ m, m 2）,再由 m 的值,确定点B 的坐标,继而可得点E 的坐标及（ 3）如图 3,连接 AD, BED 的面积为, S=m=BE、OE 的长度,易得ABE CBO,利用对应边成比例求出CO,依据轴对称的性质得出DO ,继而可求=k, S AD

32、F=k.S BDF.S AEF=k.S BEF,解 S 的值；=k,（2）分两种情形争论, （I）当 0 m 2 时,将 BE.DO 转化为 AE.BO,求解；（II ）当 m2 时,由（ I）的解法,可得S 关于 m 的函数解析式； k=；（3）第一可确定点A 的坐标,依据=k,可得 S ADF=k.S BDF.S AEF=k.S BEF ,从而可得=k,代入即可得出k 的值； k 与 m 之间的数量关系为k=m 2,如图 4,连接 AD,可得=k,由于点 A 的坐标为（ m, m 2）,S=m,代入可得 k 与 m 的关系解答：解：（1）点 A 在二次函数y=x 2 的图象上, AEy 轴

33、于点 E 且 AE=m,点 A 的坐标为 （m, m2）,=k, S ADF=k.S BDF.S AEF=k.S BEF,当 m=时,点 A 的坐标为（,1）,点 B 的坐标为（ 0,2）, BE=OE=1 AEy 轴, AE x 轴,ABE CBO,=, CO=2,点 D 和点 C 关于 y 轴对称, DO =CO=2, S=BE.DO =12=；（2）（I）当 0m2 时（如图 1）,点 D 和点 C 关于 y 轴对称,BOD BOC,=k, BEA BOC,BEA BOD,=,即 BE.DO=AE.BO=2mS=BE.DO = 2m=m；（II ）当 m2 时（如图 2）,点 A 的坐标

34、为（ m, m 2）,S=m, k=m2（m2）全等点评：此题考查了二次函数的综合,涉及了三角形的面积、比例的性质及相像三角形的判定与性质、三角形的性质,解答此题的关键是娴熟数形结合思想及转化思想的运用,难度较大名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 10存在性问题：学习必备欢迎下载 C 点坐标为（ 0, 3）, M 点坐标为（ 2,3）；名师归纳总结 例 10（ 20XX 年广东汕尾,第25 题 10 分）如图,已知抛物线y=x 2x 3 与 x 轴的交点为A、D（A 在点 M 在 x 轴上方时,依据三角形的等面积法,

35、可知M 点到 x 轴的距离等于点C 到 x 轴的距离 3当 y=4第 8 页,共 19 页D 的右侧）,与 y 轴的交点为C时,x 2x 3=3,解得 x1=1+,x2=1, M 点坐标为（ 1+,3）或（ 1,3）（1）直接写出A、D、C 三点的坐标；综上所述,所求M 点坐标为（ 2,3）或（ 1+,3）或（ 1,3）；（2）如点 M 在抛物线上,使得MAD 的面积与CAD 的面积相等,求点M 的坐标；（ 3）结论：存在（3）设点 C 关于抛物线对称轴的对称点为B,在抛物线上是否存在点P,使得以 A、B、C、P 四点为顶点如下列图,在抛物线上有两个点P 满意题意：的四边形为梯形？如存在,恳求

36、出点P 的坐标；如不存在,请说明理由如 BC AP1,此时梯形为ABCP1分析：（1）令 y=0,解方程x2x 3=0 可得到 A 点和 D 点坐标；令x=0,求出 y= 3,可确定 C 点坐标；由点 C 关于抛物线对称轴的对称点为B,可知 BC x 轴,就 P1 与 D 点重合, P1（ 2,0） P1A=6,BC=2, P1ABC,四边形ABCP 1为梯形；如 AB CP2,此时梯形为ABCP2 A 点坐标为（ 4,0）,B 点坐标为（ 2, 3）,直线AB 的解析式为y=x 6,可设直线CP2 的解析式为 y=x+n,将 C 点坐标（ 0, 3）代入,得b= 3,直线 CP2 的解析式为

37、y=x 3点 P2在抛物线 y=x2x 3 上,x2x 3=x 3,化简得： x 2 6x=0,解得 x1=0（舍去）,x2=6,点 P2 横坐标为 6,代入直线CP2 解析式求得纵坐标为6, P2（6,6）（2）依据抛物线的对称性,可知在在 x 轴下方对称轴右侧也存在这样的一个点；再依据三角形的等面积法, AB CP2,ABCP2,四边形ABCP2 为梯形综上所述,在抛物线上存在一点P,使得以点 A、B、C、P 四点为顶点所构成的四边形为梯形；点P 的坐标在 x 轴上方,存在两个点,这两个点分别到x 轴的距离等于点C 到 x 轴的距离；为（2, 0）或（ 6,6）（3）依据梯形定义确定点P,

38、如下列图：如BC AP1,确定梯形ABCP1此时 P1 与 D 点重合,即可求点评：此题是二次函数的综合题型,其中涉及到的学问点有抛物线与坐标轴的交点坐标求法,三角形的面得点 P1 的坐标；如AB CP2,确定梯形ABCP2先求出直线CP2 的解析式,再联立抛物线与直线解析式积,梯形的判定综合性较强,有肯定难度运用数形结合、分类争论及方程思想是解题的关键求出点 P2 的坐标11应用题型：利润问题；例 11（ 2022.武汉 2022.武汉,第 29 题 10 分）九（ 1）班数学爱好小组经过市场调查,整理出某种商品解：（1） y=x 2x 3,当 y=0 时,x 2x 3=0,解得 x1= 2

39、,x2=4当 x=0,y= 3在第 x（ 1x90）天的售价与销量的相关信息如下表：A 点坐标为（ 4,0）,D 点坐标为（2,0）,C 点坐标为（ 0,3）；时间 x（天）1x50 50x90（2） y=x2x 3,对称轴为直线x=1 AD 在 x 轴上,点 M 在抛物线上,售价（元 /件）x+40 90 每天销量（件）200 2x当 MAD 的面积与CAD 的面积相等时,分两种情形：已知该商品的进价为每件30 元,设销售该商品的每天利润为y 元（ 1）求出 y 与 x 的函数关系式；点 M 在 x 轴下方时,依据抛物线的对称性,可知点M 与点 C 关于直线 x=1 对称,（ 2）问销售该商品第几天时,当天销售利润最大,最大利润是多少？- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （3）该商品在销售过程中,共有多少天每天销售利润不低于4800 元？请直接写出结果学习必备欢迎下载专题 ：压轴题考点 ：二次函数