2022年五年级下数学思维训练教材.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载第一讲 立体图形及绽开同学们在五年级所学习的立体图形主要是长方体和正方体,从这一讲开头我 们将一起讨论数学竞赛中常常显现的有关长方体和正方体的问题,帮忙大家提高 观看才能和空间想像才能,以及把握解答问题的技巧和方法；这一讲我们进一步 讨论长方体和正方体的特点及绽开图 例题选讲例1: 图1所示的是一个正方体纸盒拆开后平摊在桌面上的外形；假如将这个绽开图 复原成原先的正方体,图中的点 F、点G分别与哪个点重合 . 【分析与解答】 为了讨论便利, 我们将正方体六个面 分别标上序号 1、2、3、4、5、6,假如将 l 作为底面,那么4

2、就是后面, 5为右面, 6为前面, 2就是左面, 3 就是上面, 如图 2 ；从图中不难看出点 F与点 N,重 合,点G与点 S重合；仍有一种方法就是动手制作一张 绽开图,折一折,结果就一目了然了, 同学们不妨试 试吧. 例2: 一只小虫从图 l 所示的长方体上的 A点动身,沿长 方体的表面爬行,依次经过前面、上面、后面、底面,最终到达 P点；请你为它设计一条最短的爬行路线；【分析与解答】由于小虫在长方体的表面爬行,所以我们可以将长方体的前、后、上、下西个面绽开成 平面图形 如图2 ；又由于在平面上 “ 两点之间的线段 长度最短” ,所以连接 AP,就线段 AP为小虫爬行的最短路线；练习与摸索

3、1. 如下列图的是一个正方体纸盒拆开后平摊在桌面上的外形；假如将这个绽开图复原成原先的正方体,重合. 图中的点 B、点D分别与哪个点2. 如下列图的是一个棱长 3厘米的正方体木块, 一只蚂蚁从 A点沿表面爬向B点；请画出蚂蚁爬行的最短路线；问：这样的路线共有几条 . 3. 将一张长方形硬纸片,剪去余外部分后,折叠成一个棱长为 l 厘米的正方体；这名师归纳总结 张长方形硬纸片的面积最小是多少平方厘米. 第 1 页,共 24 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载4. 一块长方形的铁皮,长 28厘米,在这块铁皮的四角各剪下一个边长为 4厘米

4、的小正方形,然后通过折叠、焊接做成一个无盖的长方体盒子；已知这个盒子的容积是960立方厘米,求原先长方形铁皮的面积；5. 如下列图的是一个正方体木块的表面绽开图,如在正方体的各面填上数,使其对面两数之和为 7,就A、B、c处填的数各是多少 . 6. 如下列图的 10个绽开图中,哪些可以做成完整的正方体 . 7. 图1 是一个正方体,图 2 是这个正方体的一个平面绽开图,图3 、图4 、图5 也是这个正方体的平面绽开图,但每一个绽开图上都有四个面上的图案没画出来,请你给补上；8. 如下列图的是一个长方体,四边形APQC、是长方体的一个截面 即过长方体上 4点A、P、Q、C的平面与长方体相交所得到

5、的图形 ,P、Q分别为棱 A1B1、B1C1,的中点,请在此长方体的平面绽开图上,标出线段AC、cQ、QP、PA；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载其次讲 长方体和正方体的表面积在数学竞赛中,有很多问题涉及到长方体和正方体表面积的运算；这些学问不仅好玩而且具有肯定的有用性和摸索价值；解答长方体和正方体表面积的问题时,需要同学们具备较强的观看才能、作图才能以及空间想像才能,另外仍要掌握一些解题的思路和技巧；例题选讲例1: 一个长方体,前面和上面的面积之和是88平方厘米,这个长方体的长、宽、高是以厘米

6、为单位的数,且都是质数,求这个长方体的表面积；【分析与解答】要求长方体的表面积,就要求长方体的长、宽、高；依据题意,前面与上面的面积之和是 88平方厘米,也就是长 高+长x宽=88,即长 高+宽=88由于长、宽、高都是质数,我们把 88分解质因数得 88=1l 2 2 2,依题 意,11不能分成两个质数和,经试验,有两种情形符合条件,1ll 3+5 ：88 22 41+3 一88,因此长方体的表面积可以有两种情形；解： 8811 2X2 2,2 2 2：3+5,11 2 241+3；长方体的表面积：111 3+1l 5+5 3 2=206平方厘米 22 3+2x4l+41 3 2422 平 方

7、厘米 例2: 如图,将 3个表面积都是 24平方米的正方体木块粘成一个长方体,求这个长方体的表面积；【分析与解答】 认真观看图形, 不难看出 3个正方体块粘成 1个长方体,共有2个粘接处, 每一处都有 2个面粘在一起, 两处共粘去 4个面,因此粘成的长方体的表面积等于 厘米 ；6 34 个面的面积,即 24 6 6 x3 4=56 平方例3: 如下列图的是用 19个棱长为 1厘米的正方体堆起来的立体图形,其中 有一些正方体看不见,那么这个立体图形的表面积是多少 . 【分析与解答】 认真观看图形, 虽然这个立体图形是不规章的,但是从前面看到的面与从后面看到的面个数是相等,同理从左、右看到的面个数

8、是 相等的,从上、下看到的面是一样的, 所以这个立体图形的表面积等于 前 面十上面 +左面 2,即 10+9+8 2=54平方厘米 ；练习与摸索1. 有一个长方体,前面和上面两个面面积和为209平方厘米,并且长、宽、高都是以厘米为单位的数,且都是质数,求这个长方体的表面积；2. 将两个长都是 8厘米, 6厘米,高都是 5厘米的长方体拼成一个大长方体,那么这个大长方体表面积最大是多少平方厘米 . 3. 如下列图的是由 17个边长是 1厘米的小正方体拼成的立体图形,求它的表面积；4. 有一个长方体 , 长是8厘米, 宽是 4 厘米,高是 6厘米,把它截成棱长是 2厘米的如名师归纳总结 - - -

9、- - - -第 3 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载干个小正方体,这些小正方体表面积之和比原先长方体的表面积增加了多少平方厘米. 5. 如图,正方体木块的表面积是36平方分米,把它沿虚线截成体积相等的8个小正方体木块,这时表面积增加多少平方分米 . 6. 如图,有一个边长是 5厘米的立方体, 假如它的左上方截去一个边长分别是5厘米, 3厘米 2厘米的长方体；那么,它的表面积削减多少平方厘米 . 7. 如图,有一个长 4厘米：宽和高都是 3厘米的长方体,以 A为底打一个上下直穿的长方体洞,以 B为底打一个前后直穿的长方体洞,以C为底打一个左右

10、穿通的长方体洞,所得立体图形的表面积是多少. 8. 如图,有一个棱长是 1米的正方体木块；沿水平方向锯2次,竖直锯 3次,再横着锯4次,共得到大大小小的长方体小木块 60块,求这 60块长方体表面积的和；9. 用10个长7厘米,宽 5厘米,高 3厘米的长方体木块拼成一个大长方体,拼成的大长方体表面积最小是多少 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载第三讲 长方体和正方体的体积前一讲,我们讨论了长方体和正方体表面积的运算,其实在数学竞赛中,有关长方体和正方体体积的学问也很重要；学习这一讲的学问更需要

11、我们具备较强的观看才能和空间想像才能；例题选讲例 1: 如图,一个长方体木块,从上部和卞靠分别截去高2 厘米和 3 厘米的长方体后,便成为一个正方体,表面积削减了 100 平方厘米,原先长方体的体积是多少立方厘米. 【分析与解答】认真观看右图,截去上下两个长方体后削减的表面积就是两个长方体的侧面积,也就相当于削减的是高为 2+3 厘米的长方体的侧面积,因此高为 5 厘米的长方体每个侧面积是 100 425 平方厘米 ,那么长方体底面正方形的边长就是 255=5 厘米 ,所以原长方体的体积是：5 5 2+5+3=250 立方厘米 ；例 2: 将两块棱长相等的正方体木块拼成一个长方体,已知长方体棱

12、长总和是96 厘米,每块正方体木块的体积是多少立方厘米. 【分析与解答】依据题意,两个正方体棱长共有12 2=24 条；当它们拼在一起成为一个长方体时,由于两个面重合,也就削减了 4 2=8 条 棱长,实际上就是拼成的长方体棱长总和相当于 248=16 条 正方体棱长总和,因此每条正方体棱长为 体木块的体积是：6 6 6=216 立方厘米 ；96 16=6厘米 ,就每块正方例 3: 如图,正方体的棱长为 4 厘米,分别在前后、左右、上下各面中心凿开一个边长 1 厘米的正方形小孔直至对面,求它的体积；【分析与解答】 认真观看图形, 每个凿去的小长方体体积均为：1 1 4=4 立方厘米 ,共凿小长

13、方体 3 个,即 4 3=12 立方厘米 ,而实际上由于正中间相交,重复凿去了 2 个 1 立方厘米的正方体小块,因此,这个物体的体积是 2=54 立方厘米 ；练习与摸索4 4 412+11把一个长方体的长平均分成4 段,每段长 6 厘米,表面积增加24 平方厘米,求原长方体的体积；2用大小相等的两个正方体积木拼成一个长方体,这个长方体的棱长总和是80 厘米,每个正方体的体积是多少立方厘米 . 3如图,在一个棱长为20 厘米的正方体木块的前面、上面、右面中心位置,分别凿一个边长为 4 厘米的正方形小孔直至对面,做成玩具,求这个玩具的4 一个长方体,它的前面和上面的面积之和是156 平方厘米,并

14、且长、宽、名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料. 欢迎下载高都是质数,这个长方体的体积是多少5一个表面积是 36；平方厘米的长方体,它恰好可以切成两个相同的正方体,每个小正方体的体积是多少立方厘米 . 6一个长方体,它的底面是一个正方形,它的表面积是 190 平方厘米,如果用一个平行于底面的平面将它截成两个长方体,就两个长方体的表面积之和是240 平方厘米,求原先长方体的体积；7一个长方体的前面、上面、右面的面积分别为40、60、24 平方厘米,求这个长方体的体积；8现有一张长 4 厘米、宽 2；厘米的长方形

15、铁皮,请你用它做一只深是 5 厘米的长方体无盖铁皮盒 焊接处及铁皮厚度忽视不计,容积越大越好 ；请问：你做的铁皮盒的容积是多少立方厘米. 9一个长、宽、高分别是2l 厘米、 15 厘米、 12 厘米的长方体,现从它上面尽可能大地切下一个正方体,然后再从剩余部分尽可能大地切下一个正方体,最终再 从其次次剩余的部分尽可能大地切下一个正方体,这时剩下的体积是多少立方厘 米. 第四讲 水面高度变化和等积变换名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载水面高度变化问题是涉及长方体和正方体体积运算的变题,是指把一个物体

16、放入盛水的 长方体或正方体容器中,水面将上升；或者把一个物体从盛水的长方体和正方体容器中取出,水面会下降一类的问题；解答时,同学们要认真观看水面高度变化的现象,发挥空间想像力,发觉体积变化的规律,从而解决实际问题；等积变换问题指的是物体经过熔铸、变换,改造 成另一种外形的物体,虽然外形变了,但是体积没有发生变化；解答时,应当抓住体积不变 这一突口,再依据实际问题进行认真分析,从而寻求解决问题的方法；例题选讲例 1: 在一个长 25 分米,宽 20 分米的长方体容器中,有15 分米深的水；假如在水中沉入一个棱长是50 厘米的正方体铁块,那么容器中水深多少分米. 、【分析与解答】依据题意,正方体铁

17、块沉入长方体容器中后,水面会上升,而上升部分的水 的体积与正方体铁块的体积相等,因此就可以求出上升部分水的高度,那么现在的水深就迎 刃而解了；解： 50 厘米一 5 分米 5 25X20+15 =O25+15 =1525 分米 答：容器中水深1525 分米；例 2: 一个长方体水箱, 底面是一个边长为50 厘米的正方形； 水箱里直立着一个高10 分米,底面边长是 25 厘米的长方体铁块,这时水箱里的水深 6 分米；现在把铁块轻轻地向上提起 20 厘米,那么露出水面的铁块上被水浸湿的部分长多少厘米 . 【分析与解答】露出水面的铁块上被水浸湿的部分包括向上提起的 20 厘米和铁块提起后水面下降的高

18、度两部分；而下降部分水的体积就等于提起的 20 厘米的铁块的体积,因此水面下降的高度就可以用高 20 厘米的铁块体积除以水箱的底面积求得；解： 25 25 20 50 50+20 =5+20 =25 厘米 答：露出水面的铁块上被水浸湿的部分长 25 厘米；例 3: 把一个长 9 厘米,宽 7 厘米,高 3 厘米的长方体铁块和一个棱长 5 厘米的正方体铁块熔铸成一个底面积是 20 平方厘米的长方体,求这个长方体的高；【分析与解答】将一个小长方体铁块和一个小正方体铁块熔铸成一个大长方体,外形虽然变了,但体积和没有发生变化,因此大长方体铁块的体积就等于小长方体铁块与小正方体铁块的体积和；然后依据体积

19、除以底面积求出高；解： 9 7 3+5； 20 =314 20 =157 厘米 答：这个长方体的高是 157 厘米；练习与摸索1在一个长 20 分米,宽 15 分米的长方体容器中,有20 分米深的水；现在在水中沉入一个棱长 15 分米的正方体铁块,这时容器中的水深多少分米 . 2一个长方体容器 ,长 90 厘米,宽 40 厘米；容器里直立着一个高 1 米,底面边长是 15 厘米的长方体铁块,这时容器里的水深 05 米；3一个棱长 6 分米的正方体容器,装满了水；现将正方体容器里的水倒人一个长12 分米,宽 6 分米,高 5 分米的长方体水槽中,求现在长方体水槽中水面到水槽口的距离；4现在把铁块

20、轻轻向上提起 多少厘米 . 24 厘米,那么露出水面的铁块上被水浸湿的部分长名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载5一个长方体水箱,从里面量长8 分米,宽 6 分米；先倒入 165 升水,再浸入一块棱长 3 分米的正方体铁块,这时水面离水箱口 多少. 1 分米；问：这个水箱的容积是6在一个长 15 分米,宽 12 分米的长方体容器中,水深10 分米；假如在水中浸入一个棱长是 30 厘米的正方体铁块,那么,容器中水深多少分米. 5 米、 3 米、27有大、中、小三个底面是正方形的水池,它们底面的边长分别

21、是米,把两堆碎石分别沉人中、小水池的水里,两个水池的水面分别上升 6 厘米和 4厘米；假如将这两堆碎石都沉人大水池的水里,大水池的水面上升多少厘米？8一个长方体容器里面装有水,一块棱长24 厘米的正方体铁块浸没在水中；现将铁块取出,水面下降 18 厘米；假如将一个长 18 厘米,宽 16 厘米,高 12 厘米的长方体铁块浸入水中：水面将上升多少厘米 . 9现在有大、中、小三个铁球,一个装满水的长方体容器；第一次把小球浸入水中；其次次把小球取出,把中球浸入水中；第三次取出中球,把小球和大球一起浸入水中；已知每次淡定器中溢出水量的情形是：其次次是第一次的 3 倍,第三次是第一次的 25 倍；问：大

22、球体积是小球的多少倍 . 10现有空的长方体容器 A 和水深 24 厘米的长方体容器 B如图 ,要将容器 B 的水倒一部分给 A,使两容器水的高度相同, 那么这时的水深是几厘米 . 11棱长为 1 米的 2100 个正方体围成一个实心的长方体,它的高为 10 米,长和宽都大于高；问：它的长和宽各为多少米 . 12在一个长方体蓄水池里放进一块长和宽都是 5 厘米的长方体铁块,假如把它全部放入水里,池里水面就上升 9 厘米,假如把水中的铁块露出 8 厘米,这时池里的水面就下降 4 厘米；问：这个铁块的体积是多少立方厘米 . 第五讲 列方程解题有数量关系比较复杂的应用题,特殊是需要逆向思维的应用题,

23、运用算术方法解答比较困难,假如列方程解答,通过设未知数,把未知数当作已知数来考虑数量名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载关系,抓住数量之间的相等关系,列出方程式解答就比较简洁了；例题选讲例 1：御苑学校五 3 班的同学合买一件生日礼物送给班主任；假如每人出 8 元,就多 84 元,假如每人出6 元,那么就少 12 元,御苑学校五 3 班有多少名同学 . 【分析与解答】从给出的条件分析,用算术方法解答问题有些困难,好像数量关系不明显,但深化分析可以看出同学们买的是同一件生日礼物,因比价格是肯定的,即每

24、人出8 元表示的总价与每人出6 元表示的总价相等,可以列出以下方程式解答；解：设御苑学校五 3 班有 x 名同学； 8x-84=6x+12 8x 一 6x=12+84 2x=96 x=48 答：御苑学校五 3 班有 48 名同学；例 2：成功大队粮库里的大米是面粉的2 倍,现在用卡车运走,每辆卡车装4 吨大米和 3 吨面粉,当面粉运完时,仍剩 少吨. 2 0 吨大米,粮库里原先有大米和面粉共多【分析与解答】这道题的未知数量比较多：有大米、面粉的重量和卡车的数量,那么设哪个未知数为 x 比较合适呢 .我们认真分析一下等量关系,简洁看出运大米的卡车数量与运面粉的卡车数量相等,假如设面粉有 x吨,就

25、大米有 2x 吨,依据卡车数量相等可以列出方程 2x 一 20 4=x 3 再进一步分析已知条件,可以看出另一个等量关系, 即大米的重量等于面粉重量的 2 倍；我们设有 x 辆卡车,依据等量关系可列出方程：4x+20=3x 2 比较两种方法,发觉后一种方法列出的方程式比较简洁解答；解：设有 x 辆卡车； 4x+20 3z 2 4x+20=6x x=10 4+3 10+20=90 吨 答：粮库里原先有大米和面粉共 90 吨；练习与摸索1爸爸带一些钱去买酸奶,假如买 1 O 瓶就剩下 4 元,假如买 12 瓶同样的酸奶就差 5.2 元；问：每瓶酸奶多少元 .爸爸带了多少钱？2. 滨江学校体育室里的

26、篮球是足球的3 倍；体育课上,每班借 8 只篮球、5 只足球,足球借完时仍有 84 只篮球；问：体育室原先有篮球和足球共多少只 .；3. 某校五、六年级的同学乘公交车去秋游；假如每车坐 60 人,就有 20 人没有座位；假如每车多坐 5 人,就有一辆车空出 45 个座位； 请问：一共有多少辆公交车 .五、六年级去秋游的同学一共有多少人 . 4. 一条船从甲港到乙港顺流丽下,再从乙港返回共用了8 小时,已知这船在静水中的速度是每小时, 20 千米,水流速度是每小时 5 千米；请问：甲、乙两港之间的距离是多少千米 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 24 页精选学习资料 -

27、 - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载5.4 个人的年龄之和是 77 岁,最小的是 10 岁,他与年龄最大的人的年龄之和比其他两人的年龄之和大7；问：年龄最大的人是多少岁. 6. 一个两位数,十位数上的数字是个位上数字的 的数字,就新数比原数小 18,求原先的数；15 倍,假如调换十位与个位上7. 甲每分钟走50 米,乙每分钟走 60 米,丙每分钟走 70 米,甲、乙从 A地动身,丙从 B地动身,丙遇到乙以后 2 分钟又遇到甲,求 A、B两地的距离；8. 甲、乙两个书店存书册数相等,甲书店售出 2000 册,乙书店购入 1000 册,这时乙书店的册数是甲书店的 2 倍；问：甲、乙

28、两书店原先共存书多少册 . 9. 在一次数学竞赛中,甲队的平均分为 75 分,乙队的平均分为 73 分,两队全体同学的平均分为 735 分,并且乙队比甲队多6 人,那么乙队有多少人 . 10. 如下列图的是由九个正三角形拼成的六边形,其中最小的正三角形 图中有阴影的小三角形 的边长为 1,求此六边形的周长；第六讲 假设法解题“ 假设法” 是解决问题常用的一种思维方法,是指在解决问题的过程中,依据题目的条件或结论作出某种假设,然后依据假设进行推算,当显现冲突时,就分析冲突产生的缘由,并对比已知条件进行适当调整,最终找到解决问题的方法；例题选讲例 1: 有 5 元和 10 元的邮票共 20 张,总

29、面值 125 元；问： 5 元的和 10 元的邮票各名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载多少张 .【分析与解答】假设 20 张邮票都是 10 元的,总面值应当是 10 20 一 200 元 ,而实际上只有 125元,实际比假设少 200 12575 元 ,认真分析一下为什么比假设少 75 元呢 .缘由就是把 5 元的邮票当作 10元算的、,每张就多算 10-5= 5 元 ,因此可以求出 5 元的邮票张数 75 5=15 张 就 10 元的邮票张数为 2015=5 张 ；解： 10 20125 10

30、 一 5 =75 5=15 张 5 元的邮票张数 20-15=5 张 10 元的邮票张数答： 5 元的邮票 15 张, 10 元的邮票 5 张；请同学想想假如假设 2 张邮票都是 5 元的应当如何解答呢 . 例 2: 中心百货公司托付搬运公司送 1000 只茶杯,双方签订合同每只运费是 O.3 元假如打破 1 只,不但不付运费,而且仍要照价赔偿15 元；结果搬运公司共得运费 291 元；问：搬运公司在搬运过程中打破了几只茶杯 . 【分析与解答】假设在搬运过程中没有茶杯被打破,那么应当得运费 O3 x 1000=300 元 ,而实际 上却少得了运费 300 291=9 元 ,缘由是打破了几只茶杯

31、,每打破 1 只不但拿不到运费,仍要赔偿,所以 打破 1 只就缺失： 03+15=18 元 ,因此在搬运过程中打破了 9 18=5 只 ；解： O 3X1000 291 O3+15 =9 18 =5 只 5 只茶杯；答：在搬运过程中打破了练习与摸索 1笼中共有鸡兔 100 只,鸡兔共有 280 只脚；问：鸡兔各有多少只 . 2某搬运站为某商店运 800 只花瓶,运费为每只 3 元,假如损坏一只,不但不给运费仍要照价赔偿5 元,结果搬运站共得运费2352 元；问：搬运公司在搬运过程中打破几只花瓶 . 3松鼠爸爸采松子 , 晴天可以采 30 个, 雨天只能采 20 个,它一连几天共采了 240个松

32、子,平均每天采24 个；问：这几天当中有几个晴天.几个雨天 . 4甲、乙两人进行投飞镖竞赛,规定每中一次记10 分,脱靶一次扣 6 分,两人各投 l0 次,共得 152 分,其中甲比乙多 16 分；问：甲、乙两人各投中几次？5蜘蛛有 8 只脚,没有翅膀, 蜻蜓有 6 只脚和 2 对翅膀,蝉有 6 只脚和 1 对翅膀,现在这三种小动物共 78 只脚, 13 对翅膀；问：每种小动物各有几只 . 6甲仓库存粮是乙仓库的 2 倍,甲仓库每天运出 40 吨,乙仓库每天运出 30 吨,名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资

33、料 欢迎下载如干天后,乙仓库的粮食运完了,甲仓库仍有 有粮食多少吨 . 80 吨；问：甲、乙两个仓库原先各7一堆硬币：面值为1 分、2 分、 5 分三种,其中 1 分的个数是 2 分的 ll倍,如果这堆硬币共 1 元,那么 5 分硬币有多少个 . 8某班同学参与学校的数学竞赛,试题共 50 道；评分标准是：答对 l 题给 3 分,不答给 1 分,答错倒扣 1 分；请你说明：该班同学得分总和肯定是偶数；9紫金学校买来单价分别是3 元、 4 元、 5 元的奖品共 200 份,共花去 780 元,其中 4 元和 5 元的奖品份数相同；问：三种奖品各买了多少份. . 10有一筐苹果,把它们三等分后仍剩

34、2 个,取出其中两份,将它们三等分后仍剩 2 个,再取出两份,将这两份三等分后仍剩2 个；问：这筐苹果至少有几个第七讲 代换法解题 在一些较复杂的应用题中,常常会显现两个或两个以上的未知量,但是这些未 知量是有肯定的规律关系的；解题时,可以用其中一个未知量通过等量代换,代 替其它未知量,从而使复杂的问题变得简洁,这种解题的方法称为代换法；例题选讲名师归纳总结 例 1: 一个足球的价格等于两个篮球的价格,也等于三个排球的价格,仍等于一个第 12 页,共 24 页篮球加一个排球和一个垒球的价格；那么一个足球等于多少个垒球的价格. 【分析与解答】这道题条件比较多,我们把条件摘录如下,列出等式：1 个

35、足球： 2 个篮球,1 个足球 =3 个排球,一个足球=1 个篮球 +1 个排球 +1 个垒球,由此可以推出2 个篮球 =3 个排- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 球,即 1 个篮球： 15 个排球,又精品资料欢迎下载1 个垒球一 O5 个排1 个篮球： 1 个排球 +1 个垒球,所以球,即 2 个垒球 =1 个排球,因此1 个足球 =2 3=6 个 垒球；例 2:5 只同样的红球和 18 只同样的绿球共重 396 克,已知 1 只红球和 3 只绿球的重量相等,求每只红球和每只绿球各重多少克 . 【分析与解答】摘录条件：15 只红球 +18 只绿球 =

36、396,21 只红球 =3 只绿球,由 2 ）可得5 只红球 =15 只绿球,因此用 15 只绿球代替（ 1）中 5 只红球可得 15 只绿球 +18 只绿球 =396,即 33 只绿球 =396,所以每只绿球 =396 15+18=12 克 ,每只红球的重量 =12 3=36 克 ；同学们想一想用几只同样的红球可以代换 18 只绿球,又如何运算呢 . 例 3: 甲、乙、丙三人,甲的年龄比乙的 2 倍大 3 岁,乙的年龄比丙的 2 倍小 2 岁,三人年龄之和是 109 岁；问：三人各几岁 . 【分析与解答】摘录条件 1 甲=2 乙+3,2 乙=2 丙 -2 ,由 2 可得 2 乙=4 丙-4

37、,又依据 1可得甲 =4 丙=1,假如甲正好是丙的 4 倍,乙正好是丙的 2 倍,那么年龄和应是109+l+2=112 岁 ,也就相当于丙的 4+2+1 倍,因此丙的年龄 =112 7=16 岁 ；乙的年龄：16X22=30 岁 ,甲的年龄 =30 2+3=63 岁 ；练习与摸索1.2 只红球与 4 只蓝球的重量相等, 3 只蓝球的重量等于1 只红球加 1 只黑球的重量,那么几只黑球的重量等于 3 只红球加 4 只蓝球的重量 . 2. 百货商店运来 400 双球鞋,分别装在 2 个木箱和 6 个纸箱中, 假如 2 个纸箱同 1个木箱装的鞋一样多,那么每个木箱和每个纸箱各装多少双鞋 . 3. 有

38、红、黄、蓝三色笔共 94 枝,已知红色笔比黄色笔的 2 倍少 2 枝,黄色笔比蓝色笔的 2 倍多 4 枝,求三色笔各多少枝 . 4. 一批货物,假如用大号集装箱要20 只箱子,假如用小号集装箱装,要25 只箱子,已知大号箱比小号箱可多装货物200 千克,求这批货物重多少千克. 5. 学校图书馆购买5 本科技书和 3 本文学书共用去1475 元,假如用 1 本文学书换回 2 本科技书,那么仍要用去 少元. 6. 甲、乙、丙、丁四个数的和是73 元；问：科技书和文学书每本的价格各是多325,假如甲加上 lO,乙减去 5,丙乘以 2,丁除以 3,那么四个数恰好相等,求丁数；名师归纳总结 - - -

39、- - - -第 13 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载7. 甲、乙两数之差是 1782,假如将乙的小数点向右移动两位就与甲数相等；求甲、乙两数分别是多少 . 8. 用两台抽永机抽水,甲抽水机抽 6 小时,乙抽水机抽 8 小时,共抽水 624 立方米；已知甲抽水机 5 小时的抽水量等于乙抽水机 2 小时的抽水量；问：甲乙两台抽水机每小时各抽水多少立方米. 10 瓶啤酒,他最多可以喝到多少瓶啤酒.9. 用 3 个空啤酒瓶可换一瓶啤酒王强买了张师傅和李师傅共同加工 1300个零件,张师傅先做 6 天；再由李师傅做 4 天,就完成了任务；假如张师傅

40、先做 4 天,就李师傅再做 7 天也能完成任务；问：李师傅每天加工多少个零件 . 10. 运动会把一笔奖金分为金、 银、铜三等,已知每个金牌奖金是每个银牌奖金的,2 倍,每个银牌奖金是每个铜牌奖金的 2 倍,假如评出金牌、 银牌、铜牌奖各两名,那么每个金牌奖金是 30.8 万元,假如评出一个金奖、两个银奖、三个铜奖,那么金奖的奖金是多少万元 . 第八讲 消去法解题有些较复杂的应用题,给出了两个或两个以上的未知量,在解题时除了运用前一讲代换法来解答,仍可以运用另一种方法消去法；消去法解题是指在求多个未知量时,通过比较已知条件,分析对应未知数量的变化情形,设法消去其中一个未知量,使复杂问题简洁化；

41、名师归纳总结 例题选讲例 1: 妈妈第一次买了 3 千克苹果和 5 千克桔子,共用去 145 元；其次次又买了3 千克苹果和 7 千克桔子,共用去 185 元；苹果和桔子的单价各是多少元 .【分析与解答】依据已知条件写出以下数量关系式：第 14 页,共 24 页 3 3千克苹果的价格 +5 千克桔子的价格 =14 5 元 千克苹果的价格 +7 千克桔子的价格 =18 5 元- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载比较、两个等式,我们可以看出,145 元与 18 5 元的差价正好是 7 5 千克桔子的价格；由于两次买的苹果重量相同,依据这个条

42、件,在解答时可以把 3 千克苹果的价格消去,先求桔子的价格,再求苹果的价格；解： 18 5145 7 5 =4 2 =2 元 桔子的单价 1452 5 3 =45 3 =15 元 苹果单价答：苹果的单价是 1 5 元,桔子的单价是 2 元；例 2: 紫金学校买了 4 个足球和 12 个篮球,一共用去980 元,育才学校买了同样的 8 个足球和 10 个篮球,一共用去 1 1 90 元；每个足球和每个篮球各多少元 . 【分析与解答】先列出数量关系式； 4 个足球的价钱十 12 个篮球的价钱 =980 元 8 个足球的价钱 +10 个篮球的价钱 =1190 元 与例 1 比较、两个等式中没有相同数量的量,这样就不能直接消去其中的一个未知量；那怎么办呢 .认真观看比较、两个数量关系式,不难看出式中足球数量是式中足球数量的 2 倍,假如把式中未知量的数量扩大 2 倍,问题就迎刃而解了；解：依据已知条件可得