2022年从平面向量到空间向量.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 1 从平面对量到空间向量 学习目的2 空间向量的运算（学案二）1. 把握空间向量的数乘运算律,能进行简洁的代数式化简；2. 懂得共线向量定理和共面对量定理及它们的推论；3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简洁的立体几何中的问题自主整理1. 空间两个向量a 和 b 的数量积是一个数,等于; 3 ,记作 ab, R. 即 ab= . 2. 空间向量的数量积的运算律_. 1 交换律 : ; 2 安排律 :3.1 |a|=_; 2 ab_; 3 cosa,b=a 0,b 0 _. 4. 对于任意一个非零向量 a,我们把叫作向量 a 的单位向量 ,记

2、作 .与 a 同方向 . 例题讲解名师归纳总结 【例1】如图 ,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a,点 E,F,G 分别是第 1 页,共 17 页AB,AD,DC的中点 .求以下向量的数量积: 1 AB AC ;2 AD BD ;3GFBD;4EFBC. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 变式训练1.已知在空间四边形OABC 中 ,OB=OC,AB=AC, 求证 :OA BC. OAC=45, OAB=60,【例 2】如下列图 ,在空间四边形OABC 中 ,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,求 OA 与 BC 夹角的余弦值 . 变式

3、训练名师归纳总结 2.如图 ,已知 ABC 是正三角形 ,PA平面 ABC, 且 PA=AB=a, 求 PB 和 AC 所成的角的大小. 第 2 页,共 17 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【例3】如图 ,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点 M,N分别是边AB,CD 的中点 . 1求证 :MN 为 AB 和 CD 的公垂线 ;2 求 MN 的长 ; 3求异面直线AN 与 MC 所成角的余弦值. 变式训练3.如图 ,平行六面体 ABCD A 1B 1C1D 1中,以顶点 A 为端点的三条棱长都为 1,且两两夹角为 60. 1求

4、AC 1的长 ;2 求 AC1与面 ABCD 所成的角 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 练习作业1.已知 |a|=2,|b|=3,a,b=60,就|2a-3b|等于 A. 97 B.97 C. 61 D.61 2.以下各命题中 ,不正确的命题的个数为 a a =|a| m a b=m a b ,m,R ab+c=b+c a a 2b=b 2a A.4 B.3 C.2 D.1 3.已知非零向量 a,b 不平行 ,并且其模相等 ,就 a+b 与 a-b 之间的关系是 A. 垂直 B.共线 C.不垂直 D.以上都可

5、以4.已知 PA平面 ABC, ABC=120 ,PA=AB=BC=6, 就 PC 等于 A.6 2 B.6 C.12 D.144 5.已知向量 a,b,c 两两之间的夹角都为 60,其模都为 1,就|a-b+2c|等于 A. 5 B.5 C. 6 D.6 6.已知 i,j,k 是两两垂直的单位向量 ,a=2i-j+k,b=i+j-3k, 就 ab 等于 A.-2 B.-1 C. 1 D.2 7.已知在平行六面体 ABCD ABC中 ,AB=4,AD=3,AA =5,BAD=90 , BAA =DAA=60 ,就 AC 等于 A.85 B. 85 C.5 2 D.50 8.在四周体 SABC

6、中,各棱长均为a,E,F 分别是 SC 和 AB 的中点 , 就异面直线 EF 与 SA 所成的角等于 A.90 B.60 C.45 D.30 9.已知 a,b 是夹角为 60的两单位向量 ,而 ca,cb,且|c|= 3 ,x=2a-b+c,y=3b-a-c ,就 cosx,y=_. 名师归纳总结 - - - - - - -10.已知 |OA|=5,|OB|=2, OA ,OB =60, OC =2 OA + OB ,OD = OA -2 OB ,就以OC,OD为邻边的OCED 的对角线 OE 的长为 _. 11.已知线段 AB 的长度为 62 , AB 与直线 l 的正方向的夹角为120,

7、就 AB 在 l 上的射影第 4 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 的长度为 _. 12.已知 |a|=3 2 ,|b|=4,m=a+b,n=a+a,b=135,mn,就 =_. 13.设 ab,a,c= ,b,c= ,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,就向量 a+b+c 的模是 _. 3 614.在直二面角的棱上有两点 A,B,AC 和 BD 各在这个二面角的一个面内 ,并且都垂直于棱AB, 设 AB=8 cm,AC=6 cm,BD=24 cm, 求 CD 的长 . 15.如下列图 ,在正方体 ABCD A 1B1C1D 1中 ,O 为 AC 与 BD 的

8、交点 ,G 为 CC1的中点 ,求证:A 1O平面 GBD. 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 6.如下列图 ,正方形 ABCD 与正方形 ABEF 边长均为1,且平面 ABCD 平面 ABEF, 点 M 在AC 上移动 ,点 N 在 BF 上移动 .如 CM=BN=a0a 2 . 1求 MN 的长度 ; 2当 a 为何值时 ,MN 的长最小 ; 3当 MN 长最小时 ,求平面 MNA 与平面 MNB 所成的二面角 的大小 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 17 页精选学习资料 - - -

9、 - - - - - - 课后总结1.数量积是数量 ,可以是正数 ,也可以是负数或零,它没有方向 ,可以比较大小 .a 与 b 的数量积名师归纳总结 - - - - - - -的几何意义是 :向量 a 的模 |a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosa,b的乘积 . 2. 利用两个向量的夹角为2,判定空间直线的垂直是向量在立体几何中的重要应用之一. 3. 依据空间两个向量的数量积的定义:ab=|a|b|cosa,b,那么空间两个向量a,b 的夹角的余弦 cosa,b=|a|b|,这个公式可用来求空间两直线所成的角. ab4. 在空间两个向量的数量积中,特殊地 aa=|a|a|cos0=|

10、a|2,所以向量a 的模 |a|=a2,这个公式可用来求空间中线段的长度.将其推广为 :|ab|= aba2 abb2 2; |a+b+c|= abc2a22 bc22 ab2 bc2 ca=a+b+c2=a2+b2+c 2+2ab+2bc+2ca. 5. 对于三个不为0 的向量 ,如 ab=ac,不能得出 b=c, 即向量不能约分. 6. 如 ab=k,不能得出 a=k 或 b= bk,即向量不能进行除法运算. a7. 对于三个不为0 的向量 ,a bc ab ,即向量的数量积不满意结合律. 8. 如何利用向量学问求线段的长度. 将所求线段用向量表示,转化为求向量的模的问题.一般可以先选好基

11、底,用基向量表示所求向量 ,然后利用 |a|2=a2 来求解 .挑选基底时 ,应留意三个基向量两两之间的夹角应该是确定的 ,已知的或可以求出的.详细求模时 ,可分为两种不怜悯形: 第 7 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1 不建坐标系 ,直接进行向量运算;2 建立坐标系 ,用距离公式求线段长度. 9. 如何利用空间向量学问求异面直线所成的角 . 面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量 ,运算两个方向向量的夹角得到 ,具体运算时可以用基向量表示 ,也可以用坐标运算进行 .但在求异面直线所成的角时 ,应留意异面直线所成的角与向量夹角的区分 :假如两向量夹角为锐角

12、或直角 ,就异面直线所成的角等于两向量的夹角 ;假如两向量的夹角为钝角 ,就异面直线所成的角为两向量的夹角的补角 . 1 从平面对量到空间向量 学习目的2 空间向量的运算（学案二）1. 把握空间向量的数乘运算律,能进行简洁的代数式化简；2. 懂得共线向量定理和共面对量定理及它们的推论；3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简洁的立体几何中的问题自主整理名师归纳总结 1. 空 间 两 个 向 量a和b 的 数 量 积 是 一 个 数 , 等 于abcosa,b, 记 作a b,即第 8 页,共 17 页ab=abcosa,b. 2. 空间向量的数量积的运算律. b= a b R. 1 交换律

13、:a b=b a; 2 安排律 :ab+c= a b + a c; 3 a 3.1 |a|=aa;- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2ab= ab=0; 3cosa,b=aba 0,b 0.a 的单位向量 ,记作 .与 a 同方向 . ab4. 对于任意一个非零向量a,我们把叫作向量例题讲解【例 1】如图 ,已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等于 a,点 E,F,G 分别是AB,AD,DC 的中点 .求以下向量的数量积 : 1 AB AC ;2 AD BD ;3 GF BD ;4 EF BC . 解析： 由于空间四边形 ABCD 各棱长都等

14、于 a, 所以表面中各三角形均为正三角形 . 所以有 AB , AC , AD 两两之间的夹角均为60,用数量积的定义求解即可 .答案： 1在空间四边形 ABCD 中| AB |=| AC |=a,且 AB , AC =60 , 所以 AB AC =a acos60= 1 a 2.2| AD |=a,|BD |=a, AD , BD =60, 2所以 AD BD =a 2cos60 = 1 a 2.3| GF |= 1 a,| AC |=a,又 GF AC , GF , AC = , 2 2所以 GF AC = 1 a 2cos = 1 a 2.4由于 |EF|= 1 a,|BC|=a, EF

15、 BD , 2 2 2所以 EF , BC = BC , BD =60 .所以 BC EF = 1 a 2cos60 = 1 a 2. 4 2小结 直接求两个向量的数量积时 , 应选取好基底 , 三个基向量的选取很重要 , 一般要保证三个向量两两之间夹角已知或可求 , 最好是特殊角 , 然后利用定义求解 . 变式训练1.已知在空间四边形 OABC 中 ,OB=OC,AB=AC, 求证 :OA BC. 证明 :由于 OB=OC,AB=AC,OA=OA, 所以 OAC OAB. 所以 AOC= AOB. 由于OABCOA OCOB=OAOCOAOBOAC=45, OAB=60,=|OA|OC|co

16、sAOC-|OA|OB|cosAOB=0. 所以 OA BC. 【例 2】如下列图 ,在空间四边形OABC 中 ,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,求 OA 与 BC 夹角的余弦值 . 名师归纳总结 解析： 求异面直线所成的角,可以用常规方法,也可以用向量夹角公式第 9 页,共 17 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 求解 ,cos OA , BC =|OA|BC|,应先求出 OA BC . OABC答案： 由于 BC = AC - AB ,所以 OA BC = OA AC - OA AB=| OA | | AC | cos OA , AC -

17、|OA | | AB | cos OA , AB =84cos135 -8 6cos120 =24-162. 所以 cos OA , BC = OA BC= 24 16 2 3 2 2.所以 OA 与 BC 夹角| OA | BC | 8 5 5的余弦值为 3 2 2. 5小结 用向量夹角公式解决异面直线所成角的问题时 ,应留意角的范畴 ,向量夹角范畴是0,180 ,异面直线所成的角的范畴是 0 ,90 ,当用夹角公式求出的角为钝角时 ,它的补角才等于异面直线所成的角 . 变式训练2.如图 ,已知 ABC 是正三角形 ,PA平面 ABC, 且 PA=AB=a, 求 PB 和 AC 所成的角的大

18、小 . 解 :PA平面 ABC, ABC 为正三角形 , PA=AB=a, 所以 PAAC, BAC=60 ,PB=2a,AC=a. 所以PBACPAAB ACPAACABAC=1a 2. . 2所以 cosPB,AC=|PB|AC|a2a2.所以 PB 与 AC 所成的角为arccos22PBAC2 a44【例3】如图 ,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点 M,N分别是边AB,CD 的中点 .1求证 :MN 为 AB 和 CD 的公垂线 ;2 求 MN 的长 ; 3求异面直线AN 与 MC 所成角的余弦值. 解析： 如图 ,设 AB =p, AC =q, AD =r.由题

19、意 ,可知 |p|=|q|=|r|=a, 名师归纳总结 且 p,q,r 三向量两两夹角均为60. 第 10 页,共 17 页答案： 1证明：MNAN1ACAD1AB=1q+r-p, 222所以 MN AB =1q+r-pp=1q p+r p-p2=1a 2cos60 +a 2cos60 -a 2=0. 222所以 MN AB, 同理可证 MN CD.所以 MN 为 AB 与 CD 的公垂线 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2解： 由1 可知 MN =1q+r-p, 所以 |MN |2= MN 2=1q+r-p224= 1 q2+r 2+p 2+2

20、q r-q p-r p= 1 a2+a 2+a 2+2 a 2-a 2-a 2 = 12a 2= a 2. 4 4 2 2 2 4 2所以 |MN |= 2a. 所以 MN 的长度为 2a. 2 23解： 设向量 AN MN 与 MC 的夹角为 , 由于 AN = 1 AC + AD 21 1 1 1= q+r, MC = AC - AM =q-p, 所以 AN MC = q+rq-p 2 2 2 2= 1q 2-1qp+r q-1r p = 1a 2-1a 2cos60 +a 2cos60 -1a 2cos60 2 2 2 2 2 22 2 2 2= 1a 2-a a a= a. 又由于 |

21、 AN |=| MC |= 3a, 2 4 2 4 2 22所以 AN MC =| AN | |MC | cos 3a3acos= a.所以 cos= 2. 2 2 2 32 2所以向量 AN 与 MC 的夹角余弦值为 .从而异面直线 AN,MC 所成角的余弦值为 . 3 3小结 空间向量求模的运算要留意公式的精确应用 .向量的模就是表示向量的有向线段的长度,因此求线段长度的问题可用向量求解 .立体几何中有关判定线线垂直 ,异面直线所成角的大小问题 ,通常可以转化为求向量的数量积和求向量的夹角而得到 . 变式训练3.如图 ,平行六面体 ABCD A1B 1C1D1中,以顶点 A 为端点的三条棱

22、长都为 1,且两两夹角为 60.1求 AC 1 的长 ;2求 AC1 与面 ABCD 所成的角 . 解 :向量法 记 a= AB ,b= AD ,c= AA 1于是 |a|=|b|=|c|=1,a,b =b,c=c,a=60 .1 AC 1 AB BC CC 1 =a+b+c, 所以 | AC 1| 2AC 1 2=a 2+b 2+c 2+2ac+2ab+2bc=1+1+1+2cos60 +2cos60 +2cos60 =6. 所以 AC =6. 2连结 AC,BD, 由四边形 ABCD 是菱形 ,知 BDAC. 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 17 页精选学习资料

23、- - - - - - - - - 又 BD =b-a, BDCC 1=b-a c=bc-a c=0. 所以 BD CC1.所以 BD平面 ACC 1. 所以平面 ABCD 平面 ACC 1.故 AC 是 AC 1 在平面 ABCD 内的射影 , C1AC 即为 AC 1 与面 ABCD 所成的角 .由于AC =a+b+c, AC =a+b, cosC1AC=cosAC , AC =|AC1|AC|=abc|a3b |AC1AC|abcab|=643232. 故 AC 1与平面 ABCD 所成的角为arccos22.练习作业1.已知 |a|=2,|b|=3,a,b=60,就|2a-3b|等于

24、A. 97 B.97 C. 61 D.61 解析 :|2a-3b| 2=4a 2+9b 2-12ab=44+99-12 |a|b|cos60 =97-12 231=61. 2所以 |2a-3b|= 61 .答案 :C 2.以下各命题中 ,不正确的命题的个数为 a a =|a| m a b=m a bm,Rab+c=b+c a a 2b=b 2a A.4 B.3 C.2 D.1 解析 :正确 ,不正确 .答案 :D 名师归纳总结 3.已知非零向量a,b 不平行 ,并且其模相等 ,就 a+b 与 a-b 之间的关系是 第 12 页,共 17 页A. 垂直B.共线C.不垂直D.以上都可以解析 :由于

25、 a+b a-b=a 2-b2=|a|2-|b|2=0.所以 a+b a-b.答案 :A 4.已知 PA平面 ABC, ABC=120 ,PA=AB=BC=6, 就 PC 等于 A.62B.6 C.12 D.144 解析 :由于PCPAABBC, 答案 :C 所以PC22 PAAB2BC22ABBC=36+36+36+2 36cos60 =144.所以 |PC|=12. 5.已知向量 a,b,c 两两之间的夹角都为60,其模都为 1,就|a-b+2c|等于 A.5B.5 C.6 D.6 解析 :a-b+2c2=a2+b2+4c 2-2ab+4ac-4bc=1+1+4-2cos60=5.所以 |

26、a-b+2c|=5.答案 :A - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 6.已知 i,j,k 是两两垂直的单位向量,a=2i-j+k,b=i+j-3k, 就 ab 等于 A.-2 B.-1 C. 1 D.2 SB2解析 :ab=2i-j+k i+j-3k=2i 2-j2-3k2=-2.答案 :A 7.已知在平行六面体ABCD ABC中 ,AB=4,AD=3,AA =5,BAD=90 , BAA =DAA=60 ,就 AC 等于 A.85 B.85C.52D.50 解析 :AC2ABADA A2|AB|2|AD| 2|A A|22 ABADABA AADA A

27、=50+210+7.5=85. 答案 :B 8.在四周体SABC 中,各棱长均为a,E,F 分别是 SC 和 AB 的中点 ,就异面直线 EF 与 SA 所成的角等于 A.90 B.60 C.45 D.30 解析 :选 SA、 SB、 SC 为基向量表示其他向量. EFESSF1SC1SA1SB,所以222EFSA1SCSA12 SA1SBSA|=1a 2,|EF|1SC1SA12222222=1SASBSC22a. 22所以 cosEF ,EA=1a2a2.所以EF,EA=4=45.答案 :C2a2229.已知 a,b 是夹角为 60的两单位向量 ,而 ca,cb,且|c|=3 ,x=2a-

28、b+c,y=3b-a-c, 就 cosx,y名师归纳总结 =_.解析 :由于 |x|=2 abc 26,|y|= 3 bac 2=10 , OC,OD9x y=2a-b+c 3b-a-c=9,所以 cos x,y=6210315.答案 :3152202010.已知 |OA|=5,|OB|=2, OA ,OB =60, OC =2 OA + OB ,OD = OA -2 OB ,就以第 13 页,共 17 页为邻边的OCED 的对角线 OE 的长为 _. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解析 :由于OEOCOD,所以OE2OCOD2 OAOB2 OA2

29、 OB 22 2= 3 OA OB 2 9 OA OB 6 OA OB =925+4-6 52cos60 = 199 . 所以 OE= 199 .答案 :199 11.已知线段 AB 的长度为 6 2 , AB 与直线 l 的正方向的夹角为 120,就 AB 在 l 上的射影的长度为 _；解析 : AB 在 l 上的射影的长度为 | AB |cos120 |=6 2 1=3 2 .答案 :3 2212.已知 |a|=3 2 ,|b|=4,m=a+b,n=a+a,b=135,m n,就 =_. 解析 :由 mn,得a+b a+ b=0,a 2+ab+ab+b 2=0, 18+ 3 2 4cos1

30、35 +3 2 4 cos135 +16 =0,4 +6=0, = 3.答案 : 32 213.设 ab,a,c = ,b,c = ,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,就向量 a+b+c 的模是 _. 3 6解析 :由于 |a+b+c| 2=a+b+c 2=|a| 2+|b| 2+|c| 2+2ab+ac+bc =1+4+9+20+1 31+233=17+6 3 ,所以 |a+b+c|= 17 6 3 .答案 : 17 6 32 214.在直二面角的棱上有两点 A,B,AC 和 BD 各在这个二面角的一个面内 ,并且都垂直于棱AB, 设 AB=8 cm,AC=6 cm,BD=24 cm,

31、求 CD 的长 . 解析 :作出符合题意的空间直观图 ,不难发觉 ABCD 为一空间四边形 ,由空间向量的加法运算法就 ,有 CD CA AB BD ,于是 CD 之长可求 . 答案 :如图 ,依题意有 AC,AB,BD 两两垂直 ,所以 CA AB =0, CA BD =0, AB BD =0. 所以 |CD | 2= CD CD = CA AB BD CA AB BD =|CA2 |AB|2|BD|2|=62+82+242=676.所以 CD=676 =26.15.如下列图 ,在正方体 ABCD A 1B1C1D1中,O 为 AC 与 BD 的交点 ,G 为CC1的中点 ,求证 :A1O平

32、面 GBD. 名师归纳总结 解析 :只要证明A1 O与面 GBD 内两个不共线向量垂直即可. 第 14 页,共 17 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 证明： 设A 1B 1=a,A 1D 1=b,A 1A 1=c,就 ab=0,b c=0,ac=0. 而 A1 O = A 1 A AO A 1 A 1 AB AD 2=c+ 1a+b, BD AD AB =b-a, 21 1 1 1OG OC CG AB AD CC 1 = a+b-c. 2 2 2 2所以 A1 O BD =c+ 1a+ 1b b-a=cb-a+ 1a+b b-a=cb-c a+

33、1b 2-a 2 2 2 2 2= 1|b| 2-|a| 2=0.所以 A1 O BD .所以 A1 O BD . 2同理可证 A1 O OG ,所以 A 1OOG.又由于 OG BD=O, 且 A 1O 面 GBD, 所以 A 1O面 GBD. 16.如下列图 ,正方形 ABCD 与正方形 ABEF 边长均为 1,且平面 ABCD 平面 ABEF, 点 M 在AC 上移动 ,点 N 在 BF 上移动 .如 CM=BN=a0a 2 . 1求 MN 的长度 ;2 当 a 为何值时 ,MN 的长最小 ; 名师归纳总结 3当 MN 长最小时 ,求平面 MNA 与平面 MNB 所成的二面角的大小 .

34、BF . a2第 15 页,共 17 页解析 :依据向量的基本运算,利用NMNFFAAM这一关系来求| NM2|,这是求长度问题的常见方法. 答案 :1AC=2 ,BF=2 ,CM=BN=a. AM =1-a AC , NF =1-a22NMNFFAAM=1-aBFFA+1-a AC22 BE=1-aBEBA FA+1-aABBC 22=1-aBEBA BE+1-aBABC=1-a BC +-a2222|NM|NM21aBCaBE2= 1a22a 1aBCBE1 222222- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - =a221 0a2. 222由1,知当 a=

35、2 时,| MN |的最小值为 22,即 M,N 分别为 AC,BF 的中点时 ,MN 长最小 ,2最小值为2. 23取 MN 中点 G,连结 AG,BG.由于 AM=AN,BM=BN, 所以 AG MN,BG MN. 所以 AGB 是二面角 的平面角 . 所以|AG|BG|6| .所以 cos =GB2 |GA|2|AB2 |1.42|GB|GA|=626211 3.=所以二面角 的大小为 arccos44663244课后总结1.数量积是数量 ,可以是正数 ,也可以是负数或零,它没有方向 ,可以比较大小 .a 与 b 的数量积名师归纳总结 - - - - - - -的几何意义是 :向量 a

36、的模 |a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosa,b的乘积 . 2. 利用两个向量的夹角为2,判定空间直线的垂直是向量在立体几何中的重要应用之一. 3. 依据空间两个向量的数量积的定义:ab=|a|b|cosa,b,那么空间两个向量a,b 的夹角的余弦cosa,b|ab|,这个公式可用来求空间两直线所成的角. a|b4. 在空间两个向量的数量积中,特殊地 aa=|a|a|cos0=|a|2,所以向量a 的模 |a|=a2,这个公第 16 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 式可用来求空间中线段的长度 .将其推广为 :|ab|= a b a 2 a b b 2 2; 2 2