2022年完整word版,八年级二次根式.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第五章 二次根式【学问网络】学问点一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式；注：在二次根式中,被开方数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必需留意：由于负数没有平方根,所以是为二次根式的前提条件,如,等是二次根式,而,等都不是二次根式；学问点二：取值范畴1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知,当a0 时,有意义,是二次根式,所以要使二次根式有意义,只要使被开方数大于或等于零即可；2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根,所以当 a 0 时,没有意义；学问点三：二次根式（）的非负性（）表示 a 的算术平方根,也就

2、是说,（）是一个非负数,即 0（）；注：由于二次根式（）表示 a 的算术平方根,而正数的算术平方根是正数,0 的算术平方根是 0,所以非负数（）的算术平方根是非负数,即 0（）,这个性质也就是非负数的算术平方根的性质,和肯定值、名师归纳总结 第 1 页,共 14 页 1 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 偶次方类似；这个性质在解答题目时应用较多,如如,就 a=0,b=0 ；如,就 a=0,b=0 ；如,就 a=0,b=0 ；学问点四：二次根式（） 的性质（）文字语言表达为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数；注：二次根式的性质公式,（）是逆用平

3、方根的定义得出的结论；上面的公式也可以反过来应用：如,就,如：. 学问点五：二次根式的性质文字语言表达为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的肯定值；注：1、化简时,肯定要弄明白被开方数的底数a 是正数仍是负数, 如是正数或 0,就等于 a本身,即与表示一个实数；如 a 是负数,就等于a 的相反数 -a, 即；a2、中的 a 的取值范畴可以是任意实数,即不论a 取何值,肯定有意义；3、化简时,先将它化成,再依据肯定值的意义来进行化简；学问点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的,表示一个正数a 的算术平方根的平方,而的平方的算术平方根；在中,而中 a 可以是正实数,0,负实数；但都是非

4、负数,即,；因而它的运算的结果是有差别的,而. 2、相同点：当被开方数都是非负数,即时,=；时,无意义,而学问点七：二次根式的运算1二次根式的乘除运算 1 运算结果应满意以下两个要求：应为最简二次根式或有理式；分母中不含根号 . 2 留意知道每一步运算的算理；3 乘法公式的推广：a 1a 2a 3L La na 1a 2a 3L La n a 10,a 20,a 30,L L,a n02二次根式的加减运算 先化为最简二次根式,再类比整式加减运算,明确二次根式加减运算的实质；3二次根式的混合运算 1 对二次根式的混合运算第一要明确运算的次序,即先乘方、开方,再乘除,最终算加减,如有括号,应先算括

5、 号里面的；2 二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有许多相像之处,整式、分式中的运算律、运算法就及乘法公式 在二次根式的混合运算中也同样适用 . 要点诠释：怎样快速精确地进行二次根式的混合运算 . 1. 明确运算次序,先算乘方,再算乘除,最终算加减,有括号先算括号里面的；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 14 页 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 2. 在二次根式的混合运算中,原先学过的运算律、运算法就及乘法公式仍旧适用；3. 在二次根式的混合运算中,如能结合题目特点,敏捷运用二次根式的性质,挑选恰当的解题途径,往往能收到事半功倍的成效 . 1

6、加法与乘法的混合运算,可分解为两个步骤完成,一是进行乘法运算,二是进行加法运算,使难点分散,易于懂得和把握 . 在运算过程中,对于各个根式不肯定要先化简,可以先乘除,进行约分,达到化简的目的,但最终结果一定要化简 . 例如 82 6,没有必要先对 8 进行化简,使运算繁琐,可以先依据乘法安排律进行乘法运算,27 2782 6 86 2 6 42 3,通过约分达到化简目的；27 27 32 多项式的乘法法就及乘法公式在二次根式的混合运算中同样适用 . 2 2如：3 2 3 2 3 2 1 ,利用了平方差公式 . 所以,在进行二次根式的混合运算时,借助乘法公式,会使运算简化 . 4分母有理化把分母

7、中的根号化去,分式的值不变,叫做分母有理化 式,就这两个代数式互为有理化因式 . 常用的二次根式的有理化因式：（1）a与a互为有理化因式；. 两个含有二次根式的代数式相乘,如它们的积不含二次根（2） aab与aab互为有理化因式；一般地ac b与ac b互为有理化因式；. b 与b互为有理化因式；一般地cadb 与 cadb互为有理化因式（3）专题总结及应用一、学问性专题专题 1 二次根式的最值问题【专题解读】涉及二次根式的最值问题,应依据题目的详细情形来打算应采纳的方法,不能一概而论,但一般情3的最小况下利用二次根式的非负性来求解. 例 1 当 x 取何值时,9x13的值最小？最小值是多少？

8、分析由二次根式的非负性可知9x10,即9x1的最小值为0,由于 3 是常数,所以9x1值为 3. 解：9x1 0,3. a 0（a0）. 9x133,当 9x+1=0,即x1时,9x133有最小值,最小值为9【解题策略】 解决此类问题肯定要娴熟把握二次根式的非负性,即专题 2 二次根式的化简及混合运算【专题解读】 对于二次根式的化简问题,可依据定义,也可以利用a2|a 这一性质,但应用性质时,要依据具体情形对有关字母的取值范畴进行争论. （）例 2 以下运算正确选项名师归纳总结 第 3 页,共 14 页 3 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 27 12

9、A. 8 2 2 B. 9 4 136 2C. 2+ 52-5 1 D. 3 2 2分析 依据详细选项,应先进行化简,再运算 . A 选项中,8 2 2 2 2 2,B 选如可化为 3 3 2 3 3,C 选项逆用平方差公式可求得（2 5）（ 2-5） = 4- 5= - 1,而 D 选项应将3 3分子、分母都乘 2 ,得6 2 23 2 -1 . 应选 A. 22006 2007例 3 运算 2 1 2 1 的结果是（）A. 1 B. -1 C. 2 1 D. 2 1分析 此题可逆用公式（ab）m=a mb m及平方差公式,将原式化为2006 2 1 2 1 2 1 2 1. 应选 D. 2

10、例 4 书知 y x 24 4 x 2 x x 8,求 x y y x 2 14 的值 . 2 x分析 此题主要利用二次根式的定义及非负性确定 x 的值,但要留意所得 x 的值应使分式有意义 . x 240,解：由二次根式的定义及分式性质,得 4 x 20 , x 2,2 x0,22 2 2 2 8 7y 2 4 4 2 ,2 2 27 7x y y x 2 14 2 2 2 142 27 714 2 2 14 2 14.2 2【解题策略】此题中所求字母 x 的取值必需使原代数式有意义 . 例 5 化简 4 a 212 a 9-4 a 2- 20 a 25（3 5）.2 23 5解：Q ,32

11、 a ,2 a-3 ,0 2 -5 ,2 2原式（2 a 3 22 a 5 2| 2 a 3| | 2 a 5 |2 a 3 2 a 5 4 a 8.2 a a0,【解题策略】此题应依据条件直接进行化简,主要应用性质 a | a |- a a0.例 6 已知实数, a, b,c 在数轴上的位置如图 21-8 所示,化简2 2 2| a | a c c a b . 图 21-8 解：由 a,b,c 在数轴上的位置可知：名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 14 页 4 精选学习资料 - - - - - - - - - c a 0, b0a c0, c a0,原式 | a | |

12、 a c | | c a | | b |a a c c a ba a c c a ba b .【解题策略】利用间接给出的或隐含的条件进行化简时,要充分挖掘题目中的隐含条件,再进行化简 . 例 7 化简 | x 1| x 24 x 4.解：原式 | x 1| x 2 2| x 1| | x 2|.令 x 1 0, x 2 0,得 x 1 1, x 2 2,于是实数集被分为 x-1, 2, x 三部分,当 -1 时,x 1 0, - 20,原式- x 1 - 2-3.当-1 时,x 1 0, - 2 .原式 x 1 x 2 2 x 1.当 时,x 1 0, x 20,原式 （x 1 x 2 3.3

13、 x1,原式 2 x 1 1 ,3 x2.规律 方法 对于无约束条件的化简问题需要分类争论,用这种方法解题分为以下步骤：第一,求出肯定值为零时未知数的值,这些未知数的值在数轴上的对应点称为零点；其次,以这些零点为分点,把数轴划分为如干部分,即把实数集划分为如干个集合,在每个集合中分别进行化简,简称“ 零点分区间法”. a,b例 8 已知ab3,ab12, 求baab的值.baa,b 的符号,此题中没明确告知,分析这是一道二次根式化简题,在化为最简二次根式的过程中,要留意的符号,但可从a+b=-3,ab=12 中分析得到 . 解： a+b=-3 ,ab=12, a0,b0. baabbabaab

14、2ab2 124 3. baba【解题策略】此题最简洁显现的错误就是不考虑a,b 的符号,把所求的式子化简,直接代入专题 3 利用二次根式比较大小、进行运算或化简2例 9 估量32 1+20 的运算结果应在（）2042 5 , 由 于456.25, 即2A. 6 到 7 之间B. 7 到 8 之间16C. 8 到 9 之间D. 9 到 10 之间分 析本 题 应 计 算 出 所 给 算 式 的 结 果 , 原 式52.5,所以 42 59. 应选 C. 第 5 页,共 14 页 5 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例10已知 m是13

15、的整数部分, n 是13 的小数部分,求mn的值 . mn解： 91316,9 13 16 ,即 313 4 13 的整数部分为3,即 m=3,13 的小数部分为13-3,即n=133,mn3（13 -3）6136 1313.mn3 1331313二、规律方法专题专题 4 配方法就a【专题解读】把被开方数配方,进而应用2 a=| | 化简 . 即找出 x,y xy0 ,使得 xy=b,x+y=a,例 11 化简52 6.解：52 6322 32 32222 32 322|32 |32.规律方法一般地, 对于a2b 型的根式, 可采纳观看法进行配方,2bxy2,于是a2bxy2xy ,从而使a2

16、b 得到化简 . 2ba2的值 . 例 12 如 a,b 为实数,且b=35 a5a315,试求bababab分析此题中依据b=35a5 a315可以求出a,b,对ba b2aa2的被开方数进行配方、化简. ab解：由二次根式的性质得35 a ,35 a0.a3.名师归纳总结 5 a3 0 ,5第 6 页,共 14 页 6 b15,ab0,ab0.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ba2ba2ab 2ab 2ab2或ab2的形式, 当它们作为被abab2ababababbaababababbaababab3152.2 bab .当a3,b15 时,原式

17、51555【解题策略】对于形如b+a b2 或ba2形式的代数式都要变为aababab开方式进行化简时,要留意ab和ab 以及ab 的符号.专题 5 换元法【专题解读】通过换元将根式的化简和运算问题转化为方程问题. 例 13 运算3535.解：令 x=3535 ,两边同时平方得：x2 35352,x2=（ 35 ）（ 35 ）+235 35 =10 Qx ,x10,即原式10.专题 6 代入法【专题解读】例 14 已知通过代入求代数式的值. 2 a b2400, ab25760, 求2 ab2 的值.解：由2 a b2400,ab25760,两式相除得b2.4 a,Q2 a b2400,2.4

18、 a32400,3 aa1000,a10,b2.4 1024,2b22 102 2467626.专题 7 约分法名师归纳总结 【专题解读】2通过约去分子和分母的公因式将其次次根式化简. 第 7 页,共 14 页 7 例 15 化简2361015.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：26232323xyyxyyx.1015（23）（231（253）2+52+52 .5252（52）52523x yyxxy.例 16 化简x2xyyxyxxyx解：原式xyxyxy2xyyxy三、思想方法专题专题 8 类比思想【专题解读】类比是依据两对象都具有一些相同或类

19、似的属性,并且其中一个对象仍具有另外某一些属性,从而推出另一对象也具有与该对象相同或相像的性质. 本章类比同类项的概念,得到同类二次根式的概念,即把二次根式化简成最简二次根式后,如被开方数相同,就这样的二次根式叫做同类二次根式 . 我们仍可以类比合并同类项去合并同类二次根式 . 例 17 运算 . （ ）3+2 3；（ ）18 2 12 2 3.解：（1）原式 =（1+2）3 =3 3 . （2）原式 =3 2 -2 +2 3 +2 3 =2 2 +4 3 . 【解题策略】对于二次根式的加减法,应先将各式化为最简二次根式,再类比合并同类项的方法去合同类二次根式 . 专题 9 转化思想【专题解读

20、】当问题比较复杂难于解决时,一般应实行转化思想,化繁为简,化难为易,本章在争论二次根式有意义的条件及一些化简求值问题时,常转化为不等式或分式等学问加以解决 . 例 18 函数 y= 2 x 4 中,自变量 x 的取值范畴是 . 分析 此题比较简洁,主要考查函数自变量的取值范畴的求法,此题中 2 x 4 是二次根式,所以被开方数 2x-40, 所以 x2. 故填 x 2. 例 19 如图 21-9 所示的是一个简洁的数值运算程序,如输入x 的值为3 ,就输出的数值为 . 图 21-9 分析此题比较简洁, 依据程序给定的运算次序将问题化为二次根式求值问题,易知图中所表示的代数式为x21,代入可知（

21、3 ）2-1=2. 故填 2. 专题 10 分类争论思想名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 14 页 8 精选学习资料 - - - - - - - - - 【专题解读】当遇到某些数学问题存在多种情形时,应进行分类争论 . 本意在运用公式 a 2| a 进行化简时,如字母的取值范畴不确定,应进行分类争论 . 例 20 如化简 |1 x | x 28 x 16 的结果为 2 x 5,就 x 的取值范畴是（）A. x 为任意实数 B. 1x4 C. x1 D. x4 分析 由题意可知 |1 x | | x 4| 2 x 5,由此可知 |1 x | x 1,且 | x 4 | 4

22、x ,由肯定值的意义可知x 1 0,且 4 x ,所以 1 ,即 x 的取值范畴是 1 4 . 应选 B. 2【解题策略】对 a 和| a| 形式的式子的化简都应分类争论 . 例 21 如图 21-10 所示的是一块长、宽、高分别为 7cm,5cm和 3cm的长方体木块,一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点 A 处,沿着长方体的表面爬到和顶点 A相对的顶点 B处吃食物,那么它要爬行的最短路径的长是多少？分析 这是一个求最短路径的问题,一个长方体有六个面,蚂蚁有三种不同的爬行方法,运算时要分类争论各种方法,进而确定正确方案 . 解：沿前、右两个面爬,路径长为 5 7 23 2153 cm. 沿前、上

23、两个面爬,路径长为 3 7 25 2125 cm. 图 21-10 沿左、上两个面爬,路径长为 3 5 27 2113 cm. 所以它要爬行的最短路径长为 113 cm. 规律 方法 沿表面从长方体的一个顶点爬到相对的顶点去,共有三个爬行路线,每个路线长分别是它爬行两个绽开图的对角线的长 . 二次根式单元测试题（一）判定题： （每道题1 分,共 5 分）第 9 页,共 14 页 9 12 2ab 2ab （）23 2 的倒数是3 2（）3 x21x1 2 （）4ab 、1a3b、2a是同类二次根式 （）xb358x,1 ,39x2都不是最简二次根式 （）（二）填空题： （每道题2 分,共 20

24、 分）6当 x_时,式子13有意义x7化简152102532712 a88aa21的有理化因式是_9当 1x4 时, |x4|x22 x1_10方程2 （x1） x 1 的解是 _名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 11已知 a、b、c 为正数, d 为负数,化简ab2 cd22 _）b）ab2 cd12比较大小：217_41313化简： 752 2000 752 2001_14如x1y30,就 x12 y3 2 _15x,y 分别为 811 的整数部分和小数部分,就（三）挑选题： （每道题 3 分,共 15 分）2xyy2_16已知x33

25、x2 xx3,就 （）（A）x0（ B）x 3（C）x 3（D） 3x0 17如 xy 0,就x 22xyy2x22xyy 2 （）（A）2x（B）2y（C） 2x（D） 2y18如 0x1,就x12 4x124等于 （xx（A）2（ B）2（ C） 2x（D）2xxx19化简a3 a0 得 （a（A）a（B）a（C）a（D）a）20当 a0,b0 时, a2ab b 可变形为 （A）ab2（B）ab2（C）ab2（D）a2（四）运算题： （每道题6 分,共 24 分）21（543112）（57332）；117；5422223（ a2n mabmn nm ） a2b 2nn ；mmm名师归纳总

26、结 - - - - - - -第 10 页,共 14 页 10 精选学习资料 - - - - - - - - - 24（a baab） （abbaab）（a b）bababab（五）求值： （每道题 7 分,共 14 分）25已知 x32,ya3x2,求2x 4yx3xy2x2y3的值1a2的值32322 x3y226.当 x1x22a2xx22 ax22 时,求2xx2 xx2 xa2六、 解答题：（每道题 8 分,共 16 分）27.运算（ 25 1）（1122131314 991100）y的值28. 如 x, y 为实数,且y14x4x1 求 2x2yx2yxyx（一）判定题： （每道题

27、1 分,共 5 分）1、【提示】2 2|2|2【答案】 x1但等式左边x 可取任何数【答案】2、【提示】1232（3 2）【答案】 3343、【提示】x21 |x1|,x1 2 x1（x 1）两式相等,必需 4、【提示】13 ab、2a化成最简二次根式后再判定【答案】第 11 页,共 14 页 11 3xb5、9x2是最简二次根式 【答案】 （二）填空题： （每道题2 分,共 20 分）6、【提示】x 何时有意义？ x0分式何时有意义？分母不等于零【答案】 x0 且 x 9名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 7、【答案】 2aa 【点评】留

28、意除法法就和积的算术平方根性质的运用a218、【提示】（aa21）（_） a22 a1 2aa21【答案】 a9、【提示】 x22x 1（）2,x1当 1x 4 时, x4,x1 是正数仍是负数？x4 是负数, x1 是正数【答案】 310、【提示】把方程整理成axb 的形式后, a、 b 分别是多少？21,21【答案】 x 322 1的大小11、【提示】c2d2|cd| cd【答案】ab cd【点评】ab ab2（ab0）,abc2d2（abcd）（abcd）12、【提示】 27 28 , 43 48 【答案】 【点评】先比较28 ,48 的大小,再比较1,1的大小,最终比较1与284828

29、4813、【提示】 752 2001 7 52 2000 （_） 752 （752 ）（ 7 52 ）？ 1 【答案】 752 【点评】留意在化简过程中运用幂的运算法就和平方差公式14、【答案】 40【点评】x 10,y 30当 x 1y 30 时, x10,y3015、【提示】311 4,_811 _ 4,5 由于 811 介于 4 与 5 之间,就其整数部分 x？小数部分 y？ x4,y 411 【答案】 5【点评】求二次根式的整数部分和小数部分时,先要对无理数进行估算在明确了二次根式的取值范畴后,其整数部分和小数部分就不难确定了（三）挑选题： （每道题 3 分,共 15 分）16、【答案

30、】 D【点评】此题考查积的算术平方根性质成立的条件,（A ）、（ C）不正确是由于只考虑了其中一个算术平方根的意义17、【提示】xy0,xy0, xy0x 22 xy y 2 x y 2|xy|yxx 22 xy y 2 x y 2 |xy| xy【答案】 C2【点评】此题考查二次根式的性质 a|a|18、【提示】 x1 24 x1 2, x1 2 4 x1 2又0x1,x x x xx1 0,x1 0【答案】 Dx x【点评】此题考查完全平方公式和二次根式的性质（A ）不正确是由于用性质时没有留意当 0x1 时, x1 0x3 2 219、【提示】aa aa a|a| a a a 【答案】

31、C20、【提示】a0, b0,a0, b0并且 a a 2, b b 2,ab a b 【答案】 C【点评】此题考查逆向运用公式 a 2a（a0）和完全平方公式留意（A ）、（ B）不正确是由于 a0,b0 时,a 、b 都没有意义（四）运算题： （每道题 6 分,共 24 分）21、【提示】将 5 3 看成一个整体,先用平方差公式,再用完全平方公式【解】原式 5 3 2 2 252 15 3262 15 22、【提示】先分别分母有理化,再合并同类二次根式【解】原式5 411411772377411 11 7 37 1第 12 页,共 14 页 12 161111923、【提示】先将除法转化为

32、乘法,再用乘法安排律绽开,最终合并同类二次根式【解】原式（a2n mabmn nm ）na12m2bnmm名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1nm1mnmn2mm ab ab b2mnmabnma2bnn11 aba12a2aab1b22 b2b224、【提示】此题应先将两个括号内的分式分别通分,然后分解因式并约分【解】原式aabbbabaaabbbabaab abab abba2aabababb2a2b2aabbababbabaabbababaab 【点评】此题假如先分母有理化,那么运算较烦琐（五）求值： （每道题 7 分,共 14 分）25、【提示】先将已知条件化简,再将分式化简最终将已知条件代入求值【解】x3 2 3 2 252 6 ,3 2y3 2 3 2 252 6 3 2xy10,xy4 6 , xy52 2 6