2022年完整word版,概率论与数理统计知识点总复习.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 随机大事和概率2、随机试验、随机大事及其运算（ 1）随机试验和随机大事第一节基本概念假如一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不止一个,但在进行一次试验之前却不能断言它显现哪个结果,就称这种试验为随机试验；试验的可能结果称为随机大事；（ 2）大事的关系与运算1、排列组合初步n 种方法关系：（1）排列组合公式假如大事 A 的组成部分也是大事B的组成部分,（A发生必有大事B 发生）：ABn P mmm .n.从 m个人中挑出 n 个人进行排列的可能数；假如同时有AB,BA,就称大事 A 与大事 B 等价,或称 A 等于 B：A=B；

2、A、B中至少有一个发生的大事：AB,或者 A+B；属于 A而不属于 B的部分所构成的大事,称为A与 B 的差,记为 A-B,也可表示为Cnn .m .n.从 m个人中挑出n 个人进行组合的可能数；A-AB或者AB,它表示 A发生而 B不发生的大事；mm 2 加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n A、B同时发生： AB,或者 AB； AB=.,就表示A 与 B 不行能同时发生,称事某件事由两种方法来完成,第一种方法可由m种方法完成, 其次种方法可由件 A 与大事 B 互不相容或者互斥；基本领件是互不相容的；来完成,就这件事可由m+n 种方法来完成；n 种方-A 称为大事A 的逆大事,或称A

3、的对立大事,记为A ；它表示 A 不发生的事3 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m n 件；互斥未必对立；某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由m 种方法完成,其次个步骤可由运算：法来完成,就这件事可由m n 种方法来完成；结合率： ABC=ABC A B C=A B C 4 一些常见排列安排率： AB C=ACB C A B C=ACBC 特殊排列相邻德摩根率：i1A ii1A iABAB,ABAB彼此隔开3、概率的定义和性质A 都有一个实数PA ,如满意下次序肯定和不行辨论 重复排列和非重复排列（有序）（ 1）概率的公理化定义 对立大事设为样本空间, A 为大事,对每一个大事 次序

4、问题列三个条件：1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1 0 PA 1,A , 有A i定义 设 A、B 是两个大事,且PA0 ,就称PAB为大事 A 发生条件下,大事B2 P =1 PA 3对于两两互不相容的大事A ,发生的条件概率,记为PB/AP AB；PA iPPAi1i1条件概率是概率的一种,全部概率的性质都适合于条件概率；常称为可列（完全）可加性；例如 P /B=1P B /A=1-PB/A 就称 PA 为大事 A 的概率；乘法公式：PABPA PB/A （2）古典概型（等可能概型）2Pm更一般地,对大事

5、A1, A2, An,如 PA1A2 An-1 0 ,就有PAn|A 1A2PA 1A 2AnP A 1 P A2|A 1 PA3|A 1A2 11,2n,An1 ；2 P1P21,Pnm1 n；（ 4）全概公式设大事B1 ,B2,Bn满意设任一大事 A ,它是由2,组成的,就有1B1 ,B2 ,Bn两两互不相容,PBi0i,12 ,n PA=12m =P1PnmA所包含的基本领件数ABiPA|B n；2i1,n基本领件总数就有PAPB1 PA|B 1 PB2 PA|B2 PBn4、五大公式（加法、减法、乘法、全概、贝叶斯）此公式即为全概率公式；（1）加法公式（ 5）贝叶斯公式PA+B=PA+

6、PB-PAB 设大事B ,B , ,B 及 A 满意当 PAB 0 时, PA+B=PA+PB （2）减法公式1B ,B2, ,B 两两互不相容,PBi0, i1,2, , n ,PA-B=PA-PAB n2Ai1Bi,PA 0,当 BA 时, PA-B=PA-PB 当 A= 时, P B =1- PB 就PB i/A nP B iP A/B i,i=1 ,2, n；（3）条件概率和乘法公式PBjP A/Bjj12 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 此公式即为贝叶斯公式；n 次试验是重复进行的,即A 发生的概率每次

7、均一样；A 发生与否是P B i ,（i 1, 2 , , n ）,通常叫先验概率；P Bn ）,通常称为后验概率；假如我们把 A 当作观看的“ 结果”i/A,（i1, 2 , ,每次试验是独立的,即每次试验A 发生与否与其他次试验B,B2, ,B n,而互不影响的；这种试验称为伯努利概型,或称为n 重伯努利试验；懂得为“ 缘由”,就贝叶斯公式反映了“ 因果” 的概率规律,并作出了“ 由果朔因”的推断；PA PB,就称大事 A 、 B 是相互独立的用p表示每次试验 A 发生的概率, 就 A 发生的概率为1pq,用Pnk表示 n5、大事的独立性和伯努利试验（1）两个大事的独立性重伯努利试验中A

8、显现k0kn次的概率,设大事 A 、 B 满意PABPn kCkpkqnk,k0 ,1,2 ,n；（这个性质不是想当然成立的）；P A0,就有n如大事 A 、 B 相互独立,且PB|APABPAPBP BPA PA所以这与我们所懂得的独立性是一样的；如大事 A 、B 相互独立, 就可得到 A 与 B 、 A 与 B 、 A 与 B 也都相互独立；（证明）由定义,我们可知必定大事 和不行能大事 . 与任何大事都相互独立； （证明）同时,. 与任何大事都互斥；随机变量及其分布第一节 基本概念在很多试验中,观看的对象经常是一个伴同取值的量；例如掷一颗骰子显现的点数,它本身就是一个数值,因此 PA 这

9、个函数可以看作是一般函数（定义域和值域都是数字, 数字到数字） ；但是观看硬币显现正面仍是反面,就不能简洁懂得为一般函数；但我们可以通过下面的方法使它与数值联系起来；当显现正面时,规定其对应数为（2）多个大事的独立性 设 ABC是三个大事,假如满意两两独立的条件,PAB=PAPB ； PBC=PBPC ； PCA=PCPA “ 1” ；而显现反面时,规定其对应数为“0” ；于是XX1,当正面显现0,当反面显现并且同时满意PABC=PAPBPC 那么 A、B、C 相互独立；对于 n 个大事类似；两两互斥相互互斥；两两独立相互独立？（3）伯努利试验称 X 为随机变量； 又由于 X 是随着试验结果

10、（基本领件）不同而变化的, 所以 X实际上是基本领件的函数, 即 X=X ；同时大事 A 包含了肯定量的（例如古典概型中 A 包含了1,2, m,共 m个基本领件）,于是 PA 可以由 PX 来计算,这是一个一般函数；定义设试验的样本空间为,假如对中每个大事都有唯独的实数值X=X 定义我们作了n次试验,且满意与之对应,就称 X=X 为随机变量,简记为 X ；有了随机变量, 就可以通过它来描述随机试验中的各种大事,能全面反映试验的每次试验只有两种可能结果,A发生或A不发生；3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 情形；

11、 这就使得我们对随机现象的争论,从前一章大事与大事的概率的争论,扩大到P aXbFbFa可以得到X 落入区间a,b的概率；也就对随机变量的争论,这样数学分析的方法也可用来争论随机现象了；一个随机变量所可能取到的值只有有限个（如掷骰子显现的点数）或可列无穷多是说,分布函数完整地描述了随机变量X 随机取值的统计规律性；个（如电话交换台接到的呼吁次数）,就称为离散型随机变量；像弹着点到目标的距离这样的随机变量,它的取值连续地布满了一个区间,这称为连续型随机变量；1、随机变量的分布函数（1）离散型随机变量的分布率分布函数Fx是一个一般的函数,它表示随机变量落入区间（, x 内的概率；设离散型随机变量X

12、 的可能取值为Xkk=1,2, 且取各个值的概率,即大事Fx的图形是阶梯图形,x1x2,是第一类间断点, 随机变量 X 在xk处的X=Xk 的概率为 PX=xk =p k,k=1,2, ,概率就是Fx在x 处的跃度；就称上式为离散型随机变量X 的概率分布或分布律；有时也用分布列的形式给分布函数具有如下性质：出：PXXxk|x1 ,x2,x k,；10Fx,1x；p1 ,p2,pk,明显分布律应满意以下条件：2Fx是单调不减的函数,即x 1x2时,有Fx1 Fx2；（1）p k0,k,12,pk13Flim xFx 0,Flim xFx1；（2）k1；4Fx0 Fx ,即Fx 是右连续的；（2）

13、分布函数对于非离散型随机变量,通常有PXx0,不行能用分布率表达；例如5PXxFxFx0 ；日光灯管的寿命 X ,P X0x0；所以我们考虑用 X 落在某个区间a,b内（ 3）连续型随机变量的密度函数的概率表示；定义 设Fx 是随机变量 X 的分布函数,如存在非负函数fx,对任意实数 x ,定义设 X 为随机变量, x 是任意实数,就函数有Fxxfx dx,FxPXx称为随机变量X 的分布函数；就称 X 为连续型随机变量；fx 称为 X 的概率密度函数或密度函数,简称概率4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 密度；

14、fx的图形是一条曲线,称为密度（分布）曲线；对于连续型随机变量X ,虽然有PXx0,但大事Xx并非是不行能由上式可知,连续型随机变量的分布函数Fx 是连续函数；2大事 . ；所以,xhF P x X 2 x F x 1 P xXxh xfx dxP x 1Xx2Px 1Xx2Px 1Xx 2Px1Xx密度函数具有下面4 个性质：令h0,就右端为零,而概率PXx0,故得P Xx0；1fx0；不行能大事（ . ）的概率为零,而概率为零的大事不肯定是不行能大事；同理,必定大事（ ）的概率为1,而概率为1 的大事也不肯定是必定大事；2fx dx1；2、常见分布 01 分布Ffx dx1的几何意义；在横

15、轴上面、密度曲线下面的全部面积PX=1=p, PX=0=q 等于 1；二项分布假如一个函数fx 满意 1 、2,就它肯定是某个随机变量的密度函数；在 n 重贝努里试验中,设大事A发生的概率为p；大事A发生的次数是随机变量,x 23Px 1Xx2Fx2Fx 1fxdx；设为 X ,就 X 可能取值为0 ,1,2,n；x 14如fx 在x处连续,就有Fxfx；P XkP nkCkpkqnk,其中nP xXxdxfxdxq1p ,0p,1k0,1,2 ,n,它在连续型随机变量理论中所起的作用与PXx kp k在离散型随机变量理就称随机变量 X 听从参数为 n , p 的二项分布；记为XBn,p；论中

16、所起的作用相类似；PXk |qn,npqn1,C2p2qn2,Ckk pqnk,pnE,APA, 古典概型,五大公式,独立性Xnn简洁验证,满意离散型分布率的条件；XXxFxPXx 当n1 时,P Xkpkq1k,k.01,这就是（ 0-1 ）分布,所以（ 0-1 ）5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 分布是二项分布的特例；就称随机变量 X 在a ,b 上听从匀称分布,记为XUa, b；泊松分布分布函数为设随机变量 X 的分布律为0,xb；当 a x1x2b 时, X 落在区间（x 1,x2）内的概率为泊松分布为

17、二项分布的极限分布（np= ,n）；Px 1Xx2x 2fxdxx 2b1adxx2如飞机被击中的子弹数、来到公共汽车站的乘客数、机床发生故障的次数、自动掌握x 1x 1ba系统中元件损坏的个数、某商店中来到的顾客人数等,均近似地听从泊松分布；指数分布超几何分布设随机变量X 的密度函数为P XkCk M.Cnk,k0 ,1,2,lfxex,x0, NMlminMn n1 .Cn N0, x0, 随机变量 X听从参数为n,N,M 的超几何分布；几何分布其中0 ,就称随机变量X 听从参数为的指数分布；P Xkqk1p,k1 2,3, ,其中 p 0,q=1-p ；X 的分布函数为1ex,x0, 随

18、机变量 X听从参数为p 的几何分布；匀称分布Fx0,设随机变量 X 的值只落在 a ,b 内,其密度函数fx在 a ,b 上为常数 k,即x0 ；记住几个积分：fxk,a xbxexdx,1x2exdx2 ,xn1exdx0 ,其他,000其中 k=b1a,x1exdx,1 06 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 正态分布、的正态分布或x1xet2dt；x是不行求积函数, 其函数值, 已编制成表可供查用；2设随机变量 X 的密度函数为2fx 1ex2,x, x 和 x 的性质如下：221 x 是偶函数, x -x

19、；22当 x=0 时, x 1为最大值；其中、0 为常数,就称随机变量X 听从参数为2高斯（ Gauss）分布,记为XN,2；3 -x 1- x 且 0 1 ；201,；fx具有如下性质：1fx的图形是关于x对称的；ox 轴平行移动,假如 X N,2,就XN2当x时,f1为最大值；所以我们可以通过变换将Fx的运算转化为x的运算,而x的值是可以2通过查表得到的；3fx以 ox 轴为渐近线；P x 1Xx2x2x 1；特殊当固定、转变时,fx的图形外形不变,只是集体沿所以又称为位置参数；当固定、转变时,fx的图形外形要发生变化,随分位数的定义；3、随机变量函数的分布变大,fx图形的外形变得平整,所

20、以又称为外形参数；如XN,2,就 X 的分布函数为随机变量 Y是随机变量 X 的函数YgX,如 X 的分布函数F Xx或密度函Fx 1xet2dt；数f Xx知道,就如何求出Yg X的分布函数FY y 或密度函数f Y y；222（ 1） X 是离散型随机变量 已知 X 的分布列为参数0 、1时的正态分布称为标准正态分布,记为X N01, ,其密度函数记为PXx ix1 ,x2,x n,x1ex2,x,2Xp 1 ,p2 ,p n,2分布函数为明显,YgX的取值只可能是gx1 ,gx2 ,gxn,如gix互不相等,就 Y 的分布列如下：7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共

21、 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - P YYyigx 1,gx2,gx n,x1p11p12p1jp1p1,p2,p n,x2p21p22p2jp2如有某些gix相等,就应将对应的iP 相加作为gix的概率；xipi1pi（2） X 是连续型随机变量先利用 X 的概率密度 f Xx 写出 Y 的分布函数 FYy ,再利用变上下限积分的求导公式求出 f Yy ；二维随机变量及其分布p jp 1p 2p j1 第一节基本概念这里 pij 具有下面两个性质：1、二维随机变量的基本概念（1）二维离散型随机变量联合概率分布及边缘分布（ 1）pij 0（ i,j=1,2, ）；（

22、2）pij.1假如二维随机向量（ X,Y）的全部可能取值为至多可列个有序对（x,y ）时,就称ij对于随机向量（ X,Y）,称其重量X（或 Y）的分布为（ X,Y）的关于 X（或 Y）的边缘分布；上表中的最终一列（或行）给出了X 为离散型,并且其联合分布律为为离散型随机量；懂得： （ X=x,Y=y）（ X=xY=y）P X,Yx i,yjpiji,j,12,设= （ X, Y ） 的 所 有 可 能 取 值 为xi,yji,j,12 , 且 事 件就 X 的边缘分布为P i.P Xx ipiji,j,1 ,2；j=xi,yj 的概率为 pij, , 称Y 的边缘分布为P . iP Yyiip

23、iji,j1 2,；P X,Yxi,yjpiji,j1 2,（ 2）二维连续型随机向量联合分布密度及边缘分布为=（X,Y）的分布律或称为X 和 Y 的联合分布律；联合分布有时也用下面的概率对于二维随机向量X,Y,如果存在非负函数分布表来表示：fx,yx,y,使对任意一个其邻边分别平行于坐标X Y y1y2yjpi 轴的矩形区域D,即 D=X,Y|axb,cyx1时,有 F（x2,y ） Fx 1,y;当 y 2y1时,有 Fx,y2 Fx,y1; （ 3）F（ x,y ）分别对 x 和 y 是右连续的,即设随机向量（ X, Y）的分布密度函数为Fx,yFx0,y,Fx ,yFx,y0;fx,y

24、21112e2 112x1122x1y2y222,12（ 4）F,F,yFx ,0 ,F,1.22、随机变量的独立性（ 1）一般型随机变量其中1,2,10,20|,|1,共 5 个参数,就称（ X,Y）听从二维正态分布,FX,Y=FXxFYy 记为（ X,Y） N（1,22,2,.12（ 2）离散型随机变量由边缘密度的运算公式,可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布,反推pijpi.p.j就错；即 X N（1,2,YN2,2.例 35：二维随机向量 （ X,Y）共有六个取正概率的点,它们是：（ 1,-1 ）,（ 2,-1 ）,12（ 2,0）,2, 2）,（3, 1）,（3,2）,并且

25、（ X,Y）取得它们的概率相同,就（X, Y）的联合分布及边缘分布为10 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - Y -1 0 1 2 p1fx,y21112e2112x1122x1y2y222,X 10 0 0 1121 22 610 16 =0 113 66162（ 5）随机变量函数的独立性0 0 11如 X 与 Y 独立, h,g 为连续函数,就：h（ X）和 g（Y）独立；pj11663例如：如 X与 Y独立,就： 3X+1 和 5Y-2 独立；111 36633、简洁函数的分布（3）连续型随机变量fx,y=fXxfYy 两个随机变量的和Z=X+Y fx,y=fXxfYy 离散型：联合分布边缘分布连续型直接判定,充要条件：fZz fx ,zx dx可分别变量正概率密度区间为矩形例 3 6：如图 3.1 ,fx,y=8xy, fXx=4x3, fYy=4y-4y3,不独立；两个独立的正态分布的和仍为正态分布（12,22）；例 3 7：fx,y=Axy20,x2 0,y1120 ,其他2、随机变量的独立性例 3 17：设（ X, Y）的联合分布密度为（4）二维正态分布fx,yCxy,0yx,1（ 1）