2022年实数典型例题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载实数典型问题精析（培优）例 1（20XX 年乌鲁木齐市中考题）2 的相反数是（）实数 a 的相反数A2B2C2D2 22分析： 此题考查实数的概念相反数,要留意相反数与倒数的区分,是-a,选 A. 要谨防将相反数误认为倒数,错选D. 例 2（20XX 年江苏省中考题）下面是按肯定规律排列的一列数：第 1 个数：1 1 1；第 2 个数：11 11 1 21 1 3；2 2 3 2 3 42 3 4 5第 3 个数：1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1；4 2 3 4 5 62 3 2 n 1 第 n 个数：1 1 1 1

2、 1 1 1 1 1n 1 2 3 4 2 n那么,在第 10 个数、第 11 个数、第 12 个数、第 13 个数中,最大的数是（A ）A第 10 个数 B第 11 个数 C第 12 个数 D第 13 个数解析：很多考生对此题不选或乱选,究其缘由是被复杂的运算式子吓住了,不善于从复杂的式子中查找出规律,应用规律来作出正确的判定.也有一些考生尽管做对了,但是通过写出第 10 个数、第 11 个数、第 12 个数、第 13 个数的结果后比较而得出答案的,费时费劲,影响了后面试题的解答,造成了隐性失分.此题貌似复杂,其实只要认真观看,就会发觉,从其次个数开头,减数中的因数是成对增加的,且增加的每一

3、对数都是互为倒数,所以这些数的减数都是 1 ,只要比较被减数即可,即比较 1、1、1、1 的大小,答案一目了然 . 2 11 12 13 14例 3（荆门市）定义 a ba 2b,就 1 2 3 . 解 由于 a ba 2b,所以 1 2 31 22 31 31 23 2.故应填上 2. 说明：求解新定义的运算时肯定要弄清晰定义的含义,留意新定义的运算符号与有理数运算符号之间的关系,准时地将新定义的运算符号转化成有理数的运算符号 . 例 4（河北省）古希腊闻名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、 ,这样的数称为 “三角形数 ”,名师归纳总结 而把 1、4、9、16、 ,这样的数称为“ 正方形数

4、 ” .从如下列图中可以发觉,任何一个大于1第 1 页,共 17 页的“ 正方形数 ”都可以看作两个相邻“ 三角形数 ” 之和 .以下等式中,符合这一规律的是（）A.133+10B.259+16C.3615+21D.49 18+31 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载4=1+3 9=3+6 16=6+10 解 由于 15 和 21 是相邻的两个 “三角形数 ”,且和又是 36,刚好符合 “正方形数 ”,所以36 15+21 符合题意,故应选 C.（说明 此题简洁错选 B,事实上, 25 虽然是 “ 正方形数 ”,而 9 和 16 也是

5、 “正方形数 ”,并不是两个相邻“三角形数 ”）. 例 5（20XX 年荆门市中考题）如 x 1 1 x x y 2,就 xy 的值为（）A 1 B 1 C2 D3 2分析：由于 x-10,1-x 0,所以 x1,x 1,即 x1.而由 x 1 1 x x y ,有 1+y 0,所以 y-1,xy1-（1） 2. 例 6（20XX 年宜宾市中考题）已知数据：1,2 ,3 , , 2其中无理数显现3的频率为 名师归纳总结 A20 B40 C60 D80第 2 页,共 17 页分析：,2 和3 开方开不尽的数,所以2 和3 都是无理数； 是无限不循环小数,也是无理数；而1 ,-2 都是有理数,所以

6、无理数显现的频率为 33 0.6 60,选 C5例 7 为了求12 22322022的值,可令S1223 22022 2,就2S22234 222022, 因 此2S-S 220221, 所 以122232022 2220221仿照以上推理运算出15525352022的值是（）A520221B.520221C.520221D.52022144解析：此题通过阅读懂得的形式介绍明白决一类有理数运算问题的方法,利用例题介绍的方法,有：设S15525352022,就 5S5523 55202252022,因此 5S-S52022-1 ,所以 S520221,选 D. 4说明：你能从中得到解决这类问题的

7、一般性规律吗？试一试. 例 8（20XX 年枣庄市中考题） a 是不为 1 的有理数, 我们把11a称为 a 的差倒数如：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 的差倒数是1121优秀教案1欢迎下载a 11,a 是1a 的差倒数,a3, 1的差倒数是11 2已知3 1是a 的差倒数,a 是a 的差倒数, ,依此类推,就a 20223再应用规律解析： 第一要懂得差倒数的概念,再依据要求写出一列数,从中找出规律,来解决问题.依据题意可得到：a 11,a 111）33,a 11 4,a 3（441 1, ,可见这是一个无限循环的数列,其循环周期为1 4 3所以

8、 a2022 与 a2 相同,即 a 2022 34典型例题的探究3,而 2022669 3+2,名师归纳总结 （利用概念） 例 3. 已知： Ma b2a8是 a8的算术数平方根,N2ab4b3是第 3 页,共 17 页b3 立方根,求MN 的平方根；3分析：由算术平方根及立方根的意义可知a80ab221,2ab432联立 解方程组,得：a1,ba 知代入已知条件得：M9,N30,所以 MN930303故 MN的平方根是3 ；练习： 1. 已知x2y3,34x3y2,求 xy的算术平方根与立方根；2. 如一个正数a 的两个平方根分别为x1和 x3 ,求 a2005 的值；（大小比较）例4.

9、比较 a、1、a的大小；a分析：要比较 a、1、a的大小,必需搞清a 的取值范畴,由1知 a0,由aaa0,综合得 a0 ,此时仍无法比较,为此可将a 的取值分别为0a1； a1； a1三种情形进行争论, 各个击破；当 0a1时,取 a001,就1 a100、a01 . ,明显有1 aaa当 a1时, a1a,当 a1时,仿取特别值可得aa1aa例 5. 已知有理数a 满意 2004aa2005a ,求 a2004 2 的值；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 分析：观看表达式a优秀教案欢迎下载a20050,亦2005 中的隐含条件,被开方数应为非负数即

10、即 a2005,故原已知式可化为：ma20052004a2005x20042a2004220052004aa2005a练习：如 x、y、m 适合关系式x2005y2005y,试求 m 的值；3x5 y3m2x3 y（思路：x-2005+y 与 2005-x-y 互为相反数, 且均有算术平方根, 故二者分别为 0）（规律探究）例6. 借助运算器运算以下各题：222 （4）111111112222（1）112 （2）111122 （3）111111认真观看上面几道题及其运算结果,你能发觉什么规律？你能说明这一规律吗？分析：利用运算器运算得：（1）11 2 3,（2）1111 22 33（3）111

11、111 222 333 ,（4）11111111 2222 3333观看上述各式的结果,简洁猜想其中的规律为：2n个 1 与 n 个 2 组成的数的差的算术平方根等于 n 个 3 组成的数；即 111 222 3332 n 个 1 n 个 2 n 个 3实数思想方法小结实数是整个数学学科的基础,对于初学者来讲,有些概念比较抽象、难懂,但是,如果我们运用数学的思想方法来指导本章的学习,却会收到良好的成效那么, 在本章中有哪些重要思想方法呢？一、估算思想估算才能是一种重要的数学思维方法,估算思想就是在处理问题时,采纳估算的方法达到问题解决的目的,在遇到无理数的大小比较或确定无理数的范畴等问题时,常

12、用到估算的方法进行解决；名师归纳总结 例 1 估量101 的值是（）第 4 页,共 17 页（A）在 2 和 3 之间（B）在 3 和 4 之间（C）在 4 和 5 之间（D）在 5 和 6 之间分析 ：此题主要考查同学的估算才能,第一要确定10的取值范畴,在估算101 的取值范畴；由于910 16,所以9 1016 ,即 310 4,410+15,从而可确- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 定101 的取值范畴；优秀教案欢迎下载解： 选 C. 二、数形结合思想所谓数形结合就是抓住数与形之间本质上的联系,起来的一种方法；通过“ 以形助数” 或“ 以数解形

13、”将抽象的数学语言与直观的图形结合,使复杂问题简洁化、抽象问题详细化,从而达到优化解题的目的；在数轴上表示实数,依据数轴上的数进行有关的运算等都能表达数形结合思想的重要作用；例 2 如图 1,数轴上点 A 表示2 ,点 A关于原点的对称点为0B ,设点 B 所表示的数为x ,求x202x 的值2x 的值,需要先依据数轴分析： 此题是与数轴有关的数形结合的问题,要求x2解：确定 x 的值,由数轴易得x2从而可求出代数式的值；点 A表示的数是2 ,且点 B 与点 A关于原点对称,点 B 表示的数是2 ,即x2x202x22022121三、分类思想所谓分类争论思想就是依据肯定的标准,把争论对象分成为

14、数不多的几个部分或几种情况,然后逐个加以解决,最终予以总结做出结论的思想方法；依据不同的标准,实数会有一些不同的分类方法；例 3 在所给的数据 :22,35 ,1,0, . 57 ,0.585885888588885 相邻两个 5 之间 8 的个数逐3次增加 1 个其中无理数个数 . A2 个B3 C4 个D5 个解析：作此类题需要把握实数的分类.判定一个数是哪类数,可以化简后再判定,但是对于名师归纳总结 代数式分类判定,就不能化简后再判定,如x2是分式,对于数、式分类时,常用策略是：第 5 页,共 17 页x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - “ 数看

15、结果,式看形式”.22优秀教案；3欢迎下载35；明显22、1 、0.57都是有理 3425数;所以无理数的个数为 3.选B. 说明理由如下：11122211110n11122211110n11111110n12n个 1n个2n 个1n 个1n个2n 个1n个1n个 191112333n个1n 个3平方根典例分析平方根是学习实数的预备学问,是以后学习一元二次方程等学问的必备基础,也是中考的必考内容之一 . 现以几道典型题目为例谈谈平方根问题的解法,供同学们学习时参考 . 一、基此题型例 1求以下各数的算术平方根. （1） 64 ；（2）3 2；（3）1 1549分析：依据算术平方根的定义,求一个

16、数 a 的算术平方根可转化为求一个数的平方等于a 的运算,更详细地说,就是找出平方后等于a 的正数 .3；解：（1）由于8264,所以 64 的算术平方根是8 ,即648；（2）由于3 2329,所以3 2的算术平方根是3,即3 2（3）由于11564,又8264,所以115的算术平方根是8 ,即 71158.497494974949点评：这类问题应按算术平方根的定义去求.要留意3 2的算术平方根是3,而不是 3.另外,当这个数是带分数时,应先化为假分数,然后再求其算术平方根,不要显现类似名师归纳总结 11614的错误 . . 你会解吗？请试一试. . 第 6 页,共 17 页497想一想：假

17、如把例1 改为：求以下各数的平方根例 2 求以下各式的值；（4）4 2（1）81 ；（ 2）16 ；（3）925- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 分析： 优秀教案欢迎下载16 表示 16的负平81 表示 81的平方根,故其结果是一对互为相反数；方根,故其结果是负数；9 表示 9 的算术平方根, 故其结果是正数； 4 2 表示 4 225 25的算术平方根,故其结果必为正数 . 解：（1）由于 9 2 81,所以81 = 9. （2）由于 4 2 16,所以16 4 . 2（3）由于 3= 9 ,所以 9 = 3 . 5 25 25 52 2 2（4）由

18、于 4 4 ,所以 4 4 . 点评： 弄清与平方根有关的三种符号a、a、a的意义是解决这类问题的关键. a 表示非负数a的平方根 . a 表示非负数 a 的算术平方根,a 表示非负数 a 的负平方根 .留意 a a . 在详细解题时,符与“” 的前面是什么符号,其运算结果也就是什么符号,既不能漏掉,也不能多添 . 例 3 如数 m 的平方根是 2a 3 和 a 12,求 m 的值 . 分析： 因负数没有平方根,故 m 必为非负数,故此题应分两种情形来解 . 解： 由于负数没有平方根,故 m 必为非负数 . （1）当 m 为正数时, 其平方根互为相反数,故（2a 3）+（a 12）=0 ,解得

19、 a 3,故 2a 3 = 2 3 3 9,a 12 3 12 9,从而 a 9 2 81 . （2）当 m 为 0 时,其平方根仍是 0 ,故 2a 3 0 且 3a 43 0,此时两方程联立无解. 综上所述, m 的值是 81. 二、创新题型名师归纳总结 例 4先阅读所给材料,再解答以下问题：如x1与1x同时成立,就x 的值应第 7 页,共 17 页是多少？有下面的解题过程：x1和1x都是算术平方根,故两者的被开方数x1 1,x都是非负数 ,而x1和1x是互为相反数 . 两个非负数互为相反数,只有一种情形成立,那就是它们都等于0,即x1=0,1x=0,故x1 . - - - - - - -

20、精选学习资料 - - - - - - - - - 问题：已知y12x2x优秀教案,求欢迎下载12y x 的值 .解 ： 由 阅 读 材 料 提 供 的 信 息 , 可 得 2x 1 ,0 故 x 1. 进 而 可 得 y 2 . 故22y 1 1x = . 2 4点评：这是一道阅读懂得题 .解这类问题第一要认真阅读题目所给的材料,总结出正确的结论,然后用所得的结论解决问题 .（穿墙术） 例 5 请你认真观看下面各个式子,然后依据你发觉的规律写出第、个式子 . 16 1 16 1 4 2 1 4 2 1 4 4； 32 2 16 2 4 2 2 4 2 2 4 4 2； 48 3 16 3 4

21、2 3 4 2 3 4 4 3 . 分析： 要写出第、 个式子,就要知道它们的被开方数分别是什么,为此应认真观看所给式子的特点. 通过观看, 发觉前面三个式子的被开方数分别是序数乘以416 得到的, 故第、个式子的被开方数应当分别是64 和 80. 5. 解： 64416442442248；8051654254254254点评 ：这是一个探究性问题,也是一道进展数感的好题,它主要考查观看、归纳、概括的才能 解这类题需留意分析题目所给的每个式子的特点,然后从特别的例子,推广到一般的结论,这是数学中常用的方法,同学们应多多体会,好好把握！平方根概念解题的几个技巧名师归纳总结 平方根在解题中有着重要

22、的应用.同学们想必已经知到.但是 ,今日要告知同学们的是它的几第 8 页,共 17 页个奇妙的应用 .期望对大家的学习有所帮忙. 一、巧用被开方数的非负性求值. 大家知道,当a0 时, a 的平方根是a ,即 a 是非负数 . 例 1、如2xx2y6,求 yx的立方根 . 分析认真观看此题可以发觉被开方数为非负数,即 2 x0, 得 x 2;x 20, 得 x 2;进一步可得x=2. 从而可求出y=6. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解2x0, x2优秀教案欢迎下载x = 62=36. x=2; 当 x=2 时,y= 6. yx20x2所以 y x

23、 的立方根为 3 36 . 二、巧用正数的两平方根是互为相反数求值 . 我们知道,当 a0 时, a 的平方根是a ,而 a a 0 .例 2、已知：一个正数的平方根是 2a1 与 2a,求 a 的平方的相反数的立方根 . 分析 由正数的两平方根互为相反得 :2a 1+2 a=0, 从而可求出 a=1, 问题就解决了 . 解2a1 与 2a 是一正数的平方根 , 2a 1+2 a=0, a= 1. a 的平方的相反数的立方根是 3 1 1 .三、巧用算术平方根的最小值求值 . 我们已经知道 a 0 , 即 a=0 时其值最小 , 换句话说 a 的最小值是零 . 例 3、已知： y= a 2 3

24、 b 1 , 当 a、b 取不同的值时,y 也有不同的值 . 当 y 最小时, 求 b a 的非算术平方根 . （即负的平方根 ）名师归纳总结 分析 y=a23 b1, 要 y 最小,就是要a2和3 b1最小,第 9 页,共 17 页而a20,3 b1 0,明显是a2=0 和3 b1=0,可得 a=2,b= 1. 解a20,3 b1 0,y=a23b1,a2=0 和3 b1=0时, y 最小 . 由a2=0 和3 b1=0,可得 a=2,b= 1. 所以 b a 的非算术平方根 是11 .四、巧用平方根定义解方程. 我们已经定义 : 假如 x2=a （ a0）那么 x 就叫 a 的平方根 .

25、如从方程的角度观看, 这里的 x 实际是方程x2=a （a0）的根 . 例 4、解方程（ x+1）2=36. 分析把 x+1 看着是 36 的平方根即可 . 解（ x+1）2=36 x+1 看着是 36 的平方根 . x+1= 6. x 1=5 , x2= 7. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案欢迎下载.你能否解27x+13=64例 4 实际上用平方根的定义解了一元二次方程后来要学的方程这个方程呢 .不妨试一试 . 利用平方根的定义及性质解题假如一个数的平方等于a（a0）,那么这个数是a 的平方根 依据这个概念,我们可以解决一些和平方根有关的

26、问题（例 1 与例 2 区分）例 1 已知一个数的平方根是2a1 和 a11,求这个数 分析： 依据平方根的性质知：一个正数的平方根有两个,它们互为相反数互为相反数的两个数的和为零解：由 2a 1+a 11=0,得 a=4,所以 2a1=2 41=7所以这个数为72=492=441; 例 2 已知 2a1 和 a11 是一个数的平方根,求这个数 分析：依据平方根的定义,可知2a1 和 a11 相等或互为相反数21当 2a1=a11 时, a=10,所以 2a1=21,这时所求得数为当 2a1+a11=0 时,a=4,所以 2a1=7,这时所求得数为7 2=49. 综上可知所求的数为49 或 4

27、41. （区分：类似 3 是 9 的平方根,但 9 的平方根不是 3,是+3、-3.）例 3 已知 2x1 的平方根是 6,2x+y1 的平方根是 5,求 2x3y+11 的平方根 . 分析 :由于 2x1 的平方根是 6,所以 2x1=36,所以 2x=37; 由于 2x+y 1 的平方根是 5,所以 2x+y 1=25,所以 y=262x=11, 所以 2x3y+11=37311+11=81, 由于 81 的平方根为 9,所以 2x3y+11 的平方根为 9. 例 4 如 2m4 与 3m1 是同一个数的平方根,就 m 为（）（A） 3 （B）1 （C） 3 或 1 （D） 1 分析：此题

28、分为两种情形：（1）可能这个平方相等,即 2m4=3m1,此时, m= 3；（2）一个数的平方根有两个,以选（ C）练一练 : 它们互为相反数, 所以（2m4）+（3m1）=0,解得 m=1所名师归纳总结 1.已知 x 的平方根是2a13 和 3a 2,求 x 的值 . 第 10 页,共 17 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载2. 已知 2a13 和 3a2 是 x 的平方根 ,求 x 的值3.已知 x+2y=10,4x+3y=15, 求 x+y 的平方根 . 答案 :1.49;2. 49 或 1225; 3. 5 . 从被开方数

29、入手二次根式中被开方数的非负性,常常是求解二次根式问题的重要隐含条件；从被开方数入手,将会使很多问题迎刃而解；一、确定二次根式有意义例 1.以下各式中肯定是二次根式的是（）A. B. C. D.分析：二次根式的两个基本特点是带二次根号“” ,被开方数必为非负数；A 中被开方数为负数； B 中不带 “” ,而是 “”；D 中被开方数的正负无法确定；所以 A 、B、D 都不是或不肯定是二次根式；只有 C 中的被开方数 恒大于 0,且带 “”,应选（C）；例 2.x 取何值时,以下各式在实数范畴内有意义；分析：使二次根式在实数范畴内有意义,必有被开方数大于等于 母,分母不能为 0；0；假如式子中含有

30、分解：由 2 , , ,当 时,式有意义；由 2x10（分母 2x1 0） x, 当 x时,式有意义；由x10,x2 0,x1且x 2 ,当x1且x 2时,式有意义；由于 x30, x 取任何实数时,式都有意义；二、含有相反数的被开方数根式的化简与求值名师归纳总结 例 3.已知 y=,求（ xy64）的算术平方根；0；故第 11 页,共 17 页分析：由被开方数x 7, 7x 互为相反数,且均需满意被开方数大于等于x7=7x=0,由此求出x、 y；解：由x77x 0,得 x=7 , y 9 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案欢迎下载1 例 4.

31、设等式 在实数范畴内成立；其中,m、x、y 是互不相等的三个实数,求代数式 的值；解：由 m x y, xm 0,ym 0又被开方数 xm0 , my0即 ym0即有 xm0,ym0 而被开方数x0m0 将 m=0 代入等式,得yx y0 下面两道练习题,同学们不妨试试；1.x 取何值时,以下各式在实数范畴内有意义；2022 的值；2.如 y=,试求（ 4x2y）实数大小进行比较的常用方法实数的大小比较是中考及数学竞赛中的常见题型,不少同学感到困难；“实数 ”是中学数学的重要内容之一,也是学好其他学问的基础；为帮忙同学们把握好这部分学问,本文介绍几种比较实数大小的常用方法,供同学们参考；方法一

32、：差值比较法差值比较法的基本思路是设a,b 为任意两个实数,先求出a 与 b的差, 再依据当 ab 0 时,得到 a b；当 ab 0 时, 得到 a b；当 ab0,得到 a=b；名师归纳总结 例 1：（1）比较31与1 的大小；5（ 2）比较 12 与 13 的大小；第 12 页,共 17 页5解 311 5320 , 311 ；52 13 ；5553 ）=3解 （ 12 ）（ 120 , 1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 方法二：商值比较法优秀教案欢迎下载a,b 为任意两个正实数,先求出a商值比较法的基本思路是设与 b 得商；当 a 1 时,

33、ab；当 a 1 时, ab；当 a=1 时, a=b；来比较 a 与 b 的大小；b b b例 2：比较 3 1 与 1 的大小；5 53 1 1 3 1 1解：= 3 11 5 5 5 5方法三： 倒数法 倒数法的基本思路是设 a,b 为任意两个正实数,先分别求出 a 与 b 的倒数,再依据当 1 1 时, ab；来比较 a 与 b 的大小；a b例 3：比较 2004 2003 与 2005 2004 的大小；解1= 2004 + 2003,1= 2005 + 20042004 2003 2005 2004又2004 + 2003 2005 + 20042004 2003 2005 20

34、04（超纲,不作要求）方法四：平方法 平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方,再依据 a0,b0 时,可由 a 2b 得到 ab 来比较大小,这种方法常用于比较无理 2数的大小；例 5：比较26与35的大小52=8+215 ；3解：2628212,又 8+212 8+2152635；方法五：估算法估算法的基本是思路是设a,b 为任意两个正实数,先估算出a,b 两数或两数中某部分的取值范畴,再进行比较；名师归纳总结 例 4：比较133与1 的大小 81331第 13 页,共 17 页8解： 313 4 13 3 1 88- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - -

35、- - 优秀教案 欢迎下载方法六：移动因式法（穿墙术）移动因式法的基本是思路是,当a 0,b0,如要比较形如ab与cd的大小,可先把根号外的因数a 与 c 平方后移入根号内,再依据被开方数的大小进行比较；例 6：比较 27 与 33 的大小解： 27 =227=28 ,33 =323=27 ；又 2827, 27 33 ；方法七：取特值验证法比较两个实数的大小,有时取特别值会更简洁；例 7：当 0 x 1 时,x , x ,2 1 的大小次序是 _；x解：（特别值法）取 x = 1 ,就：x = 2 1 ,1=2；2 4 x1 1 2,x x 2 1 ；4 2 x1例（常 德 市 ）设 a2 0,b3 2,c39 ,d1,就 a、b、c、d 按由小到大的顺2序排列正确选项（）A. cadb B.bd ac C.acdb D.bc ad分析 可以分别求出 a、b、 c、d 的详细值,从而可以比较大小 . 1解 由于 a2 01,b3 29,c 3 9 3 9 ,d12,而3 9 1229,所以 cadb.故应选 A. 除以上七种方法外,仍有利用数轴上的点,右边的数总比左边的数大；以及肯定值比较法等比较实数大小的方法；对于不同的问题要敏捷用简便合理的方法来解题；能快速地