2022年全等三角形经典例题含答案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载全等三角形一、目标认知学习目标：1明白全等三角形的概念和性质,能够精确地辨认全等三角形中的对应元 素；2探究三角形全等的条件,能利用三角形全等进行证明,把握综合法证明 的格式；重点：1. 使同学懂得证明的基本过程 2 . 三角形全等的性质和条件；难点：1. 把握用综合法证明的格式；,把握用综合法证明的格式；2 . 选用合适的条件证明两个三角形全等经典例题透析 类型一：全等三角形性质的应用1、如图, ABD ACE,AB=AC,写出图中的对应边和对应角 .思路点拨 : AB=AC,AB和 AC是对应边, A 是公共角, A和

2、A 是对应角,按对应边所对的角是对应角,对应角所对的边是对应边可求解 . 解析： AB和 AC是对应边, AD和 AE、BD和 CE是对应边, A和 A 是对应 角, B和 C, AEC和ADB是对应角 . 总结升华：已知两对对应顶点, 那么以这两对对应顶点为顶点的角是对应角,名师归纳总结 第三对角是对应角；再由对应角所对的边是对应边,可找到对应边. . 第 1 页,共 10 页已知两对对应边,第三对边是对应边,对应边所对的角是对应角- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载举一反三：【变式 1】如图, ABC DBE. 问线段 AE和 C

3、D相等吗？为什么？【答案】证明：由ABC DBE,得 AB=DB,BC=BE就 AB-BE=DB-BC,即 AE=CD；,；【变式 2】如右图,求证： AE CF 【答案】AE CF 2、如图,已知 的度数与 EC的长；ABC DEF, A=30 , B=50 , BF=2,求 DFE思路点拨 : 由全等三角形性质可知： DFE=ACB,EC+CF=BF+FC,所以只需 求 ACB的度数与 BF的长即可；解析： 在 ABC中,ACB=180 - A-B,又 A=30 , B=50 ,所以 ACB=100 . 又由于 ABC DEF,所以 ACB=DFE,BC=EF（全等三角形对应角相等, 对应

4、边相等）；所以 DFE=100EC=EF-FC=BC-FC=FB=2总结升华：全等三角形的对应角相等, 对应边相等；举一反三：【变式 1】如下列图, ACD ECD, CEF BEF,名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载ACB=90 . 求证：（ 1）CDAB；（ 2）EF AC. 【答案】1 ）由于 ACD ECD,所以 ADC=EDC（全等三角形的对应角相等）. 由于 ADC+EDC=180 ,所以 ADC=EDC=90 . 所以 CDAB. 2 ）由于 CEF BEF, 所以 CFE=BFE

5、（全等三角形的对应 角相等） . 由于 CFE+BFE=180 ,所以 CFE=BFE=90 . 由于 ACB=90 , 所以 ACB=BFE. 所以 EF AC. 类型二：全等三角形的证明3、如图, ACBD,DFCE,ECB FDA,求证： ADF BCE思路点拨 : 欲证 ADF BCE,由已知可知已具备一边一角, 由公理的条件判定仍缺少这角的另一边,可通过 ACBD而得 解析： ACBD已知 AB-BDAB-AC等式性质 即 ADBC 在 ADF与 BCE中 ADF BCESAS 总结升华： 利用全等三角形证明线段 角 相等的一般方法和步骤如下：1 找到以待证角 线段 为内角 边 的两

6、个三角形,2 证明这两个三角形全等；3 由全等三角形的性质得出所要证的角 线段 相等举一反三：【变式 1】如图,已知 AB DC,ABDC,求证： AD BC 【答案】 AB CD 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载 3 4 在 ABD和 CDB中 ABD CDBSAS 1 2 全等三角形对应角相等 AD BC内错角相等两直线平行 【变式 2】如图,已知 EBAD于 B,FCAD于 C,且 EBFC,ABCD求证 AFDE【答案】 EBAD已知 EBD90 垂直定义 同理可证 FCA90 EBD

7、FCA ABCD,BCBC ACAB+BC BC+CD BD 在 ACF和 DBE中 ACF DBESAS AFDE全等三角形对应边相等 类型三：综合应用4、如图, AD为 ABC的中线；求证：AB+AC2AD.思路点拨 : 要证 AB+AC2AD,由图想到： AB+BDAD,AC+CDAD,所以,所以不能直接证出；由 2AD想到构造一条线段等于 2AD,即倍长 AB+AC+BC2AD中线；解析： 延长 AD至 E,使 DE=AD,连接 BE 由于 AD为 ABC的中线,所以 BD=CD. 在 ACD和 EBD中,名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 10 页精选学习资料 -

8、 - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载所以 ACD EBDSAS. 所以 BE=CA. 在 ABE中,AB+BEAE,所以 AB+AC2AD. 总结升华： 通过构造三角形全等,将待求的线段放在同一个三角形中；举一反三：【变式 1】已知：如图,在 Rt ABC中, AB=AC,BAC=90 , 1=2,CEBD的延长线于 E,求证： BD=2CE. 【答案】分别延长 CE、BA交于 F. 由于 BECF,所以 BEF=BEC=90 . 在 BEF和 BEC中,所以 BEF BECASA. 所以 CE=FE= CF. 又由于 BAC=90 ,BECF. 所以 BAC=CAF=90

9、, 1+BDA=90 , 1+BFC=90 . 所以 BDA=BFC. 在 ABD和 ACF中,所以 ABD ACFAAS 所以 BD=CF.所以 BD=2CE. 5、如图, ABCD,BEDF,B D,求证： 1AECF,2AE CF,3 AFECEF 思路点拨 : 1 直接通过 ABE CDF而得, 2 先证明 AEBCFD,3名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载由12 可证明 AEF CFE而得,总之,欲证两边 角 相等,找这两边 角 所在的两个三角形然后证明它们全等解析：1 在 ABE与

10、CDF中 ABE CDFSAS AECF全等三角形对应边相等 2 AEBCFD全等三角形对应角相等 AE CF内错角相等,两直线平行 3 在 AEF与 CFE中 AEF CFESAS AFECEF全等三角形对应角相等 总结升华：在复杂问题中, 常将已知全等三角形的对应角 边 作为判定另一 对三角形全等的条件举一反三：【变式 1】如图,在ABC中,延长 AC边上的中线 BD到 F,使 DFBD,延长 AB边上的中线 CE到 G,使 EGCE,求证 AFAG【答案】在AGE与 BCE中 AGE BCESAS AGBC全等三角形对应边相等 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 10

11、 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载在 AFD与 CBD中 AFD CBDSAS AFCB全等三角形对应边相等 AFAG等量代换 6、如图 ABAC,BDAC于 D,CEAB于 E,BD、CE相交于 F求证： AF平分 BAC思路点拨 :如能证得得 AD=AE,由于 ADB、AEC都是直角,可证得RtADFRt AEF,而要证 AD=AE,就应先考虑 Rt ABD与 Rt AEC,由题意已知AB=AC,BAC是公共角,可证得Rt ABDRt ACE解析： 在 Rt ABD与 Rt ACE中Rt ABDRt ACEAAS AD=AE全等三角形对应边相等 在

12、Rt ADF与 Rt AEF中Rt ADFRt AEFHL DAF=EAF全等三角形对应角相等 AF平分 BAC角平分线的定义 总结升华：条件和结论相互转化, 有时需要通过多次三角形全等得出待求的结论；举一反三：【变式 1】求证：有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等【答案】依据题意,画出图形,写出已知,求证名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 已知：如图,在学习好资料欢迎下载C ,ADBCABC与 ABC 中 AB=AB , BC=B于 D,AD BC 于 D 且 AD=AD求证： ABC ABC证明： 在

13、Rt ABD与 Rt ABD 中Rt ABD Rt ABDHL B=B 全等三角形对应角相等 在 ABC与 ABC 中 ABC ABCSAS 【变式 2】已知,如图, AC、BD相交于 O,AC=BD,C D90求证：OC=OD 【答案】 C=D=90 ABD、 ACB为直角三角形在 Rt ABD和 Rt ABC中Rt ABDRt ABCHL AD=BC 在 AOD和 BOC中 AOD BOCAAS 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载OD=OC7、 ABC中, AB=AC,D是底边 BC上任意一

14、点, DEAB,DFAC,CGAB垂足分别是 E、F、G.试判定：推测线段 DE、DF、CG的数量有何关系？并证明你的猜想；思路点拨 : 寻求一题多解和多题一解是把握规律的捷径 解析： 结论： DE+DF=CG方法一：（截长法）板书此种方法（3 分钟）作 DMCG于 M DEAB,CGAB,DMCG 四边形 EDMG是矩形 DE=GM DM/AB MDC=B AB=AC B=FCD MDC=FCD 而 DMCG,DFAC DMC=CFD 在MDC和FCD中MDC FCD（AAS）MC=DF DE+DF=GM+MC=CG 总结升华：方法二（补短法）作CMED交 ED的延长线于 M（证明过程略）名

15、师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载总结：截长补短的一般思路,并由此可以引申到截长法有两种截长的想法方法三（面积法）使用等积转化引申：假如将条件“D是底边 BC上任意一点” 改为“D是底边 BC的延长线上任意一点” ,此时图形如何？你的猜想并加以证明 举一反三：DE、DF和 CG会有怎样的关系？画出图形,写出【变式 1】三角形底边上的任意一点到两个腰上的距离和等于腰上的高；【答案】证明的过程使用三种证明方法,面积法包括：（1）截长法（2）补短法（3）名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 10 页