2022年中考复习专题二次函数经典分类讲解复习以及练习题-.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载1、二次函数的定义定义： y=ax 2 bx c （ a 、 b 、 c 是常数, a 0 ）_个；定义要点： a 0 最高次数为2 代数式肯定是整式练习： 1、 y=-x 2, y=2x2-2/x ,y=100-5 x 2, y=3 x 2-2x 3+5, 其中是二次函数的有2. 当 m_时, 函数y=m+1m2m- 2 +1 是二次函数？2、二次函数的图像及性质yxyx00抛物线y=ax2+bx+ca0 y=ax2+bx+ca0,开口向上 a0,开口向下开口方向在对称轴的左侧 ,y随着 x的增大而减小 . 在对称轴的左侧

2、,y随着 x的增大而增大 . 在增减性 在对称轴的右侧 , y随着 x的增大而增大 . 2 对称轴的右侧 , y随着 x的增大而减小 .2b 4 ac b b 4 ac b当 x 时 , y 最小值为 当 x 时 , y 最大值为2 a 4 a 2 a 4 a最值例 2：已知二次函数 y 1 x 2x 32 2（1）求抛物线开口方向,对称轴和顶点 M的坐标；（2）设抛物线与 y 轴交于 C点,与 x 轴交于 A、B 两点,求 C,A,B 的坐标；（3）x 为何值时, y 随的增大而削减,x 为何值时, y 有最大（小）值,这个最大（小）值是多少？（4）x 为何值时, y0？名师归纳总结 - -

3、 - - - - -第 1 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载3、求抛物线解析式的三种方法1、一般式：已知抛物线上的三点,通常设解析式为 _ y=ax2+bx+ca 0 2, 顶点式：已知抛物线顶点坐标（h, k ）,通常设抛物线解析式为 _求出表达式后化为一般形式 . y=ax-h2+ka 0 3, 交点式 : 已知抛物线与 x 轴的两个交点 x1,0、 x2,0, 通常设解析式为 _ 求出表达式后化为一般形式 .y=ax-x1x-x2 a 0 练习：依据以下条件,求二次函数的解析式；1 、图象经过 0 ,0 , 1 ,-2 , 2 , 3

4、三点；2 、图象的顶点 2 ,3 , 且经过点 3 ,1 ；3 、图象经过 0 ,0 , 12 ,0 ,且最高点的纵坐标是3 ；y=x+1 上,并且图象经过点（3,-6 ）；求 a、b、c；例 1 已知二次函数y=ax2+bx+c 的最大值是2,图象顶点在直线解：二次函数的最大值是2 抛物线的顶点纵坐标为2 又抛物线的顶点在直线y=x+1 上当 y=2 时, x=1 顶点坐标为（ 1 , 2 ）设二次函数的解析式为 y=ax-12+2 又图象经过点（3,-6 ）-6=a 3-12+2 a=-2 二次函数的解析式为 y=-2x-12+2 即： y=-2x2+4x 4、a,b, c 符号的确定抛物

5、线 y=ax2+bx+c 的符号问题：（1）a 的符号：由抛物线的开口方向确定（2）C的符号：由抛物线与y 轴的交点位置确定. （3）b 的符号：由对称轴的位置确定（4）b2-4ac 的符号：由抛物线与 x 轴的交点个数确定名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - （ 5）a+b+c 的符号：由于优秀教案欢迎下载y 值打算；x=1 时,y=a+b+c, 所以 a+b+c 的符号由 x=1 时,对应的当 x=1 时, y0, 就 a+b+c0 当 x=1 时, y0,就 a+b+c0, 就 a-b+c0 当 x=-1 ,y0

6、, 就 a-b+c0 当 x=-1 ,y=0, 就 a-b+c=0 练习、二次函数y=ax2+bx+ca 0 的图象如下列图,就a、b、c 的符号为（） A 、a0,c0 B、a0,c0 a、 b、c 的符号为（） C、a0,b0 D、a0,b0,c0,b0,c=0 B、 a0,c=0 a、 b、c 、 的符号为（） C 、a0,b0,c0,b0,b=0,c0, 0 B 、a0,c0,b=0,c0 D 、a0,b=0,c0, 0,b0,c 0 2 有一个交点 b2 4ac= 0 3 没有交点 b2 4ac 0 如抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有交点 , 就 b2 4ac0 ax2 b

7、xc=0 的解；例1 假如关于 x 的一元二次方程 x2-2x+m=0 有两个相等的实数根 , 就 m= , 此时抛物线 y=x2-2x+m 与 x 轴有个交点 . 2 已知抛物线 y=x2 8x +c 的顶点在 x 轴上 , 就 c= . 3 一元二次方程 3 x2+x-10=0 的两个根是 x1= -2 ,x2=5/3, 那么二次函数 y= 3 x2+x-10 与 x 轴的交点坐标是 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 判别式：二次函数图象优秀教案y 欢迎下载一元二次方程b2-4ac y=ax2+bx+c a

8、x2+bx+c=0 b2-4ac 0 （a 0）（a 0）的根与 x 轴有两个不有 两 个 不 同 的 解同的交点x=x1,x=x2 （x1,0）（x2,0）b2-4ac=0 与 x 轴有唯独个x 有两个相等的解b2-4ac 0 交点b0,y x1=x2= b2a2 aO x y 与 x 轴没有没有实数根交点O x 7 二次函数的综合运用1. 已知抛物线y=ax2+bx+c 与抛物线y=-x2-3x+7的外形相同 , 顶点在直线x=1 上, 且顶点到 x 轴的距离为5, 请写出满意此条件的抛物线的解析式. 解:抛物线 y=ax2+bx+c 与抛物线 y=-x2-3x+7的外形相同 a=1 或-

9、1 又顶点在直线x=1 上, 且顶点到 x 轴的距离为5, 顶点为 1,5 或1,-5 所以其解析式为 : 1 y=x-12+5 2 y=x-12-5 3 y=-x-12+5 4 y=-x-12-5 绽开成一般式即可 . 2. 如 a+b+c=0,a 0, 把抛物线 y=ax2+bx+c 向下平移 4 个单位 , 再向左平移 5 个单位所到的新抛物线的顶点是 -2,0,求原抛物线的解析式 . 分析 : 1 由 a+b+c=0 可知 , 原抛物线的图象经过1,0 第 5 页,共 11 页2 新抛物线向右平移5 个单位 , 再向上平移4 个单位即得原抛物线名师归纳总结 - - - - - - -精

10、选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载练习题1直线 y3 x 1 与 yx k 的交点在第四象限,就 k 的范畴是 （）（A ）k1（B）1 k1 （ C）k 1 （ D） k1 或 k 1 3 31 k【提示】由 y 3 x 1,解得 x2 因点在第四象限,故 1 k 0,1 3 k 0y x k y 1 3 k. 2 221 k13【答案】 B【点评】此题应用了两函数图象交点坐标的求法,结合了不等式组的解法、象限内点的坐标符号特点等2二次函数 yax 2bxc 的图象如图,就以下各式中成立的个数是 （）（1）abc0；（ 2） ab c 0；（3）a cb；（4

11、） ab 2（A ）1 （ B）2 （ C）3 （ D）4 【提示】由图象知a 0,b0,故 b 0,而 c 0,就 abc 0当 x 1 时, y 0,即 ac b 0；当 x 1 时, y0,2a即 ac b0【答案】 B【点评】此题要综合运用抛物线性质与解析式系数间的关系因 a 0,把（ 4）ab 两边同除以 a,得 1b,即b2 2 a 2 a 1,所以（ 4）是正确的；也可以依据对称轴在 x1 的左侧,判定出b 1,两边同时乘 a,得 ab ,知（ 4）是正确2 a 2的3 如 一 元 二 次 方 程 x 2 2 x m 0 无 实 数 根 , 就 一 次 函 数 y （ m 1 ）

12、 x m 1 的 图 象 不 经过 （）（A ）第一象限（B）其次象限（ C）第三象限（ D）第四象限【提示】由 44 m0,得 m 10,就 m 1 0,直线过其次、三、四象限【答案】 A【点评】此题综合运用了一元二次方程根的判别式及一次函数图象的性质留意,题中问的是一次函数图象不经过 的象限4 如 图 , 已 知 A , B 是 反 比 例 函 数 y 2 的 图 象 上 两 点 , 设 矩 形x就 （）APOQ与 矩 形 MONB的 面 积 为S1 , S2 ,（A ）S1 S2（B） S1 S2（ C）S1 S2（D）上述（ A）、（B）、（C）都可能名师归纳总结 【提示】由于SAPO

13、Q |k|2, SMONB 2,故 S1 S2|k|【答案】 A【点评】此题可以推广为：从双曲线上任意一点向两坐标轴引垂线,由这点及两个垂足和原点构成的矩形的面积都等于第 6 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案欢迎下载k21） 0,且 x 都大于k2 1） 05如点 A（ 1, y1）, B（2, y2）,C（ , y3）在反比例函数yk21的图象上,就（）x（A ）y1y2y3（B） y1 y2 y3（ C）y1y2y3（D） y1y3y2【提示】因（k21） 0,且（ k2 1） y1 2 y2y3,故 y1 y2 y3或用

14、图象法求解,因（0,取第四象限的一个分支,找到在y 轴负半轴上y1, y2,y3 的相应位置即可判定【答案】 B【点评】此题是反比例函数图象的性质的应用,图象法是最常用的方法在分析时应留意此题中的（6直线 yax c 与抛物线 yax2 bxc 在同一坐标系内大致的图象是 （）（A ）（ B）（C）（ D）【提示】两个解析式的常数项都为c,说明图象交于y 轴上的同一点,排除（A）,（B）再从 a 的大小去判定【答案】 D【点评】此题综合运用了一次函数、二次函数的性质（ B）错误的缘由是由抛物线开口向上,知a0,此时直线必过第一、三象限7已知函数 y x 2 1840 x 1997 与 x 轴的

15、交点是（是 （）m, 0）（ n, 0）,就（ m2 1841 m 1997）（ n21841 n 1997）的值（A ）1997 （ B）1840 （C） 1984 （D）1897 m21840 m 1997【提示】抛物线与x 轴交于（ m,0）（n,0）,就 m,n 是一元二次方程x2 1840 x 19970 的两个根所以 0, n2 1840 n1997 0,mn1997原式（ m21840 m1997） m（ n2 1840 n1997） n mn1997【答案】 A【点评】 此题揭示了二次函数与一元二次方程间的联系,应用了方程的根的定义、根与系数的关系等学问点,并要敏捷地把所求代数

16、式进行适当的变形8某乡的粮食总产量为a（a 为常数）吨,设这个乡平均每人占有粮食为y（吨）,人口数为x,就y 与 x 之间的函数关系为 （）（A ）（ B）（C）（D）【提示】粮食总产量肯定,就人均占有粮食与人口数成反比,即ya 又由于人口数不为负数,故图象只能是第一象限内的 x一个分支【答案】 D【点评】此题考查反比例函数图象在实际问题中的应用（A）错在画出了x0 时的图象,而此题中x 不行能小于0（二）填空题（每道题4 分,共 32 分）9函数 y2x1x11的自变量 x 的取值范畴是 _【提示】由2 x 1 0,得 x1 ；又 x1 0, x 1综合可确定 2x 的取值范畴【答案】 x1

17、 ,且 x 1210如点 P（a b, a）位于其次象限,那么点Q（ a 3,ab）位于第 _象限【提示】由题意得a 0,ab0,就 b0故 a3 0,ab 0【答案】一名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载k 2 k 111正比例函数 yk（k 1）x 的图象过第 _象限【提示】由题意得 k2k 11,解得 k1 2,k2 1（舍去）,就函数为 y 6 x【答案】一、三【点评】留意求出的 k 1 使比例系数为 0,应舍去12已知函数 yx 2（ 2m 4） xm2 10 与 x 轴的两个交点间的距离

18、为 2 2,就 m _【提示】抛物线与 x 轴两交点间距离可应用公式 来求此题有| a | 2 m 4 24 m 210 16m 56 2 2 ,故 m 3【答案】 3【点评】抛物线与x 轴两交点间距离的公式为|a|,它有着广泛的应用13反比例函数 yk 的图象过点 P（ m,n）,其中 m,n 是一元二次方程x【提示】 P（ m,n）在双曲线上,就 k xymn,又 mn4,故 k 4【答案】（ 2, 2）x2 kx 40 的两个根, 那么 P 点坐标是 _【点评】此题是反比例函数、一元二次方程学问的综合应用由题意得出 k mn4 是关键14如一次函数 ykx b 的自变量 x 的取值范畴是

19、 2 x6,相应函数值 y 的范畴是 11y9,就函数解析式是 _11 2 k b k 5【提示】当 k0 时,有,解得 29 6 k bb 6 .当 k0 时,有 11 6 k b,解得 k 529 2 k b b 4 .【答案】 y5x 6 或 y5x 42 2【点评】因 k 是待定字母,而 k 的不同取值,导致线段分布象限不一样,自变量的取值与函数取值的对应关系也就不同故本例要分 k0 时自变量最大值对应函数最大值,与 k0 时自变量最大值对应函数最小值两种情形争论15公民的月收入超过 800 元时,超过部分须依法缴纳个人收入调剂税,当超过部分不足 500 元时,税率（即所纳税款占超过部

20、分的百分数） 相同 某人本月收入 1260 元,纳税 23 元,由此可得所纳税款 y（元） 与此人月收入 x（元） 800 x1300 间的函数关系为 _【提示】因 1260800460,23 5%,故在 800x 1300 时的税率为 5%460【答案】 y5%（ x800）【点评】 此题是与实际问题相关的函数关系式,解题时应留意并不是每个人月收入的全部都必需纳税,而是超过 800 元的部分才纳税,故列函数式时月收入 x 须减去 80016某种火箭的飞机高度 h（米）与发射后飞行的时间 t（秒）之间的函数关系式是 h 10 t 220 t,经过 _秒,火箭发射后又回到地面【提示】火箭返回地面

21、,即指飞行高度为 0,就 10 t220 t 0,故 t0 或 t20【答案】 20名师归纳总结 【点评】留意：t 0 应舍去的缘由是此时火箭虽在地面,但未发射,而不是返回地面第 8 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载（三）解答题17（ 6 分）已知 y y1 y2, y1 与 x 成正比例, y2 与 x 成反比例,并且【解】设 y1k1x,y2k2 ,就 y k1xk 2 x x把 x 1 时 y 4, x2 时 y 5 分别代入上式,得4 k 1 k 25 2 k 1 k 2,2解得k 1 2k 2 .2x1 时

22、 y4,x 2 时 y5,求当 x4 时 y 的值函数解析式为y 2 x2 xk1,当 x 4 时, y 2 42 417 2所求的 y 值为 17 2【点评】此题考查用待定系数法求函数解析式关键在于正确设出y1, y2 与 x 的函数解析式留意两个比例系数应分别用k2 表示出来,而不能仅用一个 k 值表示18（ 6 分）如函数 ykx 22（ k1）x k1 与 x 轴只有一个交点,求k 的值【提示】此题要分k 0,k 0 两种情形争论【解】当 k 0 时, y 2 x1,是一次函数,此时,直线与x 轴必有一个交点当 k 0 时,函数为二次函数,此时,4（ k1）24 k（ k1）12 k

23、4 0k1 30函数图象与x 轴有一个交点包所求的 k 值为 0 或1 3【点评】留意,当问题中未指明函数形式,而最高次项系数含字母时,要留意这个系数是否为括两种情形：当函数是一次函数时,直线与x 轴必只有一个交点；当函数是二次函数时,在 0 的条件下,图象与x 轴只有一个交点19（ 8 分）已知正比例函数 y4 x,反比例函数 yk （1）当 k 为何值时,这两个函数的图象有两个交点？k 为何值时,这x两个函数的图象没有交点？（2）这两个函数的图象能否只有一个交点？如有,求出这个交点坐标；如没有,请说明理由【解】由 y 4 x 和 yk ,得x4 x 2 k 0, 16 k（1）当0,即 k

24、 0 时,两函数图象有两个交点；当0,即 k 0 时,两函数图象没有交点；（2）比例系数 k 0,故 0两函数图象不行能只有一个交点20（8 分）如图是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的一个示意图,横断面的地平线为 x 轴,横断面的对称轴为y 轴,桥拱的 DGD 部分为一段抛物线,顶点 G 的高度为 8 米, AD 和 AD 是两侧高为 5. 5 米的立柱, OA 和 OA 为两个方向的汽车通行区,宽都为 15 米,线段 CD 和 CD 为两段对称的上桥斜坡,其坡度为 14（1）求桥拱 DGD 所在抛物线的解析式及 CC 的长（2）BE 和 BE 为支撑斜坡的立柱,其高都为 4

25、 米,相应的 AB 和 AB 为两个方向的行人及非机动车通行区,试求 AB 和 AB 的宽（3）按规定,汽车通过桥下时,载货最高处和桥拱之间的距离不行小于 0. 4 米,今有一大型运货汽车,装载上大型设备后,其宽为 4 米,车载大型设备的顶部与地面的距离为 7 米,它能否从 OA（ OA ）安全通过？请说明理由名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案欢迎下载D、x【分析】欲求函数的解析式,关键是求出三个独立的点的坐标,然后由待定系数法求之所以关键是由题中线段的长度运算出G、D 的坐标,当然也可由对称轴x0 解之至

26、于求 CC 、 AB、AB 的数值,就关键是由坡度的定义求解之；究竟能否安全通过,就只需在抛物线的解析式中令 4,求出相应的y 值,即可作出明确的判定【解】（1）由题意和抛物线的对称轴是x0,可设抛物线的解析式为y ax2c由题意得 G（0, 8）, D（ 15, 5. 5）名师归纳总结 - - - - - - -c8c5 5. .225 aa190c8 .y1 x 890又AD 1 且 AD5. 5,AC 4AC5. 5 422（米）CC 2C2 （ OAAC） 2 （ 1522） 74（米）CC 的长是 74 米（2）EB BCBC161 , BE4,4AB ACBC22166（米）AB

27、AB6（米）（ 3）此大型货车可以从OA（ OA ）区域安全通过在 y1 x 8 中,当 x 4 时, y901 16890737,而45可以从 OA 区域安全通过737（ 70. 4）19 0,454521（ 8 分）已知二次函数 yax 2bx c 的图象抛物线 G 经过（ 5, 0）,（0,5 ）,（ 1, 6）三点,直线23（ 1）求抛物线 G 的函数解析式； （2）求证抛物线 G 与直线 l 无公共点；（ 3）如与 l 平行的直线l 的解析式为y2 xy2 x m 与抛物线G 只有一个公共点P,求 P 点的坐标【分析】（ 1）略；（2）要证抛物线G 与直线 l 无公共点,就是要证G

28、与 l 的解析式组成的方程无实数解；（3）直线 y2 x m与抛物线 G 只有一个公共点,就是由它们的解析式组成的二元二次方程组有一个解,求出这组解,就得P 点的坐标【解】（1）抛物线 G 通过（ 5,0）,（ 0,5 ）,（1,6）三点,2025a5bc5c,26abca1 2解得b3c5.2抛物线 G 的解析式为y1 x 2 3 x25 2第 10 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案欢迎下载y2x3（2）由y1x23 x5,22消去 y,得1x 2 x11 0,221241 11 100,2 2方程无实根,即抛物线 G 与直线 l 无公共点y2xm（3）由y1x23 x5,消去 y,得221 x 2x5 m02 2抛物线 G 与直线 y2 xm 只有一个公共点P, 12 41 （25 m） 02解得 m2把 m 2 代入方程,解得x 1把 x 1 代入 y1x23 x5 ,得 y 022P（ 1,0）【点评】此题综合运用了二次函数解析式的求法抛物线与直线的交点等学问,其关键是把函数问题敏捷转化为方程学问求解名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 11 页