2022年华中科技大学复变函数与积分变换试题及解答.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 多练出技巧 巧思出硕果华中科技高校复变函数与积分变换试题及解答2006.11系别 _班级_学号 _姓名 _题号一二三四五六七八九总分得分得分评卷人一、填空题（每道题3 分,共 24 分）1的值为,主值为 .2；且所表示的平面点集是区域吗？是 ,单连域仍是多连域？ 单连域 ；3 0 ；4在映射下,集合的像集为： . 5为的 1 阶极点；6在处绽开成 Taylor 级数的收敛半径为.7的频谱密度函数,就；8已知, 其中；名师归纳总结 得分评卷人二、（ 6 分）设 a、b 是实数,函数.在第 1 页,共 8 页复平面解析,就分别求a、b 之值,并求-

2、 - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：多练出技巧巧思出硕果在平面上是复平面上的解析函数,就满意 CR 方程,即：故对成立,得分评卷人三、（ 8 分）验证是 z 平面上的调和函数,并求以为实部的解析函数,使.解：（ 1）故是调和函数；（2）利用 CR 条件,先求出的两个偏导数；就由故名师归纳总结 得分评卷人四、（ 6 4=24 分）运算以下各题：第 2 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1多练出技巧巧思出硕果,设 C 为正向圆周；解：令,就由高阶求导公式得：原式2,C 为正向圆周；解: 在 C 内,有

3、本性奇点,由留数定理：原式在 内将 展为 Laurent 级数：故：3解：由于 是偶函数,故原式 令就定积分可化为复积分名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 令多练出技巧在巧思出硕果与就内有 2 个简洁极点由留数定理知：故原式4解：令简洁验证满意如尔当引理在上半平面有两个简洁极点原式名师归纳总结 得分评卷人第 4 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 多练出技巧 巧思出硕果级数；解：在复平面有孤立奇特点与,（1）时,（2）时（3）时（4）时得分评卷人六、（ 6 分）试求

4、 z 平面的下半平面在分式线性映射下的象区域 .解：在实轴上依次取,名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 多练出技巧 巧思出硕果由分式线性映射的保圆性知：打算了在故 实轴在下的象区线为单位圆周, 再由边界对应原理知：下的象区域为；得分评卷人七、（ 8 分）求一保形映射,把区域映成单位圆内部；解：名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 得分评卷人多练出技巧巧思出硕果八、（ 8 分）用 Laplace 变换求解常微分方程：解：令,对方程两边求拉氏变换得：得分评卷人九、（ 6 分）证明题：设在内解析,在上连续,试证：当 时,证：令名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 由于在多练出技巧巧思出硕果也在内解析,内解析,在上连续,所以名师归纳总结 在上连续；依据 Cauchy 积分公式有：第 8 页,共 8 页- - - - - - -